第17讲图形巧数.docx

1、第17讲图形巧数学科：奥数教学内容：第17讲 图形巧数知识网络几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。在几何图形的计数问题中，各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。直线的性质：没有端点，且过两点有且只有一条直线；射线：直线上一点和它一旁的部分，它有一个端点；线段：直线上两点和它们之间的部分，它有两个端点；三角形：三条线段首尾顺次连接而得到的图形；平行四边形：两组对边分别平行的四边形；长方形：有一个角是直角的平行四边形；正方形：长与宽相等的矩形；梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。重点难点以要数的图形的基本概念和基本性质为基础

2、，找到计数规律，既不能同一图形数两次，也不能把有的图形漏掉不数。学法指导掌握图形的规律和方法多种多样，常用的有按顺序数和分类数两种。分类方法如：按点分类，按边分类，按块分类等等还要注意分类的合理性，只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。经典例题例1数一数图1中有多少条线段？思路剖析要想使数出的图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就要找到规律。第一种可以按端点进行分类，如图1中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共五条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条；以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共三条；以D为

3、左端点的线段有DE、DF共二条；以E为左端点的线段有EF，一条。这些线段的和就是图形中线段的条数。第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。在此题中最长的线段AF上有四个分点，将AF分成了5条小线段，这每条小线段就是基本线段。首先有5条基本线段，其次是包含有两条基本线段的有4条，然后是包含有三条基本线段的有3条，包含有四条基本线段的有2条，包含有五条基本线段的有1条。则线段AF上的线段条数可求。解答图1中共有线段：5+4+3+2+1=15（条）点津若图形为一条线段上有n个分点，线段的总条数等于从1开始的连续n个自然数的和，这n个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1，即n+l。n+1也就是基本

4、线段的条数。例2数出图2中总共有多少个角？思路剖析数角的方法类似于数线段的方法。第一种按角的边进行分类，以为一边的角有、共4个；以为一边的角有、共3个；以为一边的角有、共2个；以为一边的角有，有1个。这些角的和是图形中角的个数。第二进种按含基本角多少的顺序去数。在最大角内有三条射线，。被这三条角分线分成4个基本角。首先有4个基本角；其次是包含有2个基本角组成的角有3个；包含有3个基本角组成的角有2个；包含有4个基本角组成的角有1个，则总共有多少个角可求。解答图2中总共有角：4+3+2+l=10（个）例3数一数在图3中总共有多少个三角形？思路剖析我们仍然可以按照数线段和数角的方法来数三角形。第一

5、种方法：因为三角形有三条边，则可以按照含有边的不同进行分类。以AB为边的三角形有ABD、ABE、ABF、ABG、ABC共五个；以AD为一边的三角形有ADE、ADF、ADG、ADC共四个；以AE为一边的三角形有AEF、AEG、AEC共三个；以AF为一边的三角形有AFG、AFC共二个；最后以AG为一边的三角形只有AGC一个。则图3中三角形的个数求和可得。第二种方法：注意到图3中的三角形的一边必是BC上所在线段。那么可知BC上有多少条线段则必有多少个三角形。BC上的线段条数按照数线段的方法可得，第三种方法：先数出图3中的基本三角形，其他的三角形由基本三角形组合构成。图3中有ABD、ADE、AEF、A

6、FG、AGC五个基本三角形。由两个基本三角形组合在一起的三角形有ABE、ADF、AEG、AFC四个三角形；由三个基本三角形组合在一起的三角形有ABF、ADG、AEC三个三角形；由四个基本三角形组合在一起的三角形有ABG、ADC二个三角形；由五个基本三角形组合在一起的三角形只有ABC一个。图3中三角形个数总和可知。解答图3中三角形个数：5+4+3+2+l=15（个）答：图3中三角形的个数共有15个。例4数一数图4中长方形的个数。思路剖析由于长方形的构成要考虑到长和宽两个要素。因此图4中长方形的个数与作为“长”的线段的条数和作为“宽”的线段条数有关。每一个长配一个宽就组成一个长方形。把AB上的每一

7、条线段作为宽，AB上有三个分点，有线段：4+3+2+l=10（条）。把BC边上每一条线段作为长，BC上有四个分点，有线段：5+4+3+2+l=15（条）。那么图4中长方形的个数是长与宽个数的积。解答图4中AB边上有线段：4+3+2+l=10（条）BC边上有线段：5+4+3+2+1=15（条）所以共有长方形：1015=150（个）答：图4中长方形的个数为150个。点津虽然此题我们也可以将长方形按照基本长方形个数的组合进行分类，但对于复杂的图形这种方法就不适用了，很容易重复或漏数。例5数一数图5中有多少个正方形（其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）？思路剖析由于正方形是长与宽相等的矩形

8、，数正方形与数长方形相类似。由于长=宽，那么只需考虑一边的长，按一边的长进行分类，由于图中BC边长大于AB边，因此从AB边开始分类，AB边长为8个单位长度，那么图5中有八类正方形。边长为1的正方形个数：148=112（个）边长为2的正方形个数：137=91（个）边长为3的正方形个数：126=72（个）边长为4的正方形个数：115=55（个）边长为5的正方形个数：104=40（个）边长为6的正方形个数：93=27（个）边长为7的正方形个数：82=16（个）边长为8的正方形个数：71=7（个）那么图5中正方形个数和可求。解答正方形总数为：148+137+126+115+104+93+82+71=1

