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1、 xA （化简律）（3） A-BA证 x xA-B xAxB （4） 若AB, 则P（A）P（B）证 x xP（A） xA xB （已知AB） xP（B）例8 证明 AB=AB-AB.证 AB=（AB）（AB） =（AA）（AB）（BA）（BB） =（AB）（BA） =（AB）（AB） =AB-AB 例3 若A-B=A, 则AB=证 用归谬法, 假设AB, 则存在x,使得 xAB xAxB xA-BxB （A-B=A） xAxBxB xBxB, 矛盾例4 证明 是无理数证 假设 是有理数, 存在正整数n,m, 使得 =m/n, 不妨设m/n为既约分数. 于是m=n , m2=2n2, m2是偶

2、数, 从而m是偶数. 设m=2k, 得 （2k）2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.例6 对于每个正整数n, 存在n个连续的正合数.证 令x=（n+1）! 则 x+2, x+3, x+n+1是n个连续的正合数: i | x+i, i=2,3,n+1例7 判断下述命题是真是假: 若AB=AC, 则B=C. 解 反例: 取A=a,b, B=a,b,c, C=a,b,d, 有 AB=AC = a,b但BC, 故命题为假.例8 证明:对所有n1, 1+2+ +n=n（n+1）/2 证 归纳基础. 当n=1时, 1=1（1+1）/2, 结论成立.归纳步骤. 假设对

3、n1结论成立, 则有 1+2+ +n +（n+1）=n（n+1）/2 +（n+1） （归纳假设） = （n+1）（n+2）/2得证当n+1时结论也成立.例9 任何大于等于2的整数均可表成素数的乘积证 归纳基础. 对于2, 结论显然成立.归纳步骤. 假设对所有的k（2kn）结论成立, 要证结论对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab,2a,bn. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立。例10 可用4分和5分邮票组成n分邮资, n12.证 归纳基础. 12=34, 13=24+5, 14=25+4, 15=35,得

4、证对n=12,13,14,15时结论成立.归纳步骤. 设n15, 假设对12,13,n结论成立, 由12n-3 n和归纳假设, n-3分邮资可用4分和5分邮票组成, 再加一张4分邮票即可得到n+1分邮资, 得证结论对n+1也成立.第2章 命题逻辑 例1 下列句子中那些是命题？（1） 北京是中华人民共和国的首都.（2） 2 + 5 8.（3） x + 5 3.（4） 你会开车吗？（5） 2050年元旦北京是晴天.（6） 这只兔子跑得真快呀！（7） 请关上门！（8） 我正在说谎话.（1）,（2）,（5）是命题, （3）,（4）,（6）（8）都不是命题例2 将下列命题符号化. （1） 王晓既用功又聪

5、明.（2） 王晓不仅聪明，而且用功.（3） 王晓虽然聪明，但不用功.（4） 张辉与王丽都是三好生.（5） 张辉与王丽是同学.解 （1） pq （2） pq （3） pq（4） 记 r:张辉是三好生, s:王丽是三好生, rs（5） 简单命题, 记 t:张辉与王丽是同学例3 将下列命题符号化（1） 2或4是素数.（2） 2或3是素数.（3） 4或6是素数.（4） 元元只能拿一个苹果或一个梨.（5） 王晓红生于1975年或1976年.解（1） pr, 真值:1 （2） pq, 真值: 1 （3） rs, 真值: 0（4） 记t:元元拿一个苹果,u:元元拿一个梨 （tu）（tu）（5） 记v:王晓红

6、生于1975年,w:王晓红生于1976年 （vw）（vw）又可形式化为 vw例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服，将下列命题符号化 （1） 只要天冷，小王就穿羽绒服. pq（2） 因为天冷，所以小王穿羽绒服. pq（3） 若小王不穿羽绒服，则天不冷. qp 或 pq（4） 只有天冷，小王才穿羽绒服. qp （5） 除非天冷，小王才穿羽绒服. qp（6） 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. pq（7） 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. pq 或 qp（8） 小王穿羽绒服仅当天冷的时候. qp例5 求下列复合命题的真值（1） 2+24 当且仅当 3+36. 1（2） 2+24 当且仅当 3是偶数. 0（

7、3） 2+24 当且仅当 太阳从东方升起. 1（4） 2+25 当且仅当 美国位于非洲. 1（5） f （x）在x0处可导的充要条件是它在 x0处连续. 0例6 公式A=（ p1 p2 p3 ）（p1 p2） 000是成真赋值, 001是成假赋值 公式B= （pq）r 000是成假赋值, 001是成真赋值例3 证明 p（qr） （pq）r证 p（qr） p（qr） （蕴涵等值式） （pq）r （结合律） （pq）r （德摩根律） （pq） r （蕴涵等值式例4 证明: p（qr） （pq） r方法一 真值表法（见例2）方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假.方法三 先用等值演

