导数及其应用3.docx

1、导数及其应用3导数及其应用（三）导数与函数的极值、最值突破点(一)利用导数解决函数的极值问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值3函数的极值极小值点和极大

2、值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”根据函数图象判断函数极值的情况例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案D方法技巧知

3、图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴交点的横坐标为函数的极值点求函数的极值例2(2017桂林、崇左联考)设a0，函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值解(1)由已知x0.当a2时，f(x)x3，曲线yf(x)在点(3，f(3)处切线的斜率为f(3).(2)f(x)x(a1).由f(x)0得x1或xa.若0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f

4、(x)0，函数f(x)单调递增当xa时，f(x)取极大值f(a)a2aaln a，当x1时，f(x)取极小值f(1)a.若a1，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，a)时，f(x)0，函数f(x)单调递增当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当xa时，f(x)取极小值f(a)a2aaln a.当a1时，x0时，f(x)0，函数f(x)单调递增，f(x)没有极值综上，当0a1时，f(x)的极大值为a，极小值为a2aaln a；当a1时，f(x)没有极值方法技巧已知极值(点)求参数例3(1)(2017江西八校联考)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的

5、取值范围是()A(，0) B. C(0,1) D(0，)(2)(2017太原五中检测)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a的值为_解析(1)f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，由函数f(x)有两个极值点，可知f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a1，即0a.(2)由题意得f(x)3x22axb，因为在x1处，f(x)有极值10，所以f(1)32ab0，f(1)1aba210，解得a

6、4，b11或a3，b3，当a3，b3时，在x1处，f(x)无极值，不符合题意；当a4，b11时，符合题意，所以a4.答案(1)B(2)4方法技巧已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A. B. C. D.解析：选D若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有根，故(4c)2120，从而c或c.故

7、实数c的取值范围为，.2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个3.已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m()A0 B1 C2 D3解析：选Bf(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2(xm)(3

8、xm)由f(1)0可得m1或m3.若m3，则f(x)3(x1)(x3)，当1x3时，f(x)0，当x3时，f(x)0，此时在x1处取得极大值，不合题意，若m1，则f(x)(x1)(3x1)，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，此时在x1处取得极小值故选B.4.已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因为f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1

9、)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值突破点(二)利用导数解决函数的最值问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流”函数的最值与导数(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处

10、(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求函数的最值例1已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，

11、得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x) ek1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k0；当x(1，e时，f(x)0，所以f

12、(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.2.已知函数f(x)(2xx2)ex，则()Af()是f(x)的极大值也是最大值 Bf()是f(x)的极大值但不是最大值Cf()是f(x)的极小值也是最小值 Df(x)没有最大值也没有最小值解析：选A由题意得f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，当x0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，在x处取得极小值f()2(1)e0，又当x0时，f(x)(2xx2)ex0，故f(x)在(，2)上为增函数当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在

13、x12处取得极大值f(2)16c，在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2013新课标全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0 B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减 D若x0是f(x)的极值点，则 f(x0)0解析：选C因为函数f(x)的值域为R，所以一定x0R，f(x0)0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以

14、通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确2(2016全国甲卷)(1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20.(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域

15、解：(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明：g(x)f(x)a由(1)知，f(x)a在(0，)上单调递增对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一实数xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y单调递增，所以，由xa(0,2

16、，得h(a).因为y单调递增，对任意，存在唯一的实数xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a 0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.3(2012新课标全国卷)已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值解：(1)由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x.所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.从而f(x)exxx2.由于f(x)ex1x，故当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0

17、.从而，f(x)的单调减区间是(，0)，单调增区间是(0，)(2)由已知条件得ex(a1)xb.()若a10，则对任意常数b，当x0，且x，所以00，得x，所以f(x)在上单调递增；令f(x)，所以f(x)在上单调递减所以当x(0,2)时，f(x)maxflna1，所以ln0，所以a1.答案：14已知函数f(x)(k0)求函数f(x)的极值解：f(x)，其定义域为(0，)，则f(x).令f(x)0，得x1，当k0时，若0x0；若x1，则f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，函数f(x)取得极大值.当k0时，若0x1，则f(x)1，则f(x)0，所以f

18、(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值.5(2017石家庄模拟)已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解：(1)因为f(x)a，所以fa1，故f(x)x3ln x，则f(x).由f(x)0得x1或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f(x)0f(x) 13ln 2 从而在上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0)，由题设可

19、得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，且x1x2，则解得0a.故所求a的取值范围为.二、重点选做题1(2017昆明模拟)已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，