9、12+91+72+55+40+27+16+7=420（个）答：图5中共有正方形420个。例6数一数图6中三角形的个数（图中每一个小三角形是边长为1的正三角形）。思路剖析第一种方法：从图6中易将三角形分为两类，一类是顶角朝上的，一类是顶角朝下的三角形。先来考虑顶角朝上的三角形，再将它们分成5种，在中有1个三角形；在中有2+l=3个三角形；在中有3+2+1=6（个）三角形；在中有4+3+2+l=10（个）三角形；在ABC中有5+4+3+2+l=15（个）三角形。再来考虑顶角朝下的三角形。在中有4个三角形；在中有3+2=5（个）三角形；在有2+l=3（个）；在中有1个三角形。综合以上的各种情况，图中

10、三角形的个数可求。第二种方法：类似于正方形的分类方法。将三角形分成五类。边长为1的三角形有：25个；边长为2的三角形有10+3=13（个），其中10个顶角朝上，3个顶角朝下；边长为3的三角形有6个，都是顶角朝上的；边长为4的三角形有3个，都是顶角朝上的；边长为5的三角形有1个，是ABC。那么图中三角形个数为此五类三角形的和。解答按第一种方法划分三角形的总数为：l+3+6+10+15+4+5+3+1=48（个）按第二种方法划分三角形的总数为：25+13+6+3+l=48（个）答：图6中三角形的个数为48个。点津寻找到对的正确的图形分类方法是解题的关键。第一种方法的分类较细，虽然看起来有些繁琐，但

11、不易漏数。第二种方法的分类较粗，在数每一类三角形时，容易出现漏数的情况。发散思维训练1数一数图7中共有多少条线段？共有多少个三角形？2数一数图8中有多少个三角形？3数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格？（图中每一个小格是边长为1的正方形。）4数一数图10中有多少个三角形？5数一数图11中共有多少个长方形？6一筐苹果共有50个，现将50个苹果排成一行，问：（1）这些排成一行的50个苹果可组成多少条线段？（2）如果去掉两头儿的苹果，这样可以组成多少条线段？7数一数图12中正方形的个数。图中每个小格都是边长为1的正方形。8数一数图13中有多少个三角形？9如图14所示，在圆周上有6个钉，在这6个钉中

12、，任取3个钉用皮筋可套出一个三角，问：（1）以钉A为顶点的三角形有几个？（2）从6个钉中任取3个，用皮筋去套，可以套出多少个三角形？参考答案发散思维训练1解：先找出图中线段的基本图形，即一条线段上有几个分点。这样的线段有：AB、AD、AE、AF、AC、GH、KL、MN、BC点共8条线段，而且每条线段上有三个分点，说明在这样的每条线段上有4+3+2+l10（条）线段，那么图形中总共有线段：108=80（条）。三角形求法，同上，先找出基本三角形4个，每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10（个），故，图中共有三角形：104=40（个）。答：在图形中共有80条线段，40个三角形。2解：由于五边

13、形ABCDE是一个正五边形，是对称的图形，在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形，因此分类时按三角形大小进行分类。与大小相等的三角形有5个；与大小相等的三角形有5个；与大小相等的三角形有10个；与ACD大小相等的三角形有5个；与大小相等的三角形有5个；与ACD大小相等的三角形有5个。图中三角形的个数：55+10=35（个）。答：图中总共有35个三角形。3解：由于图中的阴影方格是长为2，宽为1的长方形。那么包含它的正方形的边长至少是2。那么包含阴影方格的：边长为2的正方形有2个；边长为3的正方形有4个；边长为4的正方形有1个。总共有：2+4+l7（个）。答：总共有7个正方形包含阴影方格。4解：

14、如图1，将此图形按大三角形进行分类ADE、ADC、ABC、EDC、BDC在DE、DC、BC边上各有四个分点，则在ADE、ADC、ABC中各有5+4+3+2+1=15（个）三角形。在EDC与BDC中各有5个三角形。因此共有：153+5255（个）答：图中共有55个三角形。5解：如图2，在大矩形ABCD和小矩形中各有长方形：（4+3+2+l）（2+l）30（个），在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形：含有1个基本长方形的有4个，含有2个基本长方形的有2个，含有3个基本长方形的有4个，含有6个基本长方形的有2个，总共有：302+4+2+4+272（个）。答：图2中共有72个长方形。答

15、图26解：（l）50个苹果排成一行，每个苹果相当于线段上的一个点，那么这条线段上总共有502=48（个）分点，有49条基本线段。那么共有线段：（条）。（2）若去掉两头的苹果，那么苹果数变为48个，在这条线段上则有47条基本线段。那么共有线段：47+46+3+2+l（47+l）4721128（条）答：50个苹果排成一行可组成1225条线段。去掉两头的苹果后可组成1128条线段。7解：图形中边长为1的正方形有6636（个）边长为2的正方形有5525（个）边长为3的正方形有44=16（个）边长为4的正方形有33=9（个）边长为5的正方形有224（个）边长为6的正方形有ll=1（个）图形中正方形总数：

16、36+25+16+9+4+l=91（个）答：图中共有91个正方形。8解：如图3，以BC为分界，在ABC和BCD中各有三角形：5+4+3+2+l=15（个）；以AD为分界，AD的左侧有3个三角形，AD的右侧有2个三角形。总共有：152+3+2=35（个）。答：图3中总共有35个三角形。9解：（1）以钉A做为三角形的一个顶点，只需找到另外两点即可构成三角形，此两点连线构成一条线段。以B为端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条；以C为端点的线段有CD、CE、CF共三条；以D为端点的线段有DE、DF共两条；以E为端点的线段有EF共一条。则总共有：4+3+2+l=10（个）。（2）由第一问的结论得知以A为顶点的三角形共有10个；那么以B为顶点的三角形，有3+2+l=6（个）；以C为顶点的三角形有2+l3（个）；以D为顶点的三角形有1个，剩下两点构不成三角形。则共可组成三角形：10+6+3+l=20（个）答：以钉A为顶点的三角形有10个，6个钉中任取三个组成三角形共可组成20个。