考研数学一常考题型及重点汇总.docx

1、考研数学一常考题型及重点汇总第二篇高等数学第一章函数、极限、连续思考的鱼点拨“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础，它们是每年必考的内容之一，数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求函数的表达式： (1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过)； (2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过，数学(二)考过多次). 2.数列的极限的概念理解与运算定理： (1)数列极限的概念的理解及定义的等价叙述(数学(二)考过)； (2)运算定理的正确运用与性质的正确理解(2003二(2)题

2、)； (3)求数列的极限：化成积分和式求极限(1998七题)；夹逼定理求极限(1998七题，2005二(7)题)；单调有界定理求极限或讨论极限的存在性(2006三(16)题，2008一(4)题)；化成函数极限求极限(2006三(16)题). 3.函数的极限： (1)求七种待定型的极限(1998一(1)题，1999一(1)题，2003一(1)题，2006一(1)题，2008三(15)题，2003三题，1997五题)； (2)运算定理的正确使用与性质的正确理解(1997一(1)题，2000三题，2004二(8)题)： (3)已知某些极限求其中的某些参数(2009一(1)题)； (4)已知某函数的极

3、限，求与此有关的另一函数的极限(数学(二)考过). 4.无穷小的比较： (1)给了若干个无穷小，比较它们的阶的高低(2004二(7)题，2007一(1)题)； (2)给了两个无穷小，已知一个是另一个的等价(或高阶)无穷小，求其中的参数(2002三题). 5.函数的连续与间断： (1)讨论初等函数的间断点及类型(数学(二)考过多次)； (2)讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过多次)； (3)函数以极限形式表达，讨论该函数的连续性(数学(二)考过多次)； (4)已知某些函数的连续性(间断点)，讨论与此有关的另一些函数的连续性(间断点)(数学(二)考过多次)； (5)连续函

4、数介值定理的应用(2005三(18)题，2004三(18)题，数学(二)考过多次).读者请注意，上面提到的类型，数学(一)有许多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的.第二章一元函数微分学思考的鱼点拨导数与微分是微分学的基本概念，导数与微分的计算是微分学的基本计算，导数与微分的应用利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容，每年必考，本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求导数与微分，导数的几何意义： (1)显函数求导数(未考过)； (2)隐函数求导数(2002一(2)题，2008二

5、(10)题)； (3)参数式求导数(1997一(3)题)； (4)在直角坐标中求切线斜率、切线方程(2004一(1)题)，2002四题，2003三题，2005三(17)题)； (5)在极坐标中求切线斜率、切线方程(1997一(3)题)； (6)奇、偶、周期函数的导数(2005二(8)题)； (7)变限积分求导数(2002四题，1997一(2)题，1998二(1)题，1999二(1)题，1997五题)； (8)导数的变量变换(变量变换变化微分方程)(2003七题). 2.按定义求一点处的导数，可导与连续的关系. (1)讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题)； (2)按定义讨

6、论某点的可导性(1999二(2)题)； (3)已知某极限存在讨论某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数(200l二(3)题；2007 (4)题；2009三(18)题)； (4)已知某点可导，求其中参数(2002三题)； (5)绝对值函数求导数(1998二(2)题)； (6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题). 3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率： (1)单调性与极值(2003二(1)题，2004二(8)题)； (2)增量、导数与微分的关系(1998二(3)题，2006二(7)题)；(3)凹向与拐点(2005三(17)题)； (4)渐近线(200

7、51)题，2007一(2)题)； (5)曲率(1991九题考过). 4.中值定理及其应用： (1)不等式的证明(2000二(1)题，1999六题，2004三(15)题)； (2)零点问题(2005三(18)题，1998九题，2000九题，2007三(19)题)； (3)有关函数与导数的关系(2001二(1)题，2002二(3)题，2007一(5)题)； (4)有关“中值”的极限问题(2001七题)； (5)泰勒公式的应用(1999六题，2001七题，2002三题)； (6)中值定理的证明(2009三(18)题).由上列举可见，本章的知识点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：变限积分求导数，

8、按定义求导，不等式与零点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的，也应注意，例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等.第三章一元函数积分学思考的鱼点拨定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17.本章的考题类型及知识点大致有： 1.不定积分与定积分的计算： (1)分段函数求不定积分(未考过)； (2)分段函数求定积分与变限积分(数学(二)考过)； (3)计算带绝对值号的定积分(数学(二)考过)； (4)计算般不定积分(200

9、4 (2)题，2001三题)； (5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)： (6)计算反常积分(2002 (1)题)； (7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题). 2.定积分的应用： (1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2009一(3)题，2009三(16)题，2009三(17)题)； (2)物理应用(1997七题，2003六题)； (3)利用积分和式求极限(1998七题). 3.定积分(变限积分)的证明题： (1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)； (2)零点问题(1998

10、九题，2000九题)； (3)关于奇、偶函数、周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2008三(18)题)： (4)变限函数关于单调性的题(2009一(3)题)； (5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2008一(1)题)； (6)积分中值定理的应用(2000九题).本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法.第四章向量代数与空间解析几何思考的鱼点拨向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算(加减、数乘、点积、叉积)，空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面

11、(球面、柱面以及旋转面等)的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.本章的考题类型及知识点大致有： 1.关于向量运算： (1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)； (2)两向量平行、垂直、交角、模等问题(未考过)； (3)三点共线与三向量共面问题(未考过)； 2.直线与平面问题(大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题)： (1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)； (2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，199

