输电线舞动的有限元分析及边界条件图文精.docx

1、输电线舞动的有限元分析及边界条件图文精第 14卷 第 2期重庆电力高等专科学校学报2009年 6月 Vol . 14 No . 2Journal of Chongqing Electric Power CollegeJun . 2009输电线舞动的有限元分析及边界条件陈仁全1, 2, 张占龙 1, 丁明亮 2, 王 勇1, 2(1. 重庆大学 电气工程学院 , 重庆 400030; 2. 重庆电力高等专科学校 , 重庆 400053【 摘 要 】 以有限个梁单元模拟输电导线状态 , 采用最小位能原理推导出有限元方程 , 最后利用强制边界条件 给出单元位移和应力方程 , 并运用仿真系统进行模态和

2、谐响应分析 。 其结果可为以后线路优化设计提供依据 。 【 关键词 】 舞动 ; 有限单元法 ; 风荷载 ; 仿真【 中图分类号 】 T M726. 3 【 文献标识码 】 A 【 文章编号 】 100828032(2009 0220019204 收稿日期 :2008211226作者简介 :陈仁全 (1971- , 讲师 , 研究方向 :输电线路的运行 、 检修和设计 。1 输电线模型的有限元格式2节点的梁单元是有限元方法中较早提出 , 并且至今仍广泛应用的单元 , 拟仿真的应用极为广泛 , , 精确 。1. 1 典型的 2节点平面梁单元 , 编码为 i, j 的位移分量如图 1所示。图 1平

3、面梁单元在有限元方法中 , 单元的位移模式或称为位移 函数一般采用多项式作为近似函数 , 因为多项式运 算简单 , 并且随着项数的增多 , 可以逼近任何一段 光滑的函数曲线 , 多项式的选取采用由低次到高 次 。用节点位移表示梁单元的位移模式 , 轴向位移的位移模式取的线性函数 , 而挠度则 V 用三次多项 式表示 , 即 :u =h (x a(1v =H (x b(2和 , 可以 。i x , 、 节点挠 u=u i u j T(3 v=v i i v j j T(4 将节点坐标带入式 (1 和 (2 , 节点坐标可以表示为 :u=Ai a(5 v=A2b(6 于是得到用节点位移表示的位移模

4、式并改成 矩阵形式 :f=Hu (x Hv (x Ae=Ne(7式中 , 结点位移列阵形式 :e =u i v i i u j v j j T(8 形函数矩阵 :N=N u 1N u 200N v 1N v 2N v 3N v (9式中 :N u 1=1- N u 2=, =x /lN v 1=1-32+22 N v 2=l (1-2N v 3=2(3-2 N v 4=-l 2(1-(10由于一维杆单元位移模式 , 取线性代数函数 ; 梁单元的位移模式 , 取三次代数多项式 , 正好负荷杆单元中常应变能真实反应梁单元的弯曲变形情 况 , 因此求得的有限元解答是精确解 , 用上述位移 模式通过虚

5、位移原理推导出梁单元的单刚矩阵和 由矩阵位移法推导的自由单刚矩阵完全相同 。 但一 般情况 , 有限元设置的模式并非实际位移 , 故协调 单元的位移解小于实际值 。1. 2应变矩阵和应力矩阵确定了单元位移后 , 可以利用几何方程和物理 方程求得单元的应变和应力 。 用 (7 式带入位移 , 得到的单元应变为 := xy=L u =LN e =L Ni N j e=Bi B j e =B e (11 B 称为应变矩阵 , L 是平面问题的微分算子 。 应变矩阵 B 的分块子矩阵是 :B i =LN i 0 99y N ix0v 9y9y 9 (12当单元的结点坐标确定后 , B 矩阵中的参数也

