三角形的判定.docx

1、三角形的判定13.2全等三角形的判定1.全等三角形2.全等三角形的判定条件【教学目标】知识与技能使学生掌握全等三角形的判定条件,掌握S.A.S.的内容,会运用S.A.S.来识别两个三角形全等.过程与方法经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题.使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系,学习分析事物本质的方法.情感、态度与价值观通过S.A.S.定理的学习,让学生体验分类的思想,培养学生合作的精神.【重点难点】重点理解并掌握S.A.S.定理.难点灵活运用S.A.S.定理证明三角形全等.【教学过程】一、创设情景,导入课题1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,思考得到的

2、图形有何特点?2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点?二、师生互动,探究新知【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论.【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.学生在操作过程中,教师要让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细心.【互动交流】剪出的多边形和三角形,可以看出:形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“”表示.概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.【教师活动】在纸板上任意剪下一个三角形,要求各小组选派学生拿一个三角形做如下运动:平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形是

3、否全等.【学生活动】要求学生、实践感知、得出结论:两个三角形全等.【教师活动】要求学生将剪下的两三角形顶点标上字母,看重合的边角有何关系?【学生活动】将两个三角形按要求标上字母,并注意放置,与同桌交流何时可重合?【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.1.概念:把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如果本图1ABC和DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作ABCDBC.3.全等三角形的对应边相等,对应角相等.4.一个图形经过平移、翻折、

4、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.三、随堂练习,巩固新知1.全等三角形的对应边,对应角.2.已知:如图,ABCBAD,A和B,C和D分别是对应顶点,且C=60,ABD=35,则BAD=.【答案】1.相等相等2.85四、典例精析拓展新知【例】如图所示,已知ACEDBF,点A、B、C、D在同一条直线上,且AE=DF,CE=BF,AD=8,BC=2.(1)求AC的长;(2)求证:CEBF.【分析】由全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质来求解.【教学说明】根据符号及图形寻找对应边,从而找出待求量与已知量之间关

5、系.既训练了如何找对应边,对应角,又灵活运用全等三角形性质解决问题.五、运用新知,深化理解如图所示,ABCDEF.AB=DE,A=D,找出图中的所有相等的线段与角.【答案】相等的线段:AB=DE,AC=DF,BC=EF,BE=CF.相等的角:A=D,B=DEF,ACB=DFB,AOF=DOC,AOD=EOC,A=EOC=D=AOD.【教学说明】找等角等边时应充分利用全等三角形的性质,不要忽视间接相等的线段和角.六、师生互动,课堂小结这节课你学到了什么?有何收获?有什么困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.【教学反思】本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形,通过比较、运动,如平

6、移、翻折、旋转来学习全等三角形、对应角、对应边的概念,进而归纳出全等三角形的性质.教师应结合刚开始学习学生不注意将对应的顶点写在对应的位置应不断强化,而如何找对应边、对应角是本节的难点,教师应结合例题习题归纳:有公共边(角)的,公共边(角)为对应边(角);有相等边(角)的,相等的边(角)为对应边(角);有对顶角的,对顶角是对应角,对应边对的是对应角,对应角对的是对应边.3.边角边【教学过程】一、动手操作,导入新课【教师活动】按教材P63要求同排两个同学各画一个三角形,再放在一起判断它们是否全等.【学生活动】操作结果:全等.二、师生互动,探究新知【教师活动】在刚才的操作中,两个三角形满足什么条件

7、?这个基本事实如何叙述?在学生发言基础上,板书:基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简记为S.A.S(或边.角.边).这个基本事实中,角有什么特殊的要求?学生回答:夹角.【例1】如图所示,ABC中,AB=AC,AD平分BAC,求证:ABDACD.【分析】在ABD和ACD中,由已知AB=AC,AD=AD,因而只需要一条边对应相等或夹角对应相等即可,再由条件可得BAD=CAD,因此可以证得.证明:AD平分BAC,BAD=CAD,在ABD和ACD中,ABDACD(S.A.S)【教学说明】证明时分析两个待证三角形已具备的元素,间接条件应转化为直接条件,且注意格式,得夹角放在两对应边之间.【例

