初中数学概念课堂教学设计.docx

1、初中数学概念课堂教学设计初中数学概念课堂教学设计俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解 数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其

2、本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。 为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、 目前概念教学的现状数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参

3、与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长 x 。 这组题对于初二的学生来讲，能够很快的得到答案。由于边长都非负，所以学生的第一反应说出的都是这组数的算术平方根，因为教师设计要讲平方根，所以

4、要求学生写出计算过程，并强调 ，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数平方根的定义：即 时，我们把 叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算术平方根。接下来就是根据定义求一些非负数的平方根与算术平方根的题组训练。表面上看，教师似乎让学生经历了从特殊到一般的抽象概括的过程，但实质上，教师的设计只是形式化的，并没有使学生真正的参与到平方根的发生与形成过程中，没有使学生真正弄清楚为什么 叫做 的平方根，所以可以想到学生只是机械的接受概念，在此基础上照猫画虎式进行解题练习，这种做法一定会造成学生后期将平方根与算术平方根混淆。 案例 2：关于“同类项”的教学： 教师往往采用如下引入： 下面各

5、式有何共同特点，请用简洁的语言叙述： （ 1） ； （ 2） ,而后师生共同归纳出同类项的概念。 这样的教学只是揭示了“同类项是什么”，而没有揭示“为什么提出同类项的概念，为什么教学中这样定义同类项概念”。这里涉及到科学分类的问题，分类是自然科学中的基本逻辑方法，通常是根据所研究的具体问题，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把他们不重不漏地划为若干类别，再分别加以研究，从某种程度上说，概念是对客观事物按照某种需要进行分类的产物，仅仅以事实为基础形成的概念难以迁移。 案例 3：“矩形”概念的教学： 首先采用合作学习：用 6根火柴棒首尾顺次相接摆成一个平行四边形。 议一议：（1）能摆成多少个不同

6、的平行四边形？他们有什么特点？ （2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由。 （学生分组讨论） 生 1：我们这组认为，可以摆成无数个平行四边形，他们的对边相等、对角相等、对角线互相平分。 师：这些特点都是平行四边形的性质，邻边有什么特点吗？ 生 1： (犹豫 )邻边不相等，其比值始终是 2： 1. 生 2：有一个面积最大的平行四边形，即长方形，因为平行四边形的面积等于底边乘以高，如果摆成长方形，高与平行四边形的一边相等，这样面积才是最大的。（众生疑惑） 师：你能说一下这个平行四边形一个内角的特点吗？ 生 2：每个角都是直角。 师：实际上，平行四边形有一个内角是直角，

7、我们把这样的平行四边形就叫做矩形。 生 (哗然）：这不是小学的长方形吗？ 教师在学生的疑惑声中，画出图形，板书课题及矩形定义。 在这个案例中，教师创设情境，采用小组合作学习的形式，通过“平行四边形什么时候面积最大”的问题引导学生动手操作，从而引入矩形的定义，却没有取得很好的教学效果： 1.很多学生对“当平行四边形是矩形时，面积最大”的知识没有真正理解，实质上这个问题是平行四边形面积与垂线段性质两方面知识的综合，它与矩形的定义没有多大关系； 2.矩形的边没有特殊性，但教师却要求学生说出邻边之比 2： 1，这无意中强调矩形邻边的不等性，使得在生成矩形概念时，学生错误的认为，矩形就是长方形； 3.这

8、样的问题设计很难在学生头脑中形成“矩形是平行四边形一个内角的特殊化”的概念。 教材把“矩形”安排在平行四边形之后，就是因为它是特殊的平行四边形，因此完全可以用概念同化的方法进行矩形概念的教学，这与以前学过的平行四边形和将要学习的菱形、正方形在研究思路、方法上一脉相承，这样的设计充分尊重学生的实际情况，可以使学生在获得知识的同时，培养其类比思维的能力。尽管新课程倡导动手操作、自主探究、合作交流的学习方式，但更应该根据具体的教学内容和学生的已有知识经验为基础制订教学策略，应该以有利于学生知识的获得、数学活动经验的积累和数学思想的领悟为标准。 在我们的日常教学中，类似于以上的概念教学并不是少数，我们

