湖南师大附中届高三年级上学期第三次月考数学.docx

1、湖南师大附中届高三年级上学期第三次月考数学湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考本试卷分笫I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页时量120分钟.满 分150分.第I卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知 R 是实数集，M=X -1时,关于兀的方程/(x)-IogJx+ 2) = 0恰有三个不同的 实数根，则实数的取值范囤是2A. (1, 2) B. (2亍，2)2C. (0,21)U(2,+oo) D(2,+oo)7.已知O为ABC的外心，OA + 2OB + 6OC = 0,则ZAeE的正弦值为L

2、 y-8./是经过双曲线C:庐一京= l(dO,bO)焦点F且与实轴垂直的直线，AB是双曲线C的两个顶点，若在/上存在一点P，使ZAP3= 45,则双曲线离心率的最大值为二 多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列命题正确的是A.若随机变量XB(100,p),且E(X) = 20,则Z)(*X+1) = 5B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件q,B,C,D的概率分别为0.2, 0.2, 0.3, 0.3,则4与BUCUD是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有加个白球，-加个黑球，连

3、续不放回地从袋中取球，直到取岀黑球 为止，设此时取岀了个白球，P( = 2)等于S ；：)九D.由一组样本数据3,),(吃，北)，(X”，儿)得到回归直线方程y = bx+af那么直线y=bx+a至少经过(2,)“,(九，yn)中的一个点10.若非零实数/满足a 0)的切线厶,切点为Pn(Xn, y,l).则下列结论正确的是A.数列兀的通项为Xw =B.数列儿的通项为儿=上普C.当死 3时,Xl x3 x5 x2w- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若(2 + x)H = 0 + fl1(l + A) + 2(1 + X)2 +- +17(1 + x) ,则 a0 +i +

4、 a2 + a3 + + “山16.注义在R上的函数/(x)的导函数为l(x) , /(0) = 0,若对任意xwR ,都有广(X) - /(x) 1,则使得7 CV)+ 1 1成立的X的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)八 / c 2 C B C C + B - C O I / - 2 tn B b在 I丄丿 2Sm + 2COS- + 2COSCCOSB = 1 , = ,2 2 tan A + tan B C血= (sinC + JcosC)三个条件中任选一个，补充在下而问题中，并加以解答.AABC中，内角A

5、,B,C所对的边长分別为a,b,c,且满足“ = JE, b = 3,求ABC的而积18.(本小题满分12分)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体岀现反应 或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数 小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制中心统汁了该市200需传染病患者的相关信 息，得到如下表格：潜伏期(单位：天)0,2(2,4(16(6.8(8J0(10J2J(12,14人数174360502631(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表 数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断

6、是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期 与患者年龄有关潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上(含50岁)10050岁以下55总计200将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机 调査了该地区30名想者，其中潜伏期超过6天的人数为X ,求随机变量X的期望和方差 附：P(KTQ)0.050.0250.0103.8415.0246.63519.(本小题满分12分)已知，如图四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为菱形，ZABC=60, AB=PA = 2, PA 丄平而 43CD,E,M 分别是

7、BC、PD中点，点F在棱PC上移动(1)证明：无论点F在PC上如何移动，都有平而人EF丄平而(2)当直线4F与平而PCD所成的角最大时，确左点F的位置20.(本小题满分12分)Q 1已知数列的首项q=2,前项和为S”，且数列 r是以牙为公差的等差数列.(1)求数列%的通项公式：(2)设 =2”舛,neN数列的前项和为7；,求证：数列jr为等比数列，求兄的所有可能值.21(本小题满分12分).2 2在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C:- +r = I (/?0)的左、右焦点分别为 /7F、F“离心率为过耳的直线与椭圆C交于只0两点，若HFfQ的周长为8(1)求椭圆C的方程；(2)动直线.y =

8、kx+m(mO)交椭圆C于4两点，交y轴于点M点N是M关 于0的对称点，ON的半径为INOI.设D为43的中点，DE. DF与分别相切于点E、F,求ZEDF的最小值22.(本小题满分12分)已知函数/(x) = 1 + ln(1+ V). S(X) = (me R).X x+判断函数/(X)在(0,+s)上的单调性：(2)若/(x)g(x)在(0, + 8)上恒成立，求整数加的最大值.求证：(l + lx2)(l + 2x3)l + nG + l)K-(其中C为自然对数的底数)数学参考答案题号123456789101112答案DBACABAABCABDBDABD一、单项选择题：本题共8小题，每

