课题三线性方程组的迭代法.docx

1、课题三线性方程组的迭代法课题三 线性方程组的迭代法一、问题提出对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。1、设线性方程组=x*=（1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2）T2、设对称正定阵系数阵线方程组=x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2）T3、三对角形线性方程组=x*=（2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1）T二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较； 2、分别对不同精度要求，如=10-3，10-4，10-5由迭代次数体会该迭代

2、法的收敛快慢； 3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较； 2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序； 3、体会上机计算时，终止步骤x(k+1)- x(k)（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义； 4、体会初始解 x(0)，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、迭代计算1、雅可比迭代法在进行雅可比迭代之前，我们应该先判断迭代是否能够收敛，这里我们使用雅

3、可比迭代法收敛的充分必要条件（即，迭代矩阵的谱半径小于等于1）。1、判断方程组一使用雅可比迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序：D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的雅可比迭代矩阵的特征值分别为：1.6604 + 3.8389i；1.6604 - 3.8389i； -3.3952 ；-1.3286 + 1.5704i； -1.3286 - 1.5704i； -0.4754；-0.1912；0.9785 ；0.9568；1.4628 显然，其谱半径大于1，则雅可比迭代法不

4、收敛，故不可用雅可比迭代法进行迭代求解。 可用消去法求解，编写matlab高斯列主元消去法的程序如下：function X=Gauss_pivot(A,b)n=length(b);X=zeros(n,1);c=zeros(1,n);d1=0for i=1:n-1 max=abs(A(i,i); m=i; for j=i+1:n if max=emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endt=abs(x2-x1);r=max(t);x1=x2;k=k+1;if kNdi

5、sp(迭代失败，返回);return;endkend调用雅克比求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10-3：则x2 = 2.0000；1.0000；-2.9997；-0.0006；1.0008； -2.0015；3.0010；-0.0016；1.0007；-1.0007，迭代次数k=10=10-4：则x2 =2.0000；1.0000；-2.9999；-0.0002；1.0002；-2.0003；3.0002；-0.0003；1.0001；-1.0001，迭代次数k=12=10-5 ：则x2 = 2.0000；1.0000；-3.00

6、00；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数k=15由方程组三雅克比的迭代过程可以看出，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当=10-5时，x2 = 2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000，这与真值基本是相同的。2、高斯-赛德尔迭代法同样，在进行高斯-赛德尔迭代之前，我们应该先判断迭代是否能够收敛，这里我们使用高斯-赛德尔迭代法收敛的充分必要条件（即，迭代矩阵的谱半径小于等于1）

7、。1、判断方程组一使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序：D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)U;t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值分别为： 0；17.1222；-0.8196 + 4.1041i；-0.8196 - 4.1041i；0.9839；0.8639；-0.0220 + 0.1529i；-0.0220 - 0.1529i；0.4784；0.0000 显然，其谱半径为r= 17.1222，大于1，则高斯-赛德尔迭代法不收敛，故不可用高斯-赛德尔迭代法进行迭

8、代求解。2、判断方程组二使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一相似，求出方程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为： 0；0.9947；0.5849 + 0.0782i；0.5849 - 0.0782i；0.3075 + 0.2159i；0.3075 - 0.2159i；0.0291；-0.0000其谱半径r=0.9947，小于1，则方程组二使用高斯-赛德尔迭代法仍然收敛，故可用高斯-赛德尔迭代法求解。编写matlab高斯-赛德尔迭代法程序如下：function X=gseid(A,b,x0,delta,max1)N = length(b);for k=1:max1 for j=1:N if

9、j=1 X(1)=(b(1)-A(1,2:N)*x0(2:N)/A(1,1); elseif j=N X(N)=(b(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)/A(N,N); else X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*x0(j+1:N)/A(j,j); end endt=abs(X-x0);r=max(t); x0=X;if (rdelta) break end kend调用高斯-赛德尔求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10-3：则x2 =1.3126；-1.3619；0.0

10、775；1.8468；1.0320；-1.0685；0.0209；1.9882，迭代次数k=7=10-4：则x2 =1.1604；-1.1886；0.0377；1.9166；1.0133；-1.0342；0.0082； 1.9953，迭代次数k=132=10-5 ：则x2 =1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995，迭代次数k=569由方程组二的高斯-赛德尔迭代过程可以看出，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当=10-5时，x2 = 1.0160；-1.0188；0.0038；1

11、.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995，这与真值x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2）T基本是相同的。3、判断方程组三使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一、方程组二相似，求出方程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为：0；0.2302；0.1769；0.1072；0.0431；0.0051；-0.0000 + 0.0000i；-0.0000 - 0.0000i；0.0000；-0.0000其谱半径为0.2302，小于1，则方程组三使用高斯-赛德尔迭代法收敛，故可用高斯-赛德尔迭代法求解。调用高斯-赛德尔求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0

12、;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10-3：则x2 =2.0016；0.999；-3.0021；-0.0028；0.9986；-2.0003；3.0001 0.0001；1.0000；-1.0000，迭代次数k=4=10-4：则x2 =1.9999；0.9998；-3.0002；-0.0001；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数k=6=10-5 ：则x2 = 2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次

13、数k= 8当=10-5时，x2 =2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，这与真值x*=（2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1）T是相同的。3、超松弛迭代法1、判断方程组一使用超松弛迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序：w=1.3D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的超松弛迭代矩阵的谱半径为r=164.0633，

