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1、2集合的基本关系及运算0701072106集合的基本关系及运算【学习目标】1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义.2. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集.【要点梳理】要点一、集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合 B包含集合A子集：如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A是集合B的子集(subset).记作:A B(或B二A)，当集合A不包含于集合B时，记作

2、A丄B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A ：= B(或B二A)要点诠释：(1) “ A是B的子集”的含义是： A的任何一个元素都是 B的元素，即由任意的 A，能推出B .(2) 当A不是B的子集时，我们记作“ AB(或B#A)”，读作：“ A不包含于B ”(或“ B不包含A ”).真子集：若集合 A二B，存在元素x ：= B且X A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset). 记作：A B(或升A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2. 集合与集合之间的“相等”关系A冬B且B 乂 A，则A与B中的元素是一样的，因此 A=B要点诠释：任何一个集合是它

3、本身的子集，记作 A 5 A .要点二、集合的运算1. 并集一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作：AU B读作：“ A并B”，即: AUB=x|x A，或 x B(1) “A，或x壬B”包含三种情况：“ A,但X送B ”； “ X甩,但 A ”； “ xA ,且B ”.(2) 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A与B的所有元素组成的集合(重复元素只岀现一次).2. 交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AQ B,读作：“ A交B”，即AQ B=x|x A，且x，B;交集的Venn图表示：(

4、1) 并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A与B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，而是 A| B二、.(2) 概念中的“所有”两字的含义是，不仅“ AH B中的任意元素都是 A与B的公共元素”，同时“ A与B的公共元素都属于 A n b”.(3) 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A与B的所有公共元素组成的集合.3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U.补集：对于全集 U的一个子集 A,由全集U中所有不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集 U的补集(complementary set)，

5、简称为集合A的补集，记作： 痧A ；即uA=x|x U且X A；补集的Venn图表示：要点诠释:(1) 理解补集概念时，应注意补集QjA是对给定的集合 A和U(A U )相对而言的一个概念，一个确定的集合 A，对于不 同的集合u,补集不同.(2) 全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则 R为全集，这时Z就不是全集.(3) eUA表示u为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如 R)时，则记号中“ u”也必须换成相应的集合(即 e?A ).4. 集合基本运算的一些结论A B A，A B B，A A=A，A 一 一 二一，AB二B 一

6、AA 二 A 一 B, B 二 A 一 B, A - A=A， A 一 一二A，A - B二B 一 A(痧A) A=U ,( uA) A=-若An b=a,则A二B，反之也成立若AUB=B,则A 5 B，反之也成立若 x (A n B)，_则 x A 且 x B若 x (A U B)，_则 x A，或 x B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼岀发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例 1.集合 A =

7、 a | a =2k, k迂 N ，集合 B = 2b|b = _8A. A B B. B A c. A = B D. 以上都不对【答案】B.这就【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合) 、形象化(用Venn图，或数形集合表示).举一反三：【变式 1】若集合 A =X | x = 2k 1,k z?, B = !x| x = 41 二 1,1 z，则().A. A=B B. B-A C. A = B D. AUB=Z【答案】C例2.写出集合a，b，c的所有不同的子集.【总结升华】要

8、写岀一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写岀 .当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写岀2个元素的子集时，先从 a 起, a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a， 再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集： .一和它本身.举一反三:【变式1】已知：a,b ；二A殳-a, b, c,d,ef，则这样的集合 A有 个.【答案】7个【变式2】同时满足： M 5 X,2,3,4,5 Ia，M，则6-a M的非空集合M有()A. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个【答案】C例 3.集合 A=x|y=x 2+1，B

9、=y|y=x 2+1，C=(x,y)|y=x 2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键 .首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件.举一反三：【变式 1】 设集合 M =( x, y)| y =3x 4，N =( x, y) | y = -3x -2，则 M| N 二( )a. -1,1 b. x = -1,y=1 c. (-1,1) d. ( -1,1)【答案】D【变式2】 设集合M =x| y =2x 1,x Z，N = y | y

10、 =2x 1, x Z，则M与N的关系是( )A. N U M B. M U N C. N =M D. NM =【答案】A【变式 3】 设 M=x|x=a2+1，a：= N+，N=x|x=b 2-4b+5，b：= NL，贝U M与 N满足()A. M=N B. M 一N C. N M D. M Q N=_【答案】B例 4.已知 M =x,xy, . x - y, N =0, x, y,若 m=n，则(x y) (x2 y2) 一八(x10 y100) = 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性.【答案】D【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异

