工程问题公式.docx

1、工程问题公式工程问题公式 （1）一般公式： 工效工时=工作总量；工作总量工时=工效；工作总量工效=工时。工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间工作总量 工作时间工作效率（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1单位时间能完成的几分之几=工作时间。（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）1、每份数份数总数 总数每份数份数总数份数每份数 总数总份数平均数 2、1倍数倍数几倍数 几倍数1倍数倍数

2、几倍数倍数1倍数 3、 速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4、 单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 5、加数加数和 和一个加数另一个加数 6、被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 7、因数因数积 积一个因数另一个因数 8、 被除数除数商 被除数商除数 商除数被除数 数学图形计算公式 1、正方形：C-周长 S-面积 a-边长 周长边长4 C=4a 面积=边长边长 S=aa=a2 2、正方体：V-体积 a-棱长 表面积=棱长棱长6 S表=aa6=6a2 体积=棱长棱长棱长 V=aaa=a3 3、长方形: C-周长 S-面积 a-边长 周长=(长+宽)2 C=2(a+b) 面积=长

3、宽 S=ab 4、长方体:V-体积 S-面积 a-长 b-宽 h-高 表面积(长宽+长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长宽高 V=abh 5、三角形:S-面积 a-底 h-高 面积=底高2 S=ah2 三角形高=面积2底 三角形底=面积2高 6、平行四边形：S-面积 a-底 h-高 面积=底高 S=ah 7、梯形：S-面积 a-上底 b-下底 h-高 面积=(上底+下底)高2 8、圆形：S-面积 C-周长 -圆周率 d-直径 r-半径 周长=直径圆周率=2圆周率半径 C=d=2r 面积=半径半径圆周率 S=r2 9、圆柱体：V-体积 h-高 S-底面积 r-底面半径 C-底面周

4、长 侧面积=底面周长高 S侧=Ch 表面积=侧面积+底面积2 S表=S侧+2r2 体积=底面积高 V=r2h 体积侧面积2半径 10、圆锥体：V-体积 h-高 S-底面积 r-底面半径 体积=底面积高3 和差问题的公式 （和差)2大数 (和差)2小数 和倍问题 和(倍数1)小数 小数倍数大数 (或者 和小数大数) 差倍问题 差(倍数1)小数 小数倍数大数 (或 小数差大数) 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数段数1全长株距1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数

5、段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数段数1全长株距1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 盈亏问题 （盈亏)两次分配量之差参加分配的份数 (大盈小盈)两次分配量之差参加分配的份数 （大亏小亏)两次分配量之差参加分配的份数 相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和 速度和相遇路程相遇时间 追及问题 追及距离速度差追及时间 追及时间追及距离速度差 速度差追及距离追及时间 流水问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 静水速度(

6、顺流速度逆流速度)2 水流速度(顺流速度逆流速度)2 浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量 溶质的重量浓度溶液的重量 利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 涨跌金额本金涨跌百分比 折扣实际售价原售价100%(折扣1) 利息本金利率时间 税后利息本金利率时间(120%) 长度单位换算 1千米（km）=1000米(m) 1米(m)=10分米(dm) 1分米(dm)=10厘米(cm) 1米(m)=100厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm) 面积单位换算 1平方千米(km2)=100公顷

7、(ha) 1公顷(ha)=10000平方米(m2) 1平方米(m2) =100平方分米(dm2) 1平方分米(dm2)=100平方厘米(cm2) 1平方厘米(cm2)=100平方毫米(mm2) 体(容)积单位换算 1立方米(m3)=1000立方分米(dm3) 1立方分米(dm3)=1000立方厘米(cm3) 1立方分米(dm3)=1升(l) 1立方厘米(cm3) =1毫升(ml) 1立方米(m3) =1000升(l) 重量单位换算 1吨(t)=1000 千克(kg) 1千克(kg)=1000克(g) 1千克(kg)=1公斤(kg) 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时

8、间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 平年 2月28天, 闰年 2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时（h） 1小时（h）=60分（s） 1分（min）=60秒（s） 1小时（h）=3600秒（s） 追击问题公式相向而行）：追及路程/追及速度和=追及时间 （同向而行）：追及路程/追及速度差=追及时间 追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于速度差. 追及：速度差追及时间=追及路程 追及路程速度差=追及时间(同向追及) 甲路程乙路程=追及时相差

9、的路程相遇：相遇路程速度和=相遇时间 速度和相遇时间=相遇路程速度差追及时间=追及路程 追及路程速度差=追及时间(同向追及) 甲路程乙路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案基本内容工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。联系实际谈话引入。引入设悬，渗透概念。目

10、的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。初步的复习再次强化工程问题的概念。通过比较，建立概念。在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。合理运用强化概念。学生在感知的基础上，于头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念。所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。在学生大量练习后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问题的答案。从而又一次突出工程问题概念的核心。在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完

11、成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子.：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量工作效率=6（天）?两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行

12、计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30（3+ 2）= 6（天）数计算，就方便些.2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也需时间是因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作

13、，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 3） 3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，现

14、在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56

15、 （天）.答：乙还需要做 56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天

16、）工作量.相当于乙队要做23=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）16- 60= 20（份）.因此乙休息天

17、数是（20- 3 3） 2= 5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完

18、成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要（60-48）（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-38）（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8 甲、乙合作一件

19、工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙6小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作6小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙

20、两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32

21、=6（天）.说明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工

22、作效率的3倍.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组2人和乙组7人每天能完成答：合作3天能完成这项工作.解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化

23、为：甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2

24、份.乙、丙一起，8天完成.乙完成82=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（12- 8） 7= 4200（个）.例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间

25、是答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6 8） 4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5 8）4= 5（小时）.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程

26、问题的解题思路基本相同.例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容积是：0.6（1/15-2/45）=27（立方米）答：水池容积是27立方米.例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.

27、问开始时打开了几根水管？分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30要注满水池的1/5，需要水管1/51/30=6（根）解：前后两段时间的注水量之比为：1：（1-1/3）1/32=1：4 前段时间注水量是：1（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1101/3=1/30 开始时打开水管根数：1/51/30=6（根）答：开始时打开6根水管。例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、