普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题 理科 解析版.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题 理科 解析版普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程 x2 + 6x + 13 = 0 的一个根是A -3 + 2iB 3 + 2iC -2 + 3iD 2 + 3i-6 62 -13 4考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：解析：根据复数求根公式： x = = -3 2i ，所以方程的一个根为 -3 + 2i2答案为 A.2命题“ x Q ， x 3 Q ”的否定是0 R 0A x Q ， x

2、 3 Q B x Q ， x 3 Q0 R 0 0 R 0C x Q ， x3 Q D x Q ， x3 QR R考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选y1-1 O1x第3 题图D3已知二次函数 y = f (x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为A 2 B 4 C 3 D 5 3 2 222考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：解析：根据图像可得：y = f (x) = -x 2 + 1，再由定积分的几何意义，可求得面积为S = 1 (-x2 + 1)dx = (-

3、1 x3 + x)1 = 4 .-13 -1 3 44已知某几何体的三视图如图所示，则该几 2何体的体积为A 8 B 3 C310 D 63 正视图侧视图考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3 .选 B.5设 a Z ，且0 a 13 ，若512012 + a 能被13 整除，则 a =A0 B1C11 D12俯视图第 4 题图考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：2012解析：由于201251=52-1，

4、 (52 -1)2012 = C 02012 152 - C2012522011 + . - C 2011 521 +1,又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0a 0) 的两顶点为 A1 ， A2 ，虚轴两端点为 B1 ， B2 ，两焦点为 F1 ，F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ，切点分别为 A, B, C, D . 则 y（）双曲线的离心率 e = ；（）菱形 F B F B 的面积 S 与矩形 ABCD 的面积 S 的比值 S1 = . B2S1 1 2 2 12 B A2考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义， 以及一般平面几

5、何图形的面积计算.难易度：解析：（）由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ，因此点O 到A1 A2F1 OC DF2 x直线 F B 的距离为 a ，又由于虚轴两端点为 B ， B ，因此OB 的长为b ， B12 2 1 2 2=那么在 F OB 中，由三角形的面积公式知， 1 bc 1 a | B F |= 1 a (b + c)2 ，又由双曲线中2 2 2 2 2 2 2存在关系c 2 = a 2 + b 2 联立可得出(e2 - 1)2 = e2 ，根据e (1,+) 解出e =5 + 1;2（）设F OB = ,很显然知道FA O = AOB = , 因此 S

6、 = 2a 2 sin(2) .在F OB2 2b 2 + c 2中求得sin= b, cos=2 2 2b 2 + c 2c , 故 S = 22 =2 24a 2 bc；2 4asincosb 2 + c 2菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1= 2bc ，再根据第一问中求得的e 值可以解出 S1S2= 2 + 5 .2（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.）15（选修 4-1：几何证明选讲） B如图，点 D 在 O 的弦 AB 上移动， AB = 4 ，连接

7、OD，过点 D C作OD 的垂线交 O 于点 C，则 CD 的最大值为 . D考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度： .OC 2 - OD 2O值，解析：（由于OD CD, 因此CD = ,线段OC 长为定 A即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此1时 D 为 AB 的中点，点C 与点 B 重合，因此| CD |=| AB |= 2.2第 15 题图16（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线= 与曲线 x = t + 1,（t 为参数）4 y = (t - 1)2相交于 A，B

8、两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点. 难易度：x = t + 1,A B 0解析：= 4 在直角坐标系下的一般方程为 y = x(x R)，将参数方程 y = (t - 1)2 （t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为 y = (t - 1)2 = (x - 1 - 1)2 = (x - 2)2 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去 y 有 x 2 - 5x + 4 = 0 ，设 A、B 两点及其中点 P 的横坐标分别为 x 、x 、x ，则有韦达定理 x= x A + xB5 5 5= =,又由于点 P 点在直线 y x 上

9、，因此 AB 的中点 P( , ) . 0 2 2 2 2三、解答题17（本小题满分 12 分）已知向量 a = (cosx - sinx, sinx) ， b = (- cosx - sinx, 2 3 cosx) ，设函数f (x) = a b + (x R) 的图象关于直线 x = 对称，其中， 为常数，且（）求函数 f (x) 的最小正周期；1( , 1) .2( , 0)（）若 y = f (x) 的图象经过点 4，求函数 f (x) 在区间0, 3 上的取值范围.5考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。 难易度：解析：（）因为 f (x) = sin 2 x - c

10、os2 x + 2 3 sinx cosx + = - cos 2x +3 sin 2x + = 2sin(2x - ) + .6由直线 x = 是 y = f (x) 图象的一条对称轴，可得sin(2 - ) = 1，6所以 2 - = k + 6 2(k Z) ，即 = k + 1 (k Z) 2 3又 ( 1 , 1) ， k Z ，所以 k = 1，故= 5 .2 6所以 f (x) 的最小正周期是 6 .5（）由 y = f (x) 的图象过点( , 0) ，得 f ( ) = 0 ，4即= -2sin( 5 - ) = -2sin = -6 2 6 4422 ，即= - .2故 f