9、将目前部分教师的概念教学模式进行简单的归纳，可以分为以下几类： （一）开门见山，教师直接给出定义，归纳注意事项、举例让学生反复练习； （二）认为概念教学 = 解题教学，所以通过大容量训练，使学生逐步认识概念； （三）创设情境，但情境的选择并不能揭示概念的本质，只是为了设计情境而刻意安排的，让人感到前后不够协调； （四）注意到让学生参与概念的形成过程，但在概念的分析过程中，缺乏与学生已有知识的联系，总感觉每个概念都是孤零零的，没有形成系统。 这些模式的教学，其效果往往事倍功半，耗费学生大量的时间与精力，但知识掌握的一知半解，吃夹生饭，对问题的解决，依靠简单的机械模仿，所有的训练都游离在知识的表层

10、甚至知识之外。长此以往，必将使学生成为并不优秀的“做题机器”，数学双基也无法落实。鉴于此，反思我们的概念教学就显得尤为重要，到底什么样的概念教学模式可以称之为好的，有效的教学模式是什么呢？我认为应该没有统一的模式，教学有法、教无定法，只要教师能重视基本概念蕴含的智力开发价值，注意充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，能够使学生掌握知识、发展能力的概念教学都是有效的、好的教学。 三、初中数学课堂概念教学的一些想法从教育与发展心理学的角度出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，归纳

11、得出数学概念等思维活动而获得概念。数学概念要讲背景、讲思想、讲应用，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程，由于数学能力是以数学概括为基础的能力，因此重视数学概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。 概念的课堂教学大致经历以下几个环节：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相关概念的联系与区别、概念应用举例、概念的巩固练习。下面结合实例就其中关键环节谈谈在设计时的注意事项。 （一）概念的引入 概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础。传统教学中在教学方式上是以教师传授为主，学生被动接受学习，这显然不利于新课程背景下创造型人才的培养。课程标准中提出“ 抽象数学概念的教学，要关

12、注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式”。通过概念引入过程的教学，应该使学生明确：“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯，从而实现新课程标准中提出的通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。 我认为在概念课的引入上，要树立起让学生自己去发现的

13、观念，如果能让学生产生认知冲突，对学习新概念的必要性产生需求，并主动发现新概念是最佳途径。这样学生们在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，同时还能培养他们的探究精神，激发学生的潜能。所以对于情境的设计，要结合概念的特点恰当地选取，特点不同，引入形式也就会存在差异：我们提倡借助生动、丰富的实际问题引入概念，能够与学生的生活密切结合，这样往往比较具体、形象，学生容易理解，也比较容易从中提炼出概念的本质属性，比如数与代数中的同类项、分式等，空间与图形中的角、平行线、三角形等；但并非所有的数学概念都适宜用这种方法，比如前面提到的平方根，我认为从数学内部的运算关系角度入手，更容易理解（后面会具体分

14、析）。下面介绍概念引入的三种想法： 1. 联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在平面几何平行线的教学中，可以让学生观察单线练习本中的一组平行线，分析这组线的位置特点，再利用相交线作对比，然后概括出平行线的定义；在圆的概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是什么？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。 2. 从具体到抽象引入新概念。数学概念有具体性和抽象性双重特性。

15、在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。例如：在讲线线垂直的概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再模拟出线线垂直的模型，抽象出其本质特征，概括出线线垂直的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念，再比如对于一元一次方程的概念，可以借助一些简单的实例，让学生列方程，然后观察这些具体方程的共同点，从具体到抽象归纳概括出一元一次方程的定义。 案例 4 ：对于“用字母表示数”的教学，教师展示熟悉的生活实例，确立了一个学生熟悉的认知对象，由学生熟悉的铺地用的各种形状、各种颜色的地砖铺地时的图案入手。 提出问题 1 ：观察图案 1 至 4 ，用