9、小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.2 1.D【解析M=x - = xlx2, N = yy = x-1 = y I y 0,X即 M=(s,0)U(2,+s), N=0,+oo), CR(NrIM) = (Y,2,故选 D.2.B【解析】由图象可知zl=/, s = 2i,故Iz1 -z21 = I-2 + 2/1= (-2)2 + 22 = 22 .故 选B.3.A【解析】由/丄且mil a能推出,“丄/,充分性成立：若/丄且加丄/,则m!a或者 MU ,必要性不成立，因此-mila是用丄广的充分不必要条件，故选A.4.C【解析】lg(289 -l)8

10、91g2 26.789,故289-l1026789 ,故第10个梅森数的位数 为27,故选C.5.A【解析】由题设可分如下两类：若分成1, 1, 3的情况，则有= 60 (种)分C2C2派方法：若分成1, 2, 2的情况，则有一(种)分派方法，由分类加法 计数原理可得共有60+90=150 (种)分派方法，故选A.6.B【解析】.(-2) = (x + 2), .(x) = (x + 4), (x)周期为 4, l 时，做出y = f(x)和IOgd(X + 2)的函数图象如图所示：关于X的方程/(x)-fog(x+2) = 0(l)恰有3个不同的实数根,：.y = f(x)与y = logj

11、x + 2)(l)的函数图象有3个交点，Jlg* + 2)v3,解得：羽 3,故选B.7.A【解析】设外接圆的半径为R , OA + 2OB + OC = 0. OA+ 2OB = 6OC,(OA + 2OB)2 =(-y6OC)2 , R2+4R2+4OA OB=6R ,即 4顶亦=用 即1 7 I-CoSZAOB 3 y/bCOSZAOB =-,sin ZACB = =, Sin ZACB =-r-4 2 8 48.A解析】设点 P(CM)(不妨设 m 0),则有 tan(ZPBF-ZPAF) = 3Bl(anAF =1 + tan ZPBFtan ZPAF一定成立：因为In ni意得AD

12、中点H就是三凌锥BI - AMD的外接球的球心，球半径为1,表而积是4兀， 故D正确，故选BD.12 ABD 解析】设直线 Ittly = kn(x + i)，联立 x2-2nx+/=O ,得(1 + Q)F+(2Q-2 畀)x + Q=O,则由=()得心=,n ,所以可得 xrl=-2h +1 n + 172h+T I E U 1-xm I 1儿=F-，AB 对：因为=-D正确.=4 ， 解得A(2,2), B(2,-22),所以2xz -=9,轴的直线AlN交抛物线的准线X = -I于D,根据抛物线的左义可知N = ND,所以WNE 的周长为 ME+NE + MN = 3 + ND+ MN

13、 = 3 + MD , 而MD = XM +1 (3,5),所以3 + MDv(6,8),也即AMNE周长的取值范弗是(6, 8).所以 IACl = IABlCos0 = 4OOcos8,弧忍的长为2002.所以绿 化带的总长度为/() = 800cos + 4006,e 0, - !所以广(&) = 800sin& + 400令广(&) = 0,得sin。=丄，所以 = -.2) 2 6调递减：所以当=-时，/(&)取得极大值，也是最大值，所以6WHOO吨+ 400 = 400屁葺亠680+200=880.故答案沁.6 (0,+s)【解析】构造函数gCr)=Q + l , g(0) = l

14、.对任意xwR ,都有 e()-o,册)=/2-(少)+陀= mo函数g(x)在/?上单调递增，由Md= g(x)l=g(O), 0, AX的取值范围为(0,+s).四.解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。_ R 厂亠R17.【解析】选因为2sin + 2cos2 2cosCcosB = l,2 2所以 I-COS(C 3) + 1 +cos(C + B) + 2COSC COSB = 2 + 2cos(C + 3) = 2 2CoSA = 1,所以cos = l,因为C为三角形的内角，A =歹， 5分2 3又. a = VU , b = 3、由余弦定理a2