6、就确定下来 。 单元的结点坐标 e 确定以后 , 然后由 B 转换求得的单元应变 , 在载荷的作用下单元中各 点具有同样的值 。 在应变梯度较大的部位 , 单元划 分应适当密集 , 否则将不能反映应变的真实变化情 况而导致较大的误差 。单元应力可以根据物理方程求得= xy=D =DB e =S e (13其中 S =DB =D BiB j =S i S j (14 S 称为应力矩阵 , 将平面应力或平面应变的弹性矩 阵 (12 带入上式 (14 , 可以得到计算平面应力或 平面应变问题的单元应力矩阵 。S i =DB i =E1(1-v 20b i v 0c iv 0b i c i1-v2c

7、i1-v2b(i, j (15公式 15中将下标 i 改为 j 也同样成立 , 其中 E 0和 v 0为材料常数 。对于平面应力问题 E=E v 0=v1. 3利用最小位能原理建立有限元方程 最小位能原理的泛函数总位能 p 在平面问 题中的矩阵表达式形式为p=2T D tdxdy -u T f tdxdy - s u T tdS 1 (16 其中 , t 是二维体厚度 , f 是作用在二维体内的体积 力 ; T 是作用在二维边界上的面积力 。, 16 7式 , 即得到离peep=e(a eTe2B T DB tdxdy -e(a eT eN T f tdxdy -e(a eT S eN T T

8、 tdS (17 令 K e =eB T DBP e f =eN tdxdyP e S =S eN T T tdSP e =P s f +P e S(18K e 和 P e 分别称之为单元刚度矩阵和单元等效结点 载荷列阵 。 引入单元结点自由度和结构结点自由度 的转换矩阵 G, 从而将单元结点位移列阵 e 用结构 结点位移列阵 a 表示 , 即e =Ga (19 将 (18 和 (19 式代入 (17 式 , 则离散形式的总位 能可表示为p=a T2e(G T K e G a -a T eG T P e (20 并令K =eG T K eP =eG T P e(21和分别称之为结构整体刚度矩阵

9、和结构结点载荷 列阵 。 这样一来 , (20 式就可以表示为02重 庆 电 力 高 等 专 科 学 校 学 报 第 14卷p=2a T Ka -a TP (22由于离散形式的总位能 p的未知变量是结构的结点位移 a, 根据变分原理 , 泛函 p取驻值的条件 是它的一次变分为零 , p=0, 即99a=0(23 这样就得到有限元的求解方程Ka =P(24其中 K 和 P 由 (21 式给出 。 可以看出 , 结构整体刚 度矩阵 K 和结构点载荷列阵 P 都是基于单元刚度矩阵 K e 和单元等效结点载荷列阵 P e集合而成 。2引入位移边界条件理 , 它要求场函数 u 程 , 满足的 。 出在边

10、界上满足位移边界条件的要求 , 因此必须将 这个条件引入有限元方程 , 使之得到满足 。在有限单元法中通常几何边界条件的形式是 在若干个节点上给定场函数的值 , 即a j =珔 a j (j =c 1, c 2, , c l (25 珔 a j 可以是零值或非零值 。对于求解位移场的问题时 , 至少要提出足以约 束系统刚体位移的几何边界条件 , 以消除结构刚度 矩阵的奇异性 。 针对本文的梁单元采用直接代入法 引入强制边界条件 。在方程 (24 中将已知节点位移的自由度消 去 , 得到一组修正方程 , 用以求解其它待定的节点 位移 。 其原理是按节点位移已知和待定重新组合方 程K aa K a

11、b K ba K a a b=P a P b(26其中 , a a 为待定结点位移 , a b 为已知结点位移 ,a Tb =a c 1, a c 2, , a cl ;而且 K aa , K ab , K ba , K bb , P a , P b等为与其相应的刚度矩阵和载荷列阵 。 由刚度矩阵的对称性可知 K ba =ab由上式可得出K aa a a +K ab a b =P a(27由于输电线路边界条件为已知 , 最后的求解方程可 写为K 3a 3=P3(28 若总体结点位移为 n 个 , 其中已知结点位移 m 个 , 则得到的一组求解 n -m 个待定点位移的修正方程组 , K 3为