16、正六边形黑白两色地砖铺地时黒砖块数与图案序号之间的数量关系是什么？ 学生答案是：图案中的黒砖块数与图案的序号相等。 提出问题 2 ：如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第五个、第六个图案中黑砖块数是多少？与图案序号之间的关系是什么？理由是什么？ 学生答案是：第五个图案中的黑砖块数是 5 ，第六个图案中的黑砖块数是 6 ，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变。 提出问题 3 ：请同学们思考，如何使图案序号与黒砖块数之间的关系一目了然呢？ （学生思考，最后达成共识：列一个图案序号为第一行，黒砖块数为第二行的表格，学生顺便体会到了在处理大量数字或者相关问题时

17、的处理方法） 图案序号 1 2 3 4 5 6 黒砖块数 1 2 3 4 5 6 提出问题 4 ：如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第任意个图案中黒砖块数是多少？与图案序号之间的关系是什么？理由是什么？ 学生 1 的解答：第任意个图案中黒砖块数是任意个，与图案序号之间是相等关系，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变，即： 图案序号 1 2 3 4 5 6 第任意个图案 黒砖块数 1 2 3 4 5 6 任意个 学生 2 的解释：学生 1 列的表格中的“第任意个图案”、“任意个”我觉得可以不用文字，但是也不能用具体的数来说明“第任意个图案”中黒砖块数的

18、任意性，怎么表示呢？ 学生 3 解释：用字母表示“任意个”，因为“任意个”可以是 23 、123 、100 等等，但是一个具体的数不能表示任意性、一般性，我认为用一个字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一个整数。 学生 3 把表格改写为： 图案序号 1 2 3 4 5 6 第 n 个图案 黒砖块数 1 2 3 4 5 6 n 至此，学生初步体会到表示任意性、一般性的问题时需要一个新的表示数的方法，体会到这类问题不用字母表示不行了，为学生创设了一个“字母表示数”的必要性的学习情节，使学生认识到“字母表示数”的重要性，从而激发了学生进一步探索有关内容的欲望，学生自己认为重要的、有用的东西，他们才

19、能百分之百的经历、主动、积极地投入到所要做的事情中来，这样的学习才是最有效果的。 3. 用类比的方法引入概念。类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义，通过类比分数得到分式的概念，类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函数等概念。作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。 概念的引入方法很多，设计时不仅要考虑概念自身的特点，还要结合学生的认识水平及生活经验，本着有利于突显概念本质的原则。就拿上面提到的平方根概念的教学引入为例，我认为首先要思考为什么要学

20、习这个概念？不学行不行？其次还要弄清这个概念对学生来讲产生理解它的困难的原因：以前学生大多接触的是答案唯一的情况，而正数的平方根都是两个，互为相反数，答案不唯一了，这与学生已有的思维习惯产生了冲突，所以学生非常不习惯，而前面所提到的这位教师所借助的利用已知正方形面积求边长的问题设计，并没有突破这个难点，相反，容易造成平方根与算术平方根的混乱，实际上，在他所设置的背景下，应该先介绍算术平方根更好，因为实际生活中，涉及到开方问题的结果，绝大部分都是非负数，并不能形象地揭示平方根的两个结果，所以，人教版教材就先安排的是算术平方根，然后，在不限定字母的取值范围时，再引入平方根的概念，有利于突出两个概念

21、的区别，在对比中加深对平方根概念的理解。其实我认为，平方根的概念与其以生活实际为背景引入，不如从平方与开平方互为逆运算的角度引入更有利于突出重点、突破难点。因为学生已学过的加减互为逆运算、乘除互为逆运算，在此基础上研究乘方的逆运算 - 开方。 案例 5 ：设计如下：教师首先利用竞赛的形式，给出两组练习，要求学生口答后，观察两组题目的区别与联系： 这种引入概念的方法，是建立在新旧知识的联系上，充分考虑学生已有的知识经验，使学生在具体数值的计算中，发现规律：第一组题已知底数、指数，求幂，第二组已知幂、指数，求底数，在此基础上学生能够从特殊推广到一般。当学生由具体到抽象得到 时，教师可以提出：此时将

