线性代数自考题模拟12.docx

1、线性代数自考题模拟12线性代数自考题模拟12第一部分 选择题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的1. 设|A|=|aij|为n阶行列式，则a12a23a34an-1，nan，1在行列式中符号为_A.正B.负C.(-1)nD.(-1)n-1答案：D考点 逆序数解答 (2 3 4n 1)=n-1，故符号为(-1)n-1故选D2. 设n维向量，矩阵A=E-T，B=E+2T，其中E为n阶单位矩阵，则AB=_A.OB.-EC.ED.E+T答案：C考点 矩阵运算解答 AB=(E-T)(E+2T) =E+T-2TT =E+T-2T(T) =E+T-2 =E，选C3. 设A为n阶方

2、阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有_A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|0答案：C考点 初等变换的性质解答 设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵， 于是当|A|=0时，|B|=|PAQ|=|P|A|Q|=0 故选C 4. 设n阶矩阵A非奇异(n2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则_A.(A*)*=|A|n-1AB.(A*)*=|A|n+1AC.(A*)*=|A|n-2AD.(A*)*=|A|n+2A答案：C考点 伴随矩阵的性质及运算解答 AA*=|A|E两边取行列式，得 |A|A*|=|A|n|E|，又|A|0，得|A*

3、|=|A|n-1 又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故 5. 设3阶矩阵其中，2，3均为3维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于A.1B.2C.3D.4答案：B考点 行列式的计算解答 选B 第二部分 非选择题二、填空题1. 设1，2，3，均为4维列向量，A=(1，2，3，)，B=(1，2，3，)，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|=_答案：56考点 行列式基本运算解答 |A-3B|=|(-21，-22，-23，-3)|(-21，-22，-23，)|+|(-21，-22，-23，-3)|=8|A|+24|B|=-16+72=562. 设a，b为实

4、数，则当a=_，且b=_时，答案：0，0考点 行列式的展开解答 将行列式按最后一列展开，得 得a=0，b=03. 若对任意的n1矩阵x，均有Ax=0，则A=_答案：O考点 齐次线性方程组具有非零解的相关定理解答 设A=(aij)mn，令 则有 得a1i=a2i=ami=0， 分别取i=1，2，n，得aij=0(i=1，2，m；j=1，2，n)，故A=O 4. 在n阶行列式D=|aij|中，当ij时，aij=0(i，j=1，2，n)，则D=_答案：a11a22ann考点 三角形的行列式解答 该行列式为下三角形，故D=a11a22ann5. 设A为n阶矩阵，则存在两个不相等的n阶矩阵B，C，使AB

5、=AC的充要条件为Ax=0有非零解，则|A|=_答案：0考点 齐次线性方程组具有非零解的相关定理解答 考虑Ax=0有非零解，即|A|=0 设其一个解为x*，则2x*同样是它的一个解，构造B，C，令x*与2x*分别为B与C的一个列向量，其余元素都取0，于是有AB=AC=0，但BC 故所求答案即为|A|=0 6. 设A为44矩阵，B为55矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|=_，|-|B|A|=_答案：64，32考点 行列式的运算解答 |-|A|B|=|-2B|=(-2)5|B|=(-2)6=26=64|-|B|A|=|2A|=24|A|=25=327. 设则(A+3E)-1(A2-

6、9E)=_答案：考点 矩阵的运算解答 因A2-9E=(A+3E)(A-3E)， 故原式 8. 设A为33矩阵，|A|=-2，把A按行分块为其中Aj(j=1，2，3)是A的第j行，则行列式答案：6考点 行列式的性质及运算解答9. 设n阶方阵A满足A2-A-2En=O，则A-1=_，(A-En)-1=_，(A+2En)-1=_答案：考点 矩阵的逆解答 由A(A-En)=2En， 得 故 又A+2En=A2， 得 10. 设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A*B-1|=_答案：考点 矩阵的逆解答 AA*=|A|E，即|A|A*|=|A|n|E|=2n 得|A*|=2n-1 而BB

7、-1=E，得 所以|2A*B-1|=2n|A*|B-1|= 三、计算题本大题共7小题，每小题9分，共63分设 求：1. AB-BA； 答案：2. A2-B2；答案：3. BTAT答案：考点 矩阵的运算4. 设计算A41+A42+A43+A44，其中A4j(Jj=1，2，3，4)是|A|中元素a4j的代数余子式答案：考点 代数余子式的运算5. 已知三阶矩阵A满足Ai=ii(i=1，2，3)，1=(1，2，2)T，2=(2，-2，1)T，3=(-2，-1，2)T，试求矩阵A答案：A(1，2，3)=(A1，A2，A3)=(1，22，33)，其中1，2，3分别为A的特征值1，2，3的特征向量，故线性无

8、关，于是(1，2，3)可逆， 得A=(1，22，33)(1，2，3)-1 考点 特征向量6. 计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式答案：考点 行列式的计算7. 设B为可逆矩阵，A是与B同阶的方阵，且满足A2+AB+B2=O，证明：A和A+B都是可逆矩阵答案：证明：由A2+AB+B2=OA(A+B)=-B2，两边取行列式，由于B可逆，即|B|0，有|A|A+B|=(-1)n |B|20，故|A|与|A+B|也都不为0 即A与A+B都是可逆矩阵 考点 矩阵的可逆性8. 设A，B是n阶方阵，已知|B|0，A-E可逆，且(A-E)-1=(B-E)T，求证：A可逆答案：证明：由(A-E)-1=(B-E)T(A-E)(BT-E)=EA(BT-E)-BT=O，即A(BT-E)=BT，B可逆，|B|0，|BT|=|B|0 上式两边取行列式即可得|A|0，即A可逆 考点 矩阵的逆9. 设A，B，A+B为n阶正交矩阵，试证：(A+B)-1=A-1+B-1答案：证明：A+B为正交矩阵，故(A+B)-1=(A+B)T=AT+BT，而A，B也为正交矩阵，即AT=A-1，BT=B-1 故(A+B)-1=A-1+B-1 考点 正交矩阵四、证明题本题7分1. 设A，B为n阶方阵，试证明：答案：证明：由于两边取行列式得 考点 分块矩阵