14、大于1，则超松弛迭代法不收敛，故不可用超松弛迭代法进行迭代求解。2、判断方程组二使用超松弛迭代法是否收敛与方程组一相似，取w=1.3求出方程组二的超松弛迭代矩阵的特征值为：0.9902；0.4505 + 0.3101i；0.4505 - 0.3101i；0.1697 + 0.4168i；0.1697 - 0.4168i；0.0452；-0.0972 + 0.1215i；-0.0972 - 0.1215i其谱半径r=0.9902，小于1，则方程组二使用超松弛迭代法收敛，故可用超松弛迭代法求解。编写超松弛迭代法的matlab程序如下：function x,k=SOR(A,b,w,N,r) x0=z

15、eros(1,length(b); n,n=size(A); k=1; while k=N x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1); for i=2:n x(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i); end if max(abs(x-x0)=r break; end k=k+1; x0=x; end if k=N+1 disp(超过最大迭代次数，求解失败！); end调用超松弛求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，取=10-5

16、，分别取=0.8，0.9，1，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2时，可得到不同的解：=0.8：则x =1.0208；-1.0245；0.0049；1.9892；1.0017；-1.0044；0.0011；1.9994，迭代次数k=10=0.9：则x =1.0182；-1.0214；0.0043；1.9906；1.0015；-1.0039；0.0009；1.9995迭代次数k= 604=1： 则x =1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995迭代次数k= 570=1.1：则x =1.0

17、144；-1.0169；0.0034；1.9926；1.0012；-1.0031；0.0007；1.9996迭代次数k= 538=1.2：则x =1.0129；-1.0151；0.0030；1.9933；1.0011；-1.0027；0.0007；1.9996迭代次数k= 510=1.3：则x =1.0116；-1.0136；0.0027；1.9940；1.0010；-1.0025；0.0006；1.9997迭代次数k= 484=1.4：则x =1.0106；-1.0124；0.0025；1.9945；1.0009；-1.0023；0.0005；1.9997迭代次数k= 459=1.5：则x

18、=1.0097；-1.0113；0.0023；1.9950；1.0008；-1.0021；0.0005；1.9997迭代次数k= 437=1.6：则x =1.0089；-1.0104；0.0021；1.9954；1.0007；-1.0019；0.0004；1.9997迭代次数k= 416=1.7：则x =1.0082；-1.0096；0.0019；1.9958；1.0007；-1.0018；0.0004；1.9998迭代次数k= 396=1.8：则x =1.0076；-1.0088；0.0018；1.9961；1.0006；-1.0016；0.0004；1.9998迭代次数k= 378=1.9

19、：则x =1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.0015；0.0003；1.9998迭代次数k= 361=2：则超过最大迭代次数，求解失败！当=1.9时，x =1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.0015；0.0003；1.9998，这与真值x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2）T是基本相同的。而当=2，则超过最大迭代次数，求解失败！3、判断方程组三使用超松弛迭代法是否收敛与方程组一、方程二相似，取w=1.3求出方程组二的超松弛迭代矩阵的特征值为： -0.1055 + 0.2808i；-0.1

20、055 - 0.2808i；-0.2957 + 0.0505i；-0.2957 - 0.0505i；-0.2635 + 0.1433i；-0.2635 - 0.1433i；-0.1505 + 0.2595i；-0.1505 - 0.2595i；-0.2094 + 0.2148i；-0.2094 - 0.2148i其谱半径r= 0.3000，小于1，则方程组三使用超松弛迭代法收敛，故可用超松弛迭代法求解。调用超松弛求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，取=10-5 ，分别取=0.8，0.9，1，1.1，1.2时，可得到不同的解：=0.8：则x =2.0000；

21、1.0000；-3.0000；-0.0001；0.9999；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数k=12=0.9：则x =2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k= 10=1： 则x =2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k= 9=1.1：则x =2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.000

22、0；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k= 9=1.2：则x =2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k= 11=1.3：则x =2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k= 13当=1.1时，x =2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.

23、0000；-1.0000，此时，迭代次数最少，并且与真值x*=（2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1）T是相同的。五、结果讨论与分析1、迭代法与消去法的比较在科学计算与工程设计中，我们常会遇到求解线性方程组的问题，对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组时，可以用列主元消去法进行消元。而对于系数矩阵大型稀疏矩阵的情况，直接消去法就显得比较繁琐，而迭代法比较实用。例如：方程组二可以用高斯-赛德尔迭代法求解，方程组三可以用雅克比和高斯-赛德尔迭代法求解。但是，当阶数比较高时，很难满足迭代法的收敛条件，此时只能用消去法进行求解，例如: 方程组一是十阶矩阵，不满足迭代法收敛的条

24、件，故只能用消去法进行求解。2、不同精度及初值对迭代法的收敛速度的影响一般而言，所要求的精度越高，收敛速度越慢，即所需迭代的次数越多。但是，所求结果也就越接近真实解。例如，方程组二使用高斯-赛德尔迭代计算，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当=10-5时，x2 = 1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995，这与真值x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2）T基本是相同的。一般而言，初值的选取对迭代计算是没有影响的。3、对方程组二、三使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者。松弛因子对算法的收敛性有一定的影响，由方程组二和方程组三可以看出，取不同的松弛因子时，会对迭代速度及解的准确性产生影响。对于方程组组二，当取1.9时，可以使迭代次数最少并且使迭代解最接近于真解。而对于方程组三，最佳松弛因子为=1.1。