抛物线讲义.docx

1、抛物线讲义资料范本 本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载抛物线讲义 地点：_时间：_说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2.了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3.理解数形结合的思想.知识回顾 课前热身知识点1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l

2、的距离相等；(3)定点不在定直线上知识点2抛物线的标准方程和几何性质例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为eq r(5).(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q

3、|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.变式练习1(1)若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_(2)过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于_解析：(1)由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.(2)抛物线的准线方程为x1，则AB中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义得|AB|8.答案：(1)x212y(2)8例2(1)抛物线y224ax(a0)

4、上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28x By212xCy216x Dy220x(2)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_自主解答(1)由题意知，36a5，aeq f(1,3)，则抛物线方程为y28x.(2)抛物线的焦点F的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，线段FA的中点B的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,4)，1)，代入抛物线方程得12peq f(p,4)，解得peq r(2)，故点B的坐标为eq blc(rc)(avs4a

5、lco1(f(r(2),4)，1)，故点B到该抛物线准线的距离为eq f(r(2),4)eq f(r(2),2)eq f(3r(2),4).答案(1)A(2)eq f(3r(2),4)变式练习2已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48解析：选C设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，将xeq f(p,2)代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，得p6.点P在准线上，到AB的距离为p6，所以PAB的面积为eq f

6、(1,2)61236.例3已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2eq r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，求k的值解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(yk(x2)，,y28x，)得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x2eq f(8,k2)4，x1x24.又由抛物线的定义可知|FA|x12，|FB|x22，所以x122(x22)，即x12(x21)，代入x1x24得2(x21)x24，解得x21(x22舍去)，将x21，x14代入

7、x1x1eq f(8,k2)4得k2eq f(8,9)，由已知k0，所以keq f(2r(2),3).归纳总结 方法在握归纳4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p或|AB|eq f(2p,sin2)(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2eq f(p2,4)；(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线

8、是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现2解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题拓展延伸 能力升华例1(2012陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面

9、宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得xeq r(6)，所以此时水面宽为2eq r(6)米答案2eq r(6)变式练习1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图所示现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yeq f(12,49)x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后

10、，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t0.5时，P的横坐标xP7teq f(7,2)，代入抛物线方程yeq f(12,49)x2，得P的纵坐标yP3.由|AP|eq f(r(949),2)，得救援船速度的大小为eq r(949)海里/时(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)由vteq r(7t)2(12t212)2)，整理得v2144eq blc(rc)(avs4alco1(t2f(1,t2)337.因为t2e

11、q f(1,t2)2，当且仅当t1时等号成立所以v21442337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()A.eq f(5,2) B.eq f(3,2)Ceq f(1,2) Deq f(3,2)解析：选D把抛物线方程化为x22eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a)y，则peq f(1,2)a，故抛物线的准线方程是yeq f(p,2)eq f(f(1,2)a,2)，则eq f(f(1,2)a,2)1，解得aeq f(3,2).2已知

12、抛物线y24x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则OAB的面积是()A1 B2C4 D6解析：选B焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，2)，|AB|4，故OAB的面积Seq f(1,2)|AB|OF|eq f(1,2)412.3直线yx1截抛物线y22px所得弦长为2eq r(6)，此抛物线方程为()Ay22x By26xCy22x或y26x D以上都不对解析：选C由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,y22px，)得x2(22p)x10.x1x22p2，x1x21.则2eq r(6)eq r(112)eq r(x1x2)24x1x2)

13、 eq r(2)eq r(2p2)24).解得p1或p3，故抛物线方程为y22x或y26x.4已知点M(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线解析：选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|.又PBl，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线5(2013湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()Ay3x2或y3x2 By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x解析：选D圆的标准方程为(x1)2(y3

14、)21，故圆心坐标为(1，3)，设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，则(3)22p1或16p2，得2p19或2p2eq f(1,3)，故抛物线方程为y29x或x2eq f(1,3)y，则y29x或y3x2.6(2013衡水模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：选B由题可知抛物线焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,4)，令x

15、0，可得A点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，所以SOAFeq f(1,2)eq f(|a|,4)eq f(|a|,2)4.得a8故抛物线方程为y8x.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7以抛物线x24y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2y24.答案：x2y248(2013厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_解析：因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线

16、的焦点(1,0)答案：(1,0)9(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：如图，设A(x0，y0)(y00)，易知抛物线y24x的焦点为F(1,0)，抛物线的准线方程为x1，故由抛物线的定义得|AF|x0(1)3，解得x02，所以y02 eq r(2).故点A(2，2eq r(2)则直线AB的斜率为keq f(2r(2)0,21)2 eq r(2)，直线AB的方程为y2eq r(2)x2eq r(2)，联立eq blcrc (avs4alco1(y2r(2)x2r(2)，,y24x，)消去y得2x25x20，由x1x21，得A，

17、B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为eq f(1,2).再由抛物线的定义得|BF|eq f(1,2)(1)eq f(3,2).答案：eq f(3,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知圆C过定点Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)，且与直线xeq f(1,4)相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR)相交于A，B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于eq r(10)时，求k的值解：(1)由题意，点C到定点Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)和直线xeq f(1,4)的距离相等，故点C

18、的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组eq blcrc (avs4alco1(y2x，,yk(x1)消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理有y1y2eq f(1,k)，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1,0)SOABSOANSOBNeq f(1,2)|ON|y1|eq f(1,2)|ON|y2|，eq f(1,2)|ON|y1y2|eq f(1,2)1eq r(y1y2)24y1y2)eq f(1,2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)24).SOABeq r(10)，所以eq f(1,2) eq r(blc(rc)(

19、avs4alco1(f(1,k)24)eq r(10)，解得keq f(1,6).11若椭圆C1：eq f(x2,4)eq f(y2,b2)1(0b0)的焦点在椭圆C1的上顶点(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，又过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距ceq r(4b2)，由离心率eeq f(c,a)eq f(r(4b2),2)eq f(r(3),2)得，b21.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存

20、在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yeq f(1,4)x2，yeq f(1,2)x.切线l1，l2的斜率分别为eq f(1,2)x1，eq f(1,2)x2，当l1l2时，eq f(1,2)x1eq f(1,2)x21，即x1x24，由eq blcrc (avs4alco1(yk(x1)，,x24y，)得x24kx4k0，则(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.12(2013珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，直线l：xeq f(1,2

21、)，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线|PQ|是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|eq r(x01)2yoal(2,0)，则|TS|2eq r(r2d2)2eq r(yoal(2,0)2x01)，因为点M在曲线C上，所以x0eq f(yoal(2,0),2)，所以|TS|2eq r(yoal(2,0)yoal(2,0)1)2，是定值