12、n -m 阶方阵 。 修正方程组的意义是 在原来 n 个方程中 , 只保留与待定结点位移相应的 n -m 个方程 , 并将方程中左端的已知位移和相应 刚度系数的乘积移至方程右端作为载荷修正项 。最小位能原理是有附加条件的变分原理 , 上面 的推导过程只考虑到了节点和单元内部的情况 , 而 在边界上并没有满足 。 因此 , , , , (又称为插值函 可以计算出单元内部的位移和应力 。3 仿真研究采用以上所建立的模型 , 对一段具体输电线路 进行计 算 。该 线 路 的 结 构 参 数 如 下 :导 线 型 号 LGJ95400, 架设档距 L =200m 单位长度的质量 为 m =1348kg

13、/km , 外径为 D =25. 2mm , 计算截面为 S =377. 2mm 2, 弹性模量为 EX =7. 8481010Pa, 泊松比 PREX =0. 3, 激励风速为 v =30m /s, 地磁场 磁感应输送功率为 10MW , 电压 U 为 100k V 。得到的风速谱如图 2、 图 3所示 。 图 2 导线弧垂 1/4处的风速图 3 导线弧垂 1/2处的风速12第 2期 陈仁全 等 :输电线舞动的有限元分析及边界条件 通过输电线路舞动模态分析前 5阶固有频率结果显示 , 如图 4所示 。图 4 前 5阶固有频率计算结果显示将上述模拟的输电线舞动的风载荷作用于输电线上做动力学分析

14、 , 提取了输电线舞动最大的位 移图如图 5、 图 6所示 。图 5 舞动最大点垂直方向的位移图 6 舞动最大点垂直方向的位移4 结论分析从以上模态分析结果可以看出来 :导线的位移 能和上面推导出的位移吻合 , 虽然输电导线前 5阶 模态频率很低 (0. 468862. 9695 , 但是频率却不 是很密集 , 出现了明显的跳跃性 。这是因为输电导 线结构大 , 加之自身的阻尼作用 , 响应中的高阶部 分衰减也很快 , 导致低阶频率在固有频率中占主导 地位 。导线的位移在加上各输电线舞动的模拟风载 荷之后 , 舞动不仅发生在垂直方向上 , 水平方向上 也产 生 振 动 , 在 垂 直 方 向

15、上 的 最 大 位 移 约 为 1017m , 6. 5m 。 虽然 , 但是 , 垂直 , 这就是导线为 。参考文献 :1王勖成 . 有限单元法 M.北京 :清华 大 学 出 版社 ,2003.2李亚智 , 赵美英 , 万小朋 . 有限元法基础与程序设计M.北京 :科学出版社 , 2004.3郭应龙 . 输电线路舞动 M.北京 :中国电力出版社 ,2003.4田洪地 , 田洪雨 . 架空输电线舞动力学新模型 J .黑龙江 :黑龙江电力技术 . 1993, (10 .5林凤羽 . 我国输电线路杆塔设计风荷载与 I EC 标准比较 J .中国电力 , 1997, (1 .6于俊清 , 郭应龙 ,

16、 应小晖 . 输电导线舞动的计算机仿真J .武汉大学学报 , 2002, (1 .F i n ite Elem en t Ana lysis i n Tran s m issi on L i n e Ga llop i n g and Its Boundary Cond iti on sCHE N Ren 2quan 1, 2, Z HANG Zhan 2l ong 1, D ING M ing 2liang 2,WANG Yong1, 2(1. Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. Chongqing Electric Power

17、College, Chongqing 400053, China Abstract:W ith the p rinci p le of m ini m um potential energy, a finite number of bea m ele ments are used t o si m ulate trans m issi on lines t o derive a finite ele ment equati on . Based on coercive boundary conditi ons, ele ment dis p lace 2ment and stress equati on are obtained . By using a si m ulati on syste m , this essay mainly deals with modal analysis and har monic res ponses analysis f or op ti m al trans m issi on line design . Key words:gall op ing; FE M; wind l oad; si m ulati on22重 庆 电 力 高 等 专 科 学 校 学 报 第 14卷