8、2】见书本P64例2【教师活动】说出本题中的道理应如何用几何语言表达?有待证的两个全等三角形吗?条件是否具备?【学生活动】写出已知求证,自己完成.三、随堂练习,巩固新知【例3】如图,已知ADBC,AD=CB,AE=CF,求证:AFDCEB.【答案】因为ADBC,所以A=C.又因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在AFD和CEB中,因为AD=CB,A=C,AF=CE,所以AFDCEB(边角边).四、典例精析,拓展新知如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2.求证:ABDACE.【分析】此题要证明全等的两个三角形中有一个顶点是公共顶点,这时我们可仔细从中找出获得全等的条件.证

9、明:1=2,1+CAD=2+CAD,即BAD=CAE.在ABD和ACE中,ABDACE(S.A.S).【教学说明】在寻找全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角等,为证明全等提供依据.五、运用新知,深化理解如图,ABCD,AB=CD,求证:ADBC.【教学说明】本题是用全等三角形证明两直线平行,实际上是证明3=4,另外本题中先由ABCD,得出1=2.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.【教学反思】这节课学习全等三角形的判定方法,通过学生画一画,比一比.得出基本事实S.A.S.,再利用S.A.S.

10、证明两个三角形全等,教师应着重强调角应为夹角,防止学生任意找两边及一角证明两个三角形全等.学生刚学严格证明,应注意强化,条理要清,说理有据,因果关系分明.4.角边角【教学目标】知识与技能使学生理解A.S.A.与A.A.S.的内容,能运用A.S.A.和A.A.S.证明三角形全等进而说明线段或角相等;过程与方法使学生体会探索发现问题的过程,经历自己探索出A.A.S.的三角形全等的判定方法及其应用.情感、态度与价值观通过画图、实验、发现、应用的过程教学,树立学生知识源于实践用于实践的观念.【重点难点】重点理解A.S.A.与A.A.S.定理,并能用它们证明三角形全等.难点利用A.S.A.与A.A.S.

11、定理间接说明角相等或线段相等.【教学过程】一、回顾交流,巩固学习【知识回顾】(投影显示)情景思考:1.小菁做了一个如图所示的风筝,其中EDH=FDH,ED=FD,将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同伴交流.2.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?试举例证明.【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.二、师生互动,探究新知【动手动脑】(投影显示)问题探究:先任意画一

12、个ABC,再画出一个ABC,使AB=AB,A=A,B=B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的ABC剪下,放到ABC上,它们全等吗?【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:画一个ABC,使AB=AB.A=A,B=B:1.画AB=AB;2.在AB的同旁画DAB=A,EBA=B,AD,BE交于点C.板书:基本事实两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“A.S.A”或“角边角”)【知识铺垫】课本图13.2-12中,A=A,B=B,那么C=ACB吗?为什么?【学生回答】根据三角形内角和定理,C=180-A-B,C=180-A-B,由于A=A,B=B,C=C.【教师提问】你能得到A

13、BCABC吗?是什么根据?板书定理:两角分别相等且其中一角对边对应相等的两个三角形全等.简记为:“A.A.S.”(或“角角边”)三、随堂练习,巩固新知如图,在ABC中,B=C,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别为E、F.求证:BDECDF.【答案】因为D是BC的中点(已知),所以DB=DC(中点的定义).因为DEAB,DFAC(已知),所以DEB=DFC=90(垂直的定义).在BDE和CDF中,因为DEB=DFC(已证),B=C(已知),DB=DC(已证),所以BDECDF(角角边).四、典例精析,拓展新知【例】如图所示,在ABC和DBC中,ACB=DBC=90,E是BC的中点,EF

