数学建模示例--价格竞争问题.doc

1、数学建模期中考试系别： 专业： 班级： 姓名： 学号： 日期： 价格竞争问题问题提出：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？解：（1）问题分析：加油站的利润主要来自汽油的销售价和销售量。在这场价格战中，乙加油站降价销售主要受以下三个因素影响：甲加油站汽油降价的幅度；乙加油站降价的幅度；两站之间汽油销

2、售价之差。（2）模型假设：汽油的正常销售价格保持常数不变；（1）中的三个因素对已加油站销售的影响是线性的。（3）模型的建立： 映入符号： P：汽油正常销售价格（元/升） L：降价前乙加油站的销售量（升/日） W：汽油的成本价（元/升） a：因素对乙加油站汽油销售影响的比例常数b：因素对乙加油站汽油销售影响的比例常数c：因素对乙加油站汽油销售影响的比例常数x：乙加油站的销售价格（元/升）y：甲加油站的销售价格（元/升）根据问题的假设和模型的假设，可以得到乙加油站的利润的函数为：f(x,y)=(x-W)L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y) 这里的（a，b，c0）（4）模型的求解：当y

3、确定时，f(x,y)=(x-W)L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y)是关于x的二次函数。利润此函数求出R(x,y)的最大值点为：x0= (L-P*a+P*b+W*b+W*c+a*y+c*y)/(2*b+2*c)也就是说，当甲站把汽油的价格降到y元时，乙站把它的汽油价格定为x0时，可以使得乙站获得最高利润。附：已上是建立的数学模型，下面用Matlab求解（5）模型检验:令L=2000，P=4，W=3，y分别取3.4、3.5、3.6、3.7、3.8、3.9。这里参数a、b、c的数值难以给出。因为经济学的现象是难以通过试验来实现的。我们无法要求任何一个加油站频繁调整它的销售价格来统计不

4、同价格下的销售量。因此下面的a、b、c的取值只是虚拟的数值，取a=b=1000,c=4000。附：下面用Matlab求解 f1=subs(f,x,x0) f2=subs(f1,L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000) x1=subs(x0,L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000) y=3.9:-0.1:3.4; x=y/2 + 17/10; f3=(y/2 - 13/10).*(2500*y - 6500) plot(y,f3)表1：乙站的最优销售价及其利润yxf(x,y)3.93.83.73.63.53.43.653.603.553.53.453.42112.51800.01512.51250.01012.5800.0表1列出了甲站降价0.1、0.2、0.3元时，乙站的最优销售价格。注意到价格竞争前的利润是（43）2000=2000。这表明上述模型，双方的价格下降也可能会使乙站的利润提高，但随着甲站降价幅度的增大（即y变小），甲乙双方的利润都会有较大幅度的下降。这就是说，降价销售往往会导致“两败俱伤”。