12、4一(2)题，1996一(2)题都考过)； (3)平面与直线的相对位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)； (4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题). 3.二次曲面的题(大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面)、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2009三(17)题).由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握.第五章多元函数微分学思考的鱼点拨多元函数微分学包括有若干基本概念及其

13、联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线)极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l7，也是比较重要的.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度： (1)给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994 (3)考过)； (2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2009二(9)

14、题)； (3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)； (4)给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)； (5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)； (6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，3.5(2002八题，2008一(2)题，1992一(2)也考过). 2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系： (1)函数在点处极限不存在性讨论(1997二(1)题)； (2)隐函数的存在性(2005二(10)题)；

15、(3)偏导数的存在性(1997二(1)题)； (4)全微分的存在性(200l二(2)题)； (5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论(2002二(1)题). 3.曲面的切平面，曲线的切线： (1)曲面的法向量、切平面与法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；(2)曲线的切向量、切线与曲线的法平面(2001二(2)题). 4.极值与最值： (1)按定义讨论极值(2003二(3)题)； (2)极值的必要条件，驻点的讨论(2006二(10)题)； (3)求极值(含拉格朗

16、日乘数法)与最值(2002八题，2007三(17)题，2008三(17)题，2009三(15)题)； (4)求隐函数的极值(2004三(19)题).由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面(与空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视.第六章多元函数积分学思考的鱼点拨多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径

17、无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的14.本章的考题类型及知识点大致有： 1.二重积分的计算及应用： (1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)； (2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)； (3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)； (4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)； (5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)； (6)利用对称性

18、、轮换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2009(2)题)； (7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题)； (8)三重积分的应用(2001八题). 2.三重积分的计算及应用： (1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)； (2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2009二(12)题)； (3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)； (4)三重积分的应用(2000八题). 3.化多重积分为定积分： (1)化二重积分为变限积分求导问题(20

19、04二(10)题)； (2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)； (3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题). 4.第一型曲线积分与第型曲面积分：(1)计算(1999八题，2009二(11)题)； (2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)； (3)应用(未考过). 5.平面第二型曲线积分及应用： (1)用参数式计算(2004(3)题，2000五题，2003五题)； (2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2008三(16)题)； (3)路径无关问题与原函

20、数法(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)； (4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题)； (5)挖洞法(2000五题)； (6)应用(1990九题考过). 6.第二型曲面积分及应用： (1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)； (2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2008二(12)题)； (3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)；

21、(4)挖洞法(2009三(19)题)； (5)与微分方程有关的问题(2000六题). 7.空间第二型曲线积分： (1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)； (2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)；由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的16，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算； (2)三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算； (3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原

22、函数法与求原函数，与微分方程相结合的题； (4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题.以上各类题的计算，都有一套规X的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了.第七章无穷级数思考的鱼点拨级数部分包括级数的若干基本概念，判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法，幂级数的收敛性与和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法，

23、还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l6.若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分，则幂级数部分考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的判断，若把它划入级数敛散性判断部分，这部分的分数将接近级数总分的一半.求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题.本章的考题类型及知识点大致有： 1.数项级数判敛： (1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3)题考过，1992二(2)题考过，1995二(4)题考过； (2)已知某抽象数项级数的敛散性，讨论与此有关的另一些级数的敛

24、散性(2000二(3)题)，2002二(2)题，2004二(9)题，2006二(9)题，2009一(4)题)； (3)通项由某些条件(具体或抽象)给出，讨论该级数的敛散性(1997六题，1998八题，1999九题，2004三(18)题)； (4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题). 2.关于幂级数： (1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题，2005三(16)题，2008二(11)题，1995一(4)题考过)； (2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或已知收敛半径，讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径、收敛区间(的X围)(1997一(2)

25、题)； (3)将函数展开成xx0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和(2001五题，2003四题，2006三(17)题)；(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题，1990四题考过)； (5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题，2007三(20)； (6)求某些数项级数的和(1999九题，2009三(16)题). 3.傅里叶级数： (1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题，2008三(19)，1991五题考过，1993一(3)题考过)； (2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过

26、)； (3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题，1989二(4)题考过，1992一(3)题考过)； (4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题，1991五题考过)由以上可见，数项级数判敛问题中的1(1)，早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立X围，以及简单幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法，有一套规X步骤.简单幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，按狄

27、利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视.第八章常微分方程思考的鱼点拨微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15.本章的考试类型及知识点大致有： 1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y的设定： (1)一阶5种类型求解(2005 (2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)； (2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)； (3)二阶及高阶常系数线性

28、齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 (3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)； (4)欧拉方程求解(2004一(4)题)； (5)y的设定(数学(二)考过). 2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系： (1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)； (2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过. 3.已知(通)解求微分方程： (1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)； (2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求

29、该方程(2001 (1)题，2009二(10)题). 4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解： (1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)； (2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过). 5.经变量变换解微分方程： (1)经反函数变量变换(2003七题)； (2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次). 6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)； (2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题). 7.微分方程的应用 (1)几何方面(1999五题，1995五题考过，

30、1996六题考过)； (2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)； (3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题).由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视.第三篇线性代数第一章行列式思考的鱼点拨行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的

31、试题中得到体现.一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题 1.行列式的计算题.例如：计算行列式计算行列式的值这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决.多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值.(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组Ann X=O是否有非零解，Ann X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化.Ann 是否为零，除直接计算出A =O(或0)，或计算出A =kA ，其中k1，Ann =0(0)Ann不可逆(可逆)r(A)n，不满秩(=n，满秩)Ann X=O有非零解(只有零解)Ann X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解