第十章计数原理10.docx

1、第十章 计数原理10第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考情展望1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查两个计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个B45个C36个D35个【解析】根据题意，十位数上的数字分别

2、是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)【答案】C2在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15【解析】若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C.由分类计数原理知满足条件的信息个数为1CC11.【答案】

3、B3某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120【解析】分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法故共有789504种不同的插法【答案】A4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种 B12种 C24种 D30种【解析】分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课

4、程中恰有1门相同的选法共有43224(种)，故选C.【答案】C5(2013山东高考)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279【解析】0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个)【答案】B6(2013浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【解析】按C的位置分类计算当C在第一或第六位时，有A120(种)排法；当C在第二或第五位时，有AA72(种)排法；当C在第三或第四位时，有A

5、AAA48(种)排法所以共有2(1207248)480(种)排法【答案】480考向一 172分类加法计数原理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ，把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9B14C15D21【思路点拨】由PQ可知：xy或x2，故可按分类加法计数原理求解【尝试解答】PQ，xy或x2.当x2时，y3,4，9，共有7种选法当xy时，y3,4，9，共有7种选法共有满足条件的点7714(个)【答案】B规律方法1分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、

6、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.对点训练图1011如图1011所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)由分类加法计数原理知，共有32840(个)【答案】40考向二 173分步乘法计数原理(2012大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共

7、有()A12种B18种C24种D36种【思路点拨】先排第一列三个位置，再排第二列第一行上的元素，则其余位置上元素就可以确定【尝试解答】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的排列方法【答案】A规律方法21.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干扰.(2)步与步确保

8、连续，逐步完成.对点训练已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数考向三 174两个计数原理的综合应用在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A16个B18个C1

9、9个D21个【思路点拨】先确定出三个数字(可以有相同的)之和为9的有几类，然后对每类体别用分步列式计算【尝试解答】三个数字和为9的有以下五类：135，234，225，144，333.其中第、类的个数相同，例如用1、3、5排成一个三位数，百位有3种排法，十位有2种排法，个位有1种排法，共有3216个第、类的个数相同，例如用1、4、4排成三位数有3个，百位是1，其他两位是4；十位是1，其他两位是4；个位是1，其他两位是4.第类只有一个数333.总之，各个数字之和为9的共有6633119(个)【答案】C规律方法3用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步.(1)分类要做到“不重不漏”，

10、分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.对点训练(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12D6【解析】根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排

11、列，共有CCA12(种)方法依分类加法计数原理知共有61218(个)奇数【答案】B思想方法之二十二分类讨论思想在计数原理中的妙用分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏1个示范例1个对点练图1012编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图1012所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【解】根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216种不同的放法；(

12、2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，332118种不同方法综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有661830种如图1013，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_图1013【解析】按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域

13、2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24种方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A21372种方法，故由分类计数原理，不同的涂色种数为247296.【答案】96课时限时检测(10-1)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难分类加法计数原理2,5,611分步乘法计数原理1,3,4,710两个计数原理的综合应用8,912一、选择题(每小题5分，共30分)1现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座

14、，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A56 B65C. D65432【解析】由分步乘法计数原理得55555556.【答案】A2三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A6种 B8种 C10种 D16种【解析】如下图，甲第一次传给乙时有5种方法，同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法【答案】C3某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其

15、他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种 B360种C720种 D960种【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)【答案】D4将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A1种 B3种 C6种 D9种【解析】因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有3216种涂色方案【答案】C5如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的

16、三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920【解析】若a22，则“凸数”为120与121，共122个若a23，则“凸数”236个，若a24，满足条件的“凸数”有3412个，若a29，满足条件的“凸数”有8972个所有凸数有26122030425672240(个)【答案】A6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有()A20种 B30种 C40种 D60种【解析】分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有

17、A种排法；AAA20.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)【解析】第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336种【答案】368用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【解析】法一用2,3组成四位数共有2222