22、已知数 a 仍叫做幂、 x 叫做底数合适吗？学生回忆加减法互逆后以及乘除法互逆后各数的名称都发生了变化，所以 中各部分的名称也应相应改变。教师可以不急于给出平方根的概念，而让学生结合式子的特点给 x 命名，由于 a 是已知数，此式从形式上看是一元二次方程，而求 x 就相当于求方程中的未知数，结合已有知识，学生能够想到诸如“二次方程的根 ( 解 ) ”“平方的根”等，在此基础上，教师再规范成“平方根”，这样会更有利于学生对平方根的理解，因为在参与命名时，学生就要认真分析式子以及结果的特点，对理解概念有帮助，在此基础上，创设生活中的实例，使学生感受到生活中更多的是应用平方根中那个非负的，顺势提出非

23、负的平方根如何命名？学生结合小学学的都是算术，很容易说出算术平方根。这也保证与数学结果唯一的特性一致了。此外，在分析 时，也可以引导学生总结出，式子中的三个量，知其二，可以求第三个，为后续高中学习奠定基础。再比如，前面举过的“矩形”概念的教学，另一位老师是这样设计的： 案例 6 ：首先借助几何画板： 师：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，那么它的边、角、对角线有什么性质？ 他有什么样的对称性？ 生（齐答）： 对边相等、对角相等、对角线互相平分；是中心对称图形。 师：它具有稳定性吗？那么，若把一个内角 A变成一个直角，（如图，拖动点 A，使角 A变成 90度）。这时，平行四边形 ABCD是我

24、们熟悉的什么图形？ 生：正方形！我知道了，当平行四边形有一个角是直角时，这个四边形就是长方形或正方形。从而引入矩形的概念。 在这个教学案例中，教师充分考虑了所教内容的系统性及学生的已有知识及认知水平，概念的形成给人水到渠成的感觉。 此外，函数概念的教学一直是初中教学中的难点，因其抽象性而令学生“望而却步”。函数的特点是什么？学生感到困难的主要原因是什么？我们在进行概念教学时，都要考虑到。函数从学科角度看，研究对象由定到动，思维方式由静止到运动，而学生的困难主要源于函数概念的高度抽象性以及函数表达形式的多样性和思维方式的变化。教学时，就要考虑到这些问题，生活中存在大量的函数实例，在选择时要注意所

25、选实例不仅应该是学生熟悉的、感兴趣的，还要考虑到实例中要包含函数的三种表示形式 - 解析法、列表法、图像法，使学生从不同的角度，多方位地理解函数概念 - 从变化、对应到形成概念，继而概念辨析，分层次使学生逐步加深对函数本质的认识。 对于三角形中位线概念的教学设计，有老师可能利用生活中的实例引入，也有的老师利用它与三角形中线的区别与联系引入，其实还可以借助学生动手实验引入。 案例 7 ：事先让每位学生准备一张三角形纸片和剪刀，课上让学生思考，只剪一刀，将剪成的两张纸片拼成一个平行四边形。学生很乐于参与这种动手操作的活动，根据生活经验也不难完成活动（如图），但当教师提出“说说你的裁剪方法”时， 学

26、生只能用生活语言，如“沿三角形的中间剪的”，说不出准确的数学语言。此时教师引导学生观察裁剪线的端点具有什么样的特征？有实物模型加上学生动手剪拼，可以得到 D 、 E 均为各边的中点。那么，它能叫中线吗？如果不能，我们可以给它起个什么名字？让学生尝试命名，根据它位置的特殊性，学生在教师的启发下，可以得到中位线的概念。这样的设计激发了学生的探究欲望，而且为后续探究中位线的性质埋下了伏笔，可谓一举多得。 由上面的分析可以看出，概念的引入方式没有统一的模式，总的原则是通过教师创设典型、丰富的具体实例（可以让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动，在此基础上，概括出共同本质特征，得到概念的本