14、AB于F,且AB=DE.(1)求证:BD=BC;(2)若BD=8 cm,求AC的长.【分析】(1)BD=BCBDECBA1=2.(A.A.S.);(2)AC=BE.(1)证明:EBD=90(已知),2+3=90(垂直的定义),又DEAB(已知),2+3=90(垂直的定义),1=2(同角的余角相等).在BDE与CBA中,ACB=DBC(已知),1=2(已证),AB=DE(已知),BDECBA(A.A.S.),BD=BC(全等三角形对应边相等).(2)由(1)知AC=BE,E为BC中点,BE=BC,AC=BC=BD=4(cm)【教学说明】本题有一定的综合性,注意让学生分析待证的目标是什么?已经具备

15、了什么条件?需要转化的是什么条件?五、运用新知,深化理解如图所示,1=2=3,AB=AD,求证:BC=DE.证明:2=1,2+DAC=1+DAC,即BAC=DAE,2=3,DOC=AOE,C=E.在ABC与ADE中,E=C,BAC=DAE,AB=AD.ABCADE(A.A.S.),BC=DE.【教学说明】让学生体会两角相等时,找夹边或一边的对角,判定这两个三角形全等.六、师生互动,课堂小结这节课你学了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.两角一夹边对应相等,两个三角形全等;两角一对边相等,两个三角形也全等.【教学反思】本节课从复习S.A.S.入手,导入新课,

16、让学生动手操作得出基本事“A.S.A.”,进而由三角形的内角和得“A.A.S.”,整个数学过程以学生为主体,教师是引线人,注重学生获得知识的过程.在运用“A.S.A.”或“A.A.S.”时,注重引导学生分析已有条件,寻找需要转化的条件,提升了学生逆向思维能力,与分析问题能力,本节课内容较多,注意对学困生给予适当的辅导.5.边边边【教学目标】知识与技能使学生理解边边边定理的内容,能运用边边边证明三角形全等,进而说明线段或角相等.过程与方法经历探索三个角或三条边对应相等的两个三角形是否全等的过程,体会如何探索研究问题,培养学生的合作精神.情感、态度与价值观通过画图、比较、验证,注重学生观察、思考、

17、不断总结的良好习惯.【重点难点】重点掌握边边边判定三角形全等定理.难点灵活应用边边边定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课【教师活动】(出示教具)提出问题:一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.【学生活动】观察,思考,回答教师的问题.方法如下:可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.【教师活动】其中的数学道理,让我们一起来探究!二、师生互动,探究新知【教师活动】同排两个同学用尺规画底边为3 cm,4 cm,4.8 cm的三角形,再把这两个

18、三角形放在一起看它们是否全等.【学生活动】(1)画一段线段AB使它的长度等于c(4.8 cm).(2)以点A为圆心,以线段b(3 cm)的长为半径画圆弧;以点B为圆心,以线段a(4 cm)的长为半径画圆弧;两弧交于点C.(3)连结AC、BC,得到ABC.【教师活动】巡视、指导,引入课题:“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律?”【学生活动】在观察实践的基础上,学生回答;三边分别相等的两个三角形全等.教师板书:S.S.S.(边边边).【教师活动】多媒体呈现练习题.已知ABC中,AB=AC,AD是中线,求证:B=C.证明:AD是中线,BD=CD,在ABD与ACD中,AB=AC,AD=AD,

19、BD=CD.ABDACD(S.S.S.)B=C.三、随堂练习,巩固新知【例】如图,已知AB=DC,AD=BC.求证:A=C.【答案】连接BD.在BAD和DCB中,因为AB=CD,AD=CB,BD=DB(公共边),所以BADDCB(边边边),所以A=C(全等三角形的对应角相等).四、典例精析,拓展新知【例】如图,在ABC与DCB中,AB=DC,AC=BD,AC与BD交于M.求证:BM=CM.证明:在ABC与DCB中,AC=BD,AB=CD,BC=CB,ABC DCB(S.S.S.),A=D,在ABM与DCM中,AB=CD,A=D,AMB=DMC,ABMDCM(A.A.S.),BM=CM.【教学说