11、 (x) = 2sin( 5 x - ) - ，3 6由0 x 3 ，有 - 5 x - 5 ，5 6 3 6 62所以 - 1 sin(5 x - ) 1，得 -1 - 2sin( 5x - ) -22 2 - ，2 3 6故函数 f (x) 在0, 3 上的取值范围为-1 -53 62, 2 -2 .18（本小题满分 12 分）已知等差数列an 前三项的和为 -3，前三项的积为8 .（）求等差数列an 的通项公式；（）若 a2 ， a3 ， a1 成等比数列，求数列| an | 的前 n 项和.考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前 n 项和公式及基本运算。难易度：解析：（）设等差数列

12、an 的公差为 d ，则 a2 = a1 + d ， a3 = a1 + 2d ，由题意得 3a1 + 3d = -3,解得 a1 = 2,或 a1 = -4,a (a + d )(a + 2d ) = 8. d = -3, d = 3. 1 1 1 所以由等差数列通项公式可得an = 2 - 3(n - 1) = -3n + 5 ，或 an = -4 + 3(n - 1) = 3n - 7 .故 an = -3n + 5 ，或 an = 3n - 7 .（）当 an = -3n + 5 时， a2 ， a3 ， a1 分别为 -1， -4 ， 2 ，不成等比数列；当 an = 3n - 7

13、时， a2 ， a3 ， a1 分别为 -1， 2 ， -4 ，成等比数列，满足条件.-3n + 7,故| an |=| 3n - 7 |= 3n - 7,n = 1, 2,n 3.记数列| an | 的前 n 项和为 Sn .当 n = 1时， S1 =| a1 |= 4 ；当 n = 2 时， S2 =| a1 | + | a2 |= 5 ； 当 n 3时，Sn = S2 + | a3 | + | a4 | + + | an | = 5 + (3 3 - 7) + (3 4 - 7) + + (3 n- 7)= 5 + (n - 2)2 + (3n - 7) = 3 n2 - 11 n +

14、 10 . 当 n = 2 时，满足此式.2 2 2综上， Sn4, 3 2 11= n - n + 10, 2 2n =1,n 1.19（本小题满分 12 分）如图 1， ACB = 45 ， BC = 3，过动点 A 作 AD BC ，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB， 沿 AD 将 ABD 折起，使BDC = 90 （如图 2 所示）（）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A - BCD 的体积最大；（）当三棱锥 A - BCD 的体积最大时，设点 E ， M 分别为棱 BC ， AC 的中点，试在棱CD 上确定一点 N ，使得 EN BM ，并求 EN 与平面 BMN 所

15、成角的大小AAMB C DBD . CE图 1 图 2第 19 题图考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最 值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的 要求要高些。难易度： 解析：（）解法 1：在如图 1 所示的 ABC 中，设 BD = x (0 x 3) ，则CD = 3 - x 由 AD BC ， ACB = 45 知， ADC 为等腰直角三角形，所以 AD = CD = 3 - x .由折起前 AD BC 知，折起后（如图 2）， AD DC ， AD BD ，且 BD DC = D ，所以 A

16、D 平面 BCD 又BDC = 90 ，所以 SBCD= 1 BD CD = 1 x (3 - x ) 于是2 2V = 1 AD S= 1 (3 - x ) 1 x (3 - x ) = 1 2x (3 - x )(3 - x ) A- BCD 3BCD3 2 121 2x + (3 - x) + (3 - x) 3 2 12 3 = 3 ，当且仅当 2x = 3 - x ，即 x = 1时，等号成立，故当 x = 1，即 BD = 1时, 三棱锥 A - BCD 的体积最大 解法 2：同解法 1，得VA- BCD= 1 AD S3BCD= 1 (3 - x ) 1 x (3 - x ) =

17、 1 (x 3 - 6x 2 + 9x ) 3 2 6令 f (x) = 1 (x3 - 6x2 + 9x) ，由 f (x) = 1 (x -1)(x - 3) = 0 ，且0 x 0 ；当 x (1, 3) 时， f (x) 0 所以当 x = 1时， f (x) 取得最大值故当 BD = 1时, 三棱锥 A - BCD 的体积最大（）解法 1：以 D 为原点，建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D - xyz 由（）知，当三棱锥 A - BCD 的体积最大时， BD = 1， AD = CD = 2 E( , 1, 0)于是可得 D(0, 0, 0) ， B(1, 0, 0) ， C(0

18、, 2 , 0) ， A(0, 0, 2) ， M (0, 1, 1) ， 1 ， 且 BM = (-1, 1, 1) 12 设 N (0, 0) ，则 EN = (-,- 1, 0) . 因为 EN BM 等价于 EN BM = 0 ，即2N (0, , 0)(- 1 , -1, 0) (-1, 1, 1) = 1 + -1 = 0 ，故= 1 ， 1 .2 2 2 2所以当 DN = 1 （即 N 是CD 的靠近点 D 的一个四等分点）时， EN BM 2 设平面 BMN 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，由 n BN ,n 及 BN = (-11, , 0) ，2 y = 2x,得z = -x.可取 n = (1, 2, - 1)