11、性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析 解决某些集合问题的切入点.举一反三：b【变式 1】设 a, b. R,集合1,a+b,a=0, -,b，则 b-a=()a【答案】2类型二、集合的运算例 5. 设集合 Ax|x=3k,k Z,BA.y|y=3k 1,k Z? ， C Jz|z = 3k 2,k Z：D =w| w =6k 1,k Z，求 Ap|B, AnC,BfC, B|j D .【答案】A B =A p|C =B p|C =乞；,Bp| D = D【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体 化、形

12、象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成 .类似地，若一个集合元素的特征由不等式给岀时，利用数轴就能使问题直观形象起来 .举一反三：【变式 1】已知集合 M=y|y=x 2-4x+3，x R，N=y|y=-x 2-2x+8，x F，贝U MH N 等于()A. B. R C. -1 ，9 D. -1 ，9【答案】D例 6.设集合 M=3，a，N=x|x 2-2x 2，P=x|x 2-x-2=0，求 MJ P 和 MQ P;(2) 已知：A=y|y=3x 2， B=y|y=-x 2+4， 求：AQ B, AU B;(3) 已知集合 A=-3，a2，1+a， B=a

13、-3， a2+1，2a-1， 其中 a R，若 AQ B=-3，求 AU B.【答案】(1) x|x 2 或 x=-1，2 ; (2) y|0 y 4，R; (3) -4，-3，0，1，2.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性 .其中(1)易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1 ;而(2)中结合了二次函数的值域问题； (3)中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求岀 a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【变式 2】设集合 A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若 AQ B=2，3，求 AU B.【答案】2，3，6，18例 7.已知全集 U 二

14、1,2,3,4,51 A 二x|x2 px 4 =0?，求 ca.【思路点拨】CUA隐含了 A U，对于A U，注意不要忘记 A =.的情形.【答案】 当-4 p 4 时，CuA=1,2,3,4,5 / ；当 p =-4时，ca=、1,3,4,5? ； 当 p =-5时，cua2,3,5 .【总结升华】求集合 A的补集，只需在全集中剔除集合 A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合 A的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式 1】 设全集 U=x N+|x -1，N=x| - 3 x 3，知 Mn N=t| -1 t 3，因此选 Co3.答案】B解析】由N =x|x2 x=01，

15、得 N =-1,0，则 N M ,选 B.4.答案】C【解析】Ar)B=A：= AB：= aUb=B5.答案】D6.答案】B2k 1奇数 kl k 2整数 M : , N : ,解析】4 4 ； 4 4 ，整数的范围大于奇数的范围7.答案】a = 3, b = 4解析A=CU(GA)=x|3Ex = x|aEb.8.答案】26解析】全班分 4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x人；仅爱好体育的人数为(43-X)人；仅爱好音乐的人数为(34 _x)人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为 4人. 43_x 34 _x x 4 =55，二x = 26 .9.答案】，2,或一 2解析】由AIB =

16、B得B丄A，则x2二4或X2二x，且x = 1 .10. 【答案】【解析】IUN , CiN11. 答案】：2，一2 ;【解析】M ： y = x -4（x = 2）, M代表在直线y = x - 4上，但是挖掉（2, -2）的点，cu M代表直线y = x一4 外,但是包含点（2, _2）的点；N代表直线y =X -4外的点，CuN代表直线y =x -4上的点，. GM ）门（CuN）二心-2）12. 【答案】11【解析】含2个元素的子集有15 个,但丫1,2：、2,4二3,6?只能取1个；M，3、2,6只能取1个；2,3、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有 11个.13. 【答案】a

17、 =1或a 一 -114. U,6?而 A = V,0也=4(a+1)24(a2 1) = 8a+8B= ：_4,0 ?得 a =1a =1或 a - -114.【答案】1或2【解析】a-2,-1?，由（CUA）nB-一，得b a，当 m =1 时，B= ，符合 B - A ；当 m =1 时，B = T, m*，而 BA，. -m = -2，即 m = 2/. m =1或 2.15.【答案】a1 1, a2 =3,a3 =5,a4 =9【解析】由aDb二玄和得q,%是完全平方数，又q a4 = 10,a: a4 d =1,a4 =9； 1,9丘A“B，由9乏b可得3己A，由9壬A可得8 B设A中另一元素为x ,则 A 二1,3,9, x,B=l,9,81,x2又A U B中所有元素之和为124,所以x x二30,解得x = 5或x - -6 （舍），a =1,&2 =3月3 = 5,34 = 9