8、算化简公式, 再观察.例5 用等值演算法判断下列公式的类型（1） q（pq） 解 q（pq） q（pq） （蕴涵等值式） q（pq） （德摩根律） p（qq） （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律）该式为矛盾式.（2） （pq）（qp） 解 （pq）（qp） （pq）（qp） （蕴涵等值式） （pq）（pq） （交换律） 1该式为重言式.（3） （pq）（pq）r） 解 （pq）（pq）r） （p（qq）r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律）非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.例1 求（pq）r 的析取范式与合取范式解 （pq）r （pq

9、）r （pq）r 析取范式 （pr）（qr） 合取范式注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.例1（续） 求（pq）r 的主析取范式与主合取范式解 （1） （pq）r （pq）r pq （pq）1 同一律 （pq）（rr） 排中律 （pqr）（pqr） 分配律 m4m5 r （pp）（qq）r 同一律, 排中律 （pqr）（pqr）（pqr）（pqr） m0 m2 m4 m6 分配律得 （pq）r m0 m2 m4 m5 m6可记作 （0,2,4,5,6）（2） （pq）r （pr）（qr） pr p0r 同一律 p（qq）r 矛盾律 M1M3 qr （pp）qr 同一律, 矛盾律 M3M7得

10、 （pq）r M1M3M7可记作 （1,3,7）例2 （1） 求 A （pq）（pqr）r的主析取范式解 用快速求法（1） pq （pqr）（pqr） m2 m3 pqr m1 r （pqr）（pqr）（pqr）（pqr） m1 m3 m5 m7得 A m1 m2 m3 m5 m7 （1,2,3,5,7）（2） 求 B p（pqr）的主合取范式解 p （pqr）（pqr）（pqr）（pqr） M4M5M6M7 pqr M1得 B M1M4M5M6M7 （1,4,5,6,7）例3 用主析取范式判断公式的类型:（1） A （pq）q （2） B p（pq） （3） C （pq）r解 （1） A （

11、 pq）q （ pq）q 0 矛盾式（2） B p（pq） 1 m0m1m2m3 重言式（3） C （pq）r （pq）r （pqr）（pqr）（pqr） （pqr）（pqr）（pqr） m0m1m3 m5m7 非重言式的可满足式例4 用主析取范式判断下面2组公式是否等值:（1） p与（pq）（pq）解 p p（qq） （pq）（pq） m2m3 （pq）（pq） （pq）（pq） （pq）（pq） m2m3故 p （pq）（pq）（2） （pq）r 与 p（qr）解 （pq）r （pqr）（pqr） （pqr）（pqr）（pqr）（pqr） m1m3m5 m6m7 p（qr） （pq）（p

12、r） m5 m6m7故 （pq）r p（qr）例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件:（1） 若A去, 则C必须去;（2） 若B去, 则C不能去;（3） A和B必须去一人且只能去一人.问有几种可能的选派方案?解 记p:派A去, q:派B去, r:派C去（1） pr, （2） qr, （3） （pq）（pq）求下式的成真赋值 A=（pr）（qr）（pq）（pq）例6 求A=（pqr）（pqr）（pqr）的主合取范式解 A m1m3m7 M0M2M4M5M6例1 判断下面推理是否正确:（1） 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设

13、p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 （pq）pq证明 用等值演算法 （p （pp） （pq）qq 1得证推理正确（2） 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设p: 明天是5号. qp证明 用主析取范式法 （ （p（p （pq） m0m2m3 01是成假赋值, 所以推理不正确.例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:前提: pq, qr, ps, s结论: r（pq）证明 ps 前提引入 s 前提引入 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论 qr 前提引入 r 假言推理 rq） 合取推理正确, rq）是有效结论例3 构造推理的证明:

14、 若明天是星期一或星期三, 我就有课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三. 明天是星期一, q:明天是星期三， r:我有课， s:我备课 （pq）r, rq 例4 构造下面推理的证明:q, p证明 p 附加前提引入 q 析取三段论 r 析取三段论 rs 前提引入 s 假言推理推理正确, ps是有效结论例5 构造下面推理的证明s, p证明 用归缪法 q 结论否定引入 rr 拒取式 r 前提引入 q） 析取三段论 q 置换 p 析取三段论 p 前提引入 p 合取推理正确, q是有效结论例6 用归结证明法构造下面推理的证明:s）解 （pr （r）r） rs

15、 r （ps） p推理可表成r, 第3章 一阶逻辑例1 （1） 4是偶数 4是个体常项, “是偶数”是谓词常项, 符号化为: F（4） （2） 小王和小李同岁 小王, 小李是个体常项, 同岁是谓词常项. 记a:小王, b: 小李, G（x,y）: x与y同岁, 符号化为: G（a,b）（3） x y x,y是命题变项, 3，则3y, G（x,y）: xy,符号化为 F（2,3）G（3,4）真值为1例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化:（1）人都爱美; （2） 有人用左手写字个体域分别取（a） 人类集合, （b） 全总个体域 .解: （a） （1） 设F（x）: x爱美, 符号化为 x F（x）