15、=b2+c2-2bccosA.可得：13 = 9 + c2-23c-2可得：/-3c-4 = 0,解得c = 4,或1 (舍去)，S 41 Itf = bcs A = 3 4 -= 3/3. 2 2 2 选V 2=1I9.由正弦左理可得:tan A + tan B CXSinB 2sinB 2siBCOSB =Sin 3 可得： _ 2SinBCoSA _ sinSin A SinB SinC Sin ACOSB + Sill BCOSA SinC SinC SinCCOSA COSB COSACOSB COSACoSBVSinB0, Sinevo, .解得COSA =丄，TAw(Qzr),

16、:. A = - 5 分(后同上)2 3选由正弦定理得，Ct = “ ,. JJsin B = Sin A(Sin C +JJcosC),SinA SinB. V3sin( + C) = sin Asin C + VJsin AcosC ,. yf3 COS ASin C = SinASin C , VSinC 0 即 y/3 COS A = Sin A tan A =羽,18.【解析】（1）由题意得列联表:潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）7525IOO50岁以下4555IOO总计12080200L 丰_TZH “2 200(7555-2545)2t 1 = 120x801001

17、00 所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.Qn O由题意可知，-名患者潜伏期超过6天的概率为丽訂, 8分19.【解析】证明：连接AC底而43CD为菱形，ZBC=60 AABC为正三角形, .E是 BC的中点，.AE丄 BC,又 ADHBC, :. AE丄 AD, . PA丄平面 ABCD、AEU 平面 ABCD, :. PA 丄AE, . PAn AD=A, PA. ADU 平而 PAD, :. AE 丄平而 PAD, VAEU平而AEF.平而丄平面PAD 6分I 1 . 3由可知，Tn = II 2/,+|,且由(1)知 r=-72+-H2 2整理咗=篙罟即矿+3 + 2几

18、=+3加 + 2/,设CH =用 + 3： + 2/1 ,则S=C“10分21.【解析】(1)由椭圆的立义可知，HFfQ的周长为4. 4 = & a = 2 9且x+*土，因此牙+ ”=卫_2k+l , 2Zr+l整理得：（胆驚）,令r = 8+3, r3, i2Zr2+l = -4所以牒2=+J=+斗令y=t+-f所以y=i亠IW k (l + f) z + l + 2 t 厂当/23时，y,O,从而y = r + -在3,+ s）上单调递增,因此丐罟等号当且仅当23时成立,此时。,10分的得“5且吋0,故鹅斗IMrll ZDF皿则Sin-丽近，所以&的最小值性.综上所述：当 = 0, 疋（

19、-J2）U（O小 时,12分22.【解析】（1）因为/（x）+ （+Q （兀0）,X-ln(l + x)所以广(X)= (x0), 1 分又因为xO,所以丄0, ln(l + x)0所以广(x)v, 2分l + x即函数f(X)在(0, +8)上为减函数. 3分由 f(x) S(X)在(0, + OO)上恒成立，即 7H 0),令g(x) = x-I-In(X+ 1),X1 X则 gW = 1 = 一 0,即 g()在(0, + 8)为增函数,x+1 x+1又g(2) = l-ln3v, g(3) = 2-21n20,即存在唯一的实数根”，满足g() = O,且a V (2,3), d-l-l

20、n( + l) = 0,当x a 时，g(x)O, ,(x)O,当0 VXVd时，g(x)v, 7,(x) = 2 x 0),x + x + 1则 1叩 + ,如1)2 - jiury2-亦 10分M(ll2)ln(123)-lnl + 1)2-31+ 2-3II-I)+ - + 2-U 3)TT需)2宀 11分 12分故(1 + 1x2)(1 + 2x3) 1 + M + 1) 严33. 若/,加为两条不同的直线，为平面,且/丄,则 f IIcTh 丄/“的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律

21、“，法国数学家马林梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2-I（Q是质数）“的质数称为梅森数，迄今为止共发现了 51个梅森数，前4个梅森 数分别是22-l = 3, 23 4-l = 7, 25 * -1 = 31, 27 -1 = 127 , 3, 7 是 1 位数，31 是 2位数, 127是3位数，已知第10个梅森数为289 -l,则第10个梅森数的位数为（参考数据： Ig 2 0.301）A.25 B. 29 C. 27 D. 285. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5 教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1斜教师的不同分派方法种数为A. 150 B. 180 C. 200 D. 280