数值分析报告作业三次样条插值Word文档格式.docx

1、理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。实验要求：（1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；（2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一段数据如下：123456789100.791.532.192.713.033.272.893.063.193.290.8算法描述：拉格朗日插值： 其中是拉格朗日基函数，其表达式为：牛顿插值

2、：其中三样条插值：所谓三次样条插值多项式Sn（x）是一种分段函数，它在节点Xi（aX0X1Xn=j Y（i）=（Y（i）-Y（i-1）/（X（i）-X（i-j+1）; else Y（i）=0; newt=newt,Yend %计算牛顿插值 f=newt（1,2）; for i=2: z=1; for k=1: z=（xi-X（k）*z; f=f+newt（i-1,i）*z; return3三次样条插值第一类边界条件Threch.mfunction S=Threch1（X,Y,dy0,dyn,xi） % X为已知数据的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值 %dy0左端点处的一阶导数% dyn右端

3、点处的一阶导数n=length（X）-1;d=zeros（n+1,1）;h=zeros（1,n-1）;f1=zeros（1,n-1）;f2=zeros（1,n-2）;for i=1:n%求函数的一阶差商 h（i）=X（i+1）-X（i）;f1（i）=（Y（i+1）-Y（i）/h（i）;end for i=2:n%求函数的二阶差商 f2（i）=（f1（i）-f1（i-1）/（X（i+1）-X（i-1）;d（i）=6*f2（i）;d（1）=6*（f1（1）-dy0）/h（1）;d（n+1）=6*（dyn-f1（n-1）/h（n-1）;%赋初值A=zeros（n+1,n+1）;B=zeros（1,n

4、-1）;C=zeros（1,n-1）;n-1 B（i）=h（i）/（h（i）+h（i+1）;C（i）=1-B（i）;A（1,2）=1;A（n+1,n）=1;n+1 A（i,i）=2;n A（i,i-1）=B（i-1）;A（i,i+1）=C（i-1）;M=Ad;syms x;Sx（i）=collect（Y（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i）*（x-X（i）. +M（i）/2*（x-X（i）2+（M（i+1）-M（i）/（6*h（i）*（x-X（i）3）;digits（4）;Sx（i）=vpa（Sx（i）;%三样条插值函数表达式disp（S（x）=）;fprintf（

5、%s （%d,%d）n,char（Sx（i）,X（i）,X（i+1）; if xi=X（i）&xi=X（i+1） S=Y（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i）*（xi-X（i）+M（i）/2*（xi-X（i）2+（M（i+1）-M（i）/（6*h（i）*（xi-X（i）3;xi S%d,%dn,xi,S）;return 4 三次样条插值第二类边界条件Threch2.mfunction Sx=Threch2（X,Y,d2y0,d2yn,xi） X为已知数据的横坐标 %d2y0左端点处的二阶导数% d2yn右端点处的二阶导数n%求一阶差商n%求二阶差商d（1）=2*d2

6、y0;d（n+1）=2*d2yn;%赋初值 A（1,2）=0;A（n+1,n）=0; S（i）=Y（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i）*（xi-X（i）+M（i）/2*（xi-X（i）2+（M（i+1）-M（i）/（6*h（i）*（xi-X（i）3;5插值节点处的插值结果main3.mclearclcX=0.0,0.1,0.2,0.3,0.4;Y=0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554;xi=0.13;%xi=0.36;xi=0.13%disp（xi=0.36拉格朗日插值结果lang（X,Y,xi）;牛顿插值结果newton（X,Y,

7、xi）;三次样条第一类边界条件插值结果Threch1（X,Y,0.40,0.36,xi）;%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数三次样条第二类边界条件插值结果Threch2（X,Y,0,-0.136,xi）;%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数6将多种插值函数即原函数图像画在同一图上main2.ma=linspace（0,0.4,21）;NUM=21;L=zeros（1,NUM）;N=zeros（1,NUM）;S=zeros（1,NUM）;B=zeros（1,NUM）;NUM xi=a（i）; L（i）=lang（X,Y,xi）;% 拉格朗日插值 N（i）=newton（X,Y,xi

8、）;% 牛顿插值 B（i）=normcdf（xi,0,1）;%原函数 S（i）=Threch1（X,Y,0.4,0.36,xi）;%三次样条函数第一类边界条件plot（a,B,-rhold on;plot（a,L,bplot（a,N,rplot（a,S,r+legend（原函数,拉格朗日插值牛顿插值三次样条插值,2）;hold off7增加插值节点观察误差变化main4.mclear;clc;N=5;%4.5第一问Ini=zeros（1,1001）;a=linspace（-1,1,1001）;Ini=1./（1+25*a.2）;3 %节点数量变化次数 N=2*N; t=linspace（-1,

9、1,N+1）;%插值节点 ft=1./（1+25*t.2）;%插值节点函数值 val=linspace（-1,1,101）;101 L（j）=lang（t,ft,val（j）; S（j）=Threch1（t,ft,0.,-0.,val（j）;%三样条第一类边界条件插值plot（a,Ini,k）%原函数图象hold onplot（val,L,）%拉格朗日插值函数图像plot（val,S,）%三次样条插值函数图像str=sprintf（插值节点为%d时的插值效果,N）;title（str）;%显示图例hold off figure8车门曲线main5.mX=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

10、10;Y=0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29;dy0=0.8;dyn=0.2;nh（i）=X（i+1）-X（i）;nf2（i）=（f1（i）-f1（i-1）/（X（i+1）-X（i-1）; A=zeros（n+1,n+1）;x=zeros（1,n）;S=zeros（1,n）;x（i）=X（i）+0.5;S（i）=Y（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i）*（x（i）-X（i）+M（i）/2*（x（i）-X（i）2+（M（i+1）-M（i）/（6*h（i）*（x（i）-X（i）3;plot（X,Y, hold on;plot（x,S,otitle（三次样条插值效果图已知插值节点 hold off 实验结果：4.31计算插值节点处的函数值xi=0.13时Xi=0.36时2将多种插值函数即原函数图像画在同一图上 4.5.1增加插值节点观察误差变化从上面三图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果4.5.2 车门曲线