18、16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16214(个)法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C6(个)，因此满足条件的四位数共有24C14(个)【答案】149已知集合M1，2,3，N4,5,6，7从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数为_【解析】以集合M的元素作横坐标，N的元素作纵坐标，集合M中任取一元素的方法有3种，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5、6两个元素中的一个，有2种取法根据分步计数原理，有326(种)取法，即

19、6个点以集合N的元素作横坐标，M的元素作纵坐标，集合N中任取一元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1、3两个元素中的一个，有2种取法根据分步计数原理，有428(种)取法，即8个点综合上面两类，利用分类计数原理，共有6814(个)【答案】14三、解答题(本大题共3小题，共35分)图101410(10分)如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？【解】法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色 )根据分步计数原理

20、共有5433180种涂色方法法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A60种涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有603180种涂法11(12分)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”【解】渐升数由小到大排列，形如12的渐升数共有：65432121(个)形如134的渐升数共有5个形如135的渐升数共有4个故此时共有215430个因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.12(13分)高二年级四个班中有34个自愿组成数学课外小组，其中一班有7人，二班有8 人，三班

21、有9人，四班有10人推荐两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级，则有多少种不同的选法？【解】分六类，每类都分两步，从一、二班各选一人，共有7856种；从一、三班各选一人，共有7963种；从一、四班各选一人，共有71070种；从二、三班各选一人，共有8972种；从二、四班各选一人，共有81080种；从三、四班各选一人，共有91090种所以共有不同的选法为：N566370728090431种第二节排列与组合考情展望1.以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想.2.以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查一、排列与排列数1排列从n个不同元素中取出m(mn

22、)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.二、组合与组合数1组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.三、排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特别地C1.性质(1)0！1；(2)An！.(2)CC；CCC.解排列、组合应用题

23、的常见策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略1从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A9个 B24个 C36个 D54个【解析】选出符合题意的三个数字有CC种方法，这三个数可组成CCA54个没有重复数字的三位数【答案】D2甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A

24、6种 B12种 C30种 D36种【解析】从反面考虑：甲、乙所选的课程，共有CC种不同的选法，其中甲、乙所选的课程都相同的选法有C种故甲、乙所选的课程至少有1门不同有CCC30(种)【答案】C3A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A24种 B60种 C90种 D120种【解析】可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A60(种)【答案】B4某电视台在直播2012年伦敦奥运会时，连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且

25、2个奥运宣传广告不能连续播放则不同的播放方式有_种【解析】3个商业广告共有A种排法，奥运广告不连续播放，最后播放的必须是奥运广告有CA种排法故共有ACA36(种)【答案】365(2013大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)【解析】由题意知，所有可能的决赛结果有CCC61 60(种)【答案】606(2013北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分

26、法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A42496(种)【答案】96考向一 175排列应用题6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？(1)甲不站排头，乙不能站排尾；(2)甲、乙都不站排头和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；(4)甲、乙都不与丙相邻【思路点拨】(1)按甲站的位置分类求解；(2)先排甲、乙的位置，再排其他学生；(3)不相邻问题用插空法求解；(4)按丙站的位置分类求解【尝试解答】(1)分两类：甲站排尾，有A种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有AAA种由分类计数原理，共有AAAA504(种)(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A种

27、；再站其余4人，有A种由分步计数原理，共有AA288(种)(3)分两步：先站其余3人，有A种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A种由分步计数原理，共有AA144(种)(4)分三类：丙站首位，有AA种；丙站末位，有AA种；丙站中间四个位置中的一个，有AAA种由分类计数原理，共有2AAAAA288(种)规律方法11.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法

28、对点训练用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列【解】(1)AA480；(2)AAA192；(3)AAAAA408；(4)AAAAA120；(5)A2AA504；(6)AA60.考向二 176组合应用题男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员【思路点拨】第(1)问可以用直接法或间接法求解第(2)问根据有无女队长分类求解【尝试解答】(1)法一至少有1名女运动员