16、（2） 设G（x）: x用左手写字, 符号化为 x G（x） （b） 设M（x）: x为人， F（x）, G（x）同（a）中 （1） x （M（x）F（x） （2） x （M（x）G（x）M（x）称作特性谓词例4 将下列命题符号化, 并讨论其真值:（1） 对任意的x, 均有x2-3x+2=（x-1）（x-2）（2） 存在x, 使得x+5=3分别取（a） 个体域D1=N, （b） 个体域D2=R解 记F（x）: x2-3x+2=（x-1）（x-2）, G（x）: x+5=3（a） （1） x F（x） 真值为1 （2） x G（x） 真值为0（b） （1） x F（x） 真值为1 （2） x G

17、（x） 真值为1例5 将下面命题符号化:（1） 兔子比乌龟跑得快（2） 有的兔子比所有的乌龟跑得快（3） 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快（4） 不存在跑得一样快的兔子和乌龟解 用全总个体域, 令F（x）: x是兔子, G（y）: y是乌龟, H（x,y）: x比y跑得快, L（x,y）: x和y跑得一样快（1） xy（F（x）G（y）H（x,y） （2） x（F（x）（y （G（y）H（x,y）（3） xy（F（x）G（y）H（x,y） （4） xy（F（x）G（y）L（x,y）例6 公式 x（F（x,y）yG（x,y,z） x的辖域:（F（x,y）yG（x,y,z）， 指导变元为x y的辖域

18、:G（x,y,z）， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现z为自由出现. 例7 公式 x（F（x）xG（x）x的辖域:（F（x）xG（x）， 指导变元为xG（x）， 指导变元为xx的两次出现均为约束出现. 但是, 第一次出现的x是x中的x, 第二次出现的x是x中的x. 例8 给定解释I 如下: （a） 个体域 D=N （b） （c） （d） 谓词说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 （1） xF（g（x,a）,x）x（2x=x） 假命题（2） xy（F（f（x,a）,y）F（f（y,a）,x）xy（x+2=yy+2=x） 假命题（3）

19、 xyzF（f（x,y）,z） xyz （x+y=z） 真命题 （4） xF（f（x,x）,g（x,x） x（2x=x2） 真命题（5） F（f（x,a）, g（x,a）x+2=2x 不是命题（6） x （F（x,y）F（f（x,a）, f（y,a）x （x=yx+2=y+2） 真命题例8 （1）（4）都是闭式, 在I下全是命题.（5）和（6）不是闭式, 在I下（5）不是命题, （6）是命题 例9 判断下列公式的类型:（1） x（F（x）G（x）取解释I1, D1=R, :x是整数, :x是有理数, 真命题取解释I2, D2=R, :x是自然数, 假命题非永真式的可满足式（2） （xF（x）（

20、xF（x） 这是 pp 的代换实例, pp是重言式, 永真式（3） （xF（x）yG（y） yG（y）这是（pq）q的代换实例, （pq）q是矛盾式 矛盾式例1 消去公式中既约束出现、又自由出现的个体变项（1） xF（x,y,z） yG（x,y,z） uF（u,y,z） yG（x,y,z） 换名规则 uF（u,y,z） vG（x,v,z） 换名规则或者 xF（x,u,z） yG（x,y,z） 代替规则 xF（x,u,z） yG（v,y,z） 代替规则（2） x（F（x,y） yG（x,y,z） x（F（x,y） tG（x,t,z） 换名规则或者 x（F（x,t） yG（x,y,z） 代替规则例

21、2 设个体域D=a,b,c, 消去下面公式中的量词: （F（a）G（a）（F（b）G（b）（F（c）G（c）（2） x（F（x）yG（y） xF（x）yG（y） 量词辖域收缩（F（a）F（b）F（c）（G（a）G（b）G（c）（3） xyF（x,y） x（F（x,a）F（x,b）F（x,c） （F（a,a）F（a,b）F（a,c）（F（b,a）F（b,b）F（b,c） （F（c,a）F（c,b）F（c,c）例3 给定解释I: （a） D=2,3, （b） （c） :x是奇数, : x=2 y=2, : x=y.在I下求下列各式的真值:（1） x（F（f（x）G（x, f（x） 解 （F（f（2

22、）G（2, f（2）（F（f（3）G（3, f（3） （11）（01） 1（2） xyL（x,y）解 yL（2,y）yL（3,y） （L（2,2）L（2,3）（L（3,2）L（3,3） （10）（01） 0例4 证明下列等值式: x（M（x）F（x） x（M（x） F（x）证 左边 x （M（x）F（x） 量词否定等值式 x（M（x）F（x） x（M（x） F（x）例5 求公式的前束范式（1） xF（x）xG（x）解 xF（x）xG（x） 量词否定等值式 x（F（x）G（x） 量词分配等值式解2 xF（x）yG（y） 换名规则 xF（x）yG（y） 量词否定等值式 x（F（x）yG（y） 量词辖域扩张 xy（F（x）G（y） 量词辖域扩张 第4章 关系例1 =，求 x, y. 解 3y4=2, x+5=y y=2, x= 3 例2 A=0, 1, B=a, b, c AB=,0,c1,a1,b1,c BA =b,0c,0a,1b,1c,1 A = , B = P（A）A = , P（A）B = 例3 （1） R= | x,yN, x+y3