27、质属性。为了激发学生的学习兴趣，促进学生的思考，引入的形式应该多种多样，可以是问题导入、游戏导入、史话导入等等。 （二）概念的剖析及辨析概念生成之后，应用概念解决问题之前，往往要进行概念剖析，即用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，包括对概念特性的考察，可以达到明确概念、再次认识概念本质的目的，还可以从中体会概念中所呈现的转化问题的方法，这是最基本、最重要的方法。 案例 8 ：函数定义： 在某一变化过程中有两个变量 x， y，对于 x的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应， y叫作 x的函数，其中 x叫做自变量， y叫做因变量。 教师引导学生分析概念中的关键词： 两个变量； 对应

28、； x 的每一个值； y 唯一确定 . 关键词中的“每一个 ”、 “唯一确定 ”是指对于 x取值范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，不能有两个或者两个以上与其对应。 在此基础上，给出一些具体问题，让学生尝试利用概念进行辨析练习，进一步加强对概念的理解。如 有一位学生的考试情况是这样的： 让学生分析每次考试的分数与序号之间是否具有函数关系？ 再比如：在 中， y 是不是 x 的函数？那么反过来 x 是不是 y 的函数呢？ 还可以给出右图，让学生对图像中 y 与 x 的关系进行判断，是否具有函数关系然后利用两个图像进行对比，从中体会“唯一”的含义。 还可以让学生自己举出一些例子，大家一

29、起判断所举例子是否存在函数关系。 在概念剖析练习中，进一步体会概念的内涵与外延，认识函数的本质。 此外，在剖析概念时通常要对概念的多种表示语言进行转化，数学语言主要是文字叙述、符号表示、图形表示，要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。 三种语言的转换在空间与图形的教学中体现得较为充分。例如：在讲三角形的中位线的概念时，得到定义“联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”后，往往会要求学生根据定义画出与之相对应的图形，然后，要求学生尝试用符号语言来表示定义。即：在 ABC 中， D 为 AB边中点， E为 AC边中点， DE为 ABC 的中位线。（三角形中位线定义） 反之，已知： DE 为

30、 ABC 的中位线， D 为 AB边中点， E为 AC边中点。（三角形中位线定义） 两个角度的描述，体现定义的双重性（性质、判定），然后让学生画出三角形中所有的中位线，进一步体会它的位置特征。往往还会要求学生将中位线与三角形的中线进行对比，找相同点与差异，在对比中进一步熟悉三角形的中位线。 再比如案例 9：全等三角形的概念： 引入全等形的概念“能够完全重合的两个图形叫做全等形 ”后 ,给出一组判断题：判断下列三组图形是否是全等形： 第一组：两个三角形； 第二组：两面中国国旗 第三组：两个六边形 其中第三组图片，教师根据学生回答，利用几何画板动态演示其中一个图形通过平移、旋转后是否与另一个图形重

31、合的过程，从而验证学生的判断，巩固全等形的概念 . 提问 ：你认为两个图形是全等形应具备哪几个条件？ 教师引导学生归纳总结出：（ 1）形状相同；（ 2）大小相等。 你还能再举出生活中具有全等形的例子吗？学生在思考问题的过程中，进一步认识全等形的概念。其中对于概念中所涉及到的图形，要注意采用图形变式，加强对概念的理解。比如，圆中直径的概念，有的教师教学中一般画出的图形如图 1，忽视了其他的情况，造成有些不爱动脑筋的学生的定势思维，认为只有满足图 1的情形， AB才叫直径，对于变式图形中的直径识别不出来。所以在概念教学中图形的变式训练，有利于突出概念的本质，只要抓住概念的本质，就可以保证无论图形如何改变，都能从中找到研究的对象。 （三）相关概念的区别与联系数学概念不是孤立存在的，概念间都有着千丝万缕的联系，概念教学还应该承担着建立与相关概念的联系的任务，教学时，要引导学生试着对概念进行适度的联系与发散，努力找出概念间一些体现共性的东西，以使学生形成功能良好的认知结构。 案例 10 ：对于三角函数的教学，我们先对函数概念的本质特征进行逐层剖析，再通过类比，来学习锐角三角函数： 如图，在锐角 （不妨令 BAC= ）的一边上任取一点 B ，作 B