20、明】本题涉及到两次证全等三角形的问题,注意从证明的需要寻找要转化的条件.五、运用新知,深化理解已知四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,求证:ADBC.【教学说明】本题没有两个三角形,可通过连接AC构成两个全等的三角形来证明DAC=BCA,从而证明ADBC.应启发学生如何证明ADBC?没有全等三角形怎么办?六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?并与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.本节课探讨出可用(S.S.S.)来识别两个三角形全等,并能灵活运用(S.S.S.)来识别三角形全等.三个角对应相等的两个三角形不一定会全等.以及如何依据题中所给条件,寻求证明方

21、法等.【教学反思】这节课探索S.S.S.时,学生通过全过程的画图,观察、比较、交流,逐步得出基本事实S.S.S.在这个过程中不仅得到了全等三角形全等的判定方法,同时增加了学生的数学体验,在探索过程中体验了数学的乐趣.基于课程标准,让不同的学生得到不同的发展,典例精析中两次用到全等三角形,可能有少数学生还不很适应,教师应引导他们如何逆向分析,寻找证明条件,提升解题能力.6.斜边直角边【教学目标】知识与技能使学生理解斜边直角边定理的内容,能运用斜边直角边证明三角形全等,进而说明线段或角相等.过程与方法经历探索直角三角形全等条件H.L.的过程,掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题.情

22、感、态度与价值观学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力.培养学生善于思考、不断探索的良好习惯.【重点难点】重点掌握斜边直角边定理.难点灵活应用斜边直角边定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课问题:证明一般三角形全等有哪些方法?我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当,那么这两个三角形一定全等.如果有“边边角”分别对应相等,那么能不能保证这两个三角形全等呢?(出示课件)思考:一般三角形不一定全等,对于特殊三角形中的直角三角形呢?让我们一起研究这个问题吧!二、师生互动,探究新知【教师活动】那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别

23、对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?大家一起动手画一画.如图所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.大家一起动手来画一画,好吗?画好后与同排比较,它们全等吗?【学生活动】动手操作,并用语言叙述这个基本事实.【教师活动】在同学发言基础上归纳:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记H.L.(或斜边直角边).此公理的前提是两个三角形是直角三角形,同时满足两个条件(1)斜边相等(2)一条直角边对应相等.斜边、直角边公理(H.L.)推理格式(图略)C=C=90,在

24、RtABC和RtABC中,AB=AB,BC=BC,RtABCRtABC(H.L.)三、随堂练习,巩固新知 【例】已知:(如图)AB=AE,BC=ED,B=E,AFCD,F为垂足.求证:CF=DF.【答案】证明:连接AC、AD,在ABC与AED中,ABCAED(S.A.S.).AC=AD.在RtAFC与RtAFD中,RtACFRtADF(H.L.)CF=DF.四、典例精析,拓展新知【例】如图,ACAD,BCBD,CECD,AC=BD,求证:DE=CE.证明:ACAD,BCBD,A=B=90,在RtADC和RtBCD中,AC=BD,DC=CD,RtADCRtBCD(HL),OCD=ODC,OEDC

25、,OEC=OED,在DOE和COE中,ODE=OCE,OED=OEC,OE=OE,ODEOCE(AAS),DE=CE.【教学说明】本例主要是灵活选择各种方法证明两个直角三角形全等,教学中应引导学生用分析法寻找证明DE=CE的思路,即DE=CEDOECOEODC=OCERtADCRtBCD.五、运用新知,深化理解如图,ACBC,ADBD,CEAB于E,DFAB于F,求证:CE=DF.【教学说明】先让学生独立思考,寻找解题思路,再全班交流由学生独立完成.六、师生互动,课堂小结这节课,你学习了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在同学们交流的基础上教师进行归纳与总结.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记为H.L.(或斜边直角边).【教学反思】本节课是在前面已经学习一般三角形的五种判定方法的基础上,研究直角三角形独有判定方法:“H.L.”,整节课按“操作发现归纳运用”程序展开.教学中应将五种一般方法与“H.L.”综合运用,提高学生综合运用知识能力,到此有时证明题中会涉及到两次用全等的方法证明线段(或角)相等,及时帮助同学们归纳总结,提升思维能力.