听课手册 第57讲用样本估计总体.docx

1、听课手册 第57讲用样本估计总体听课手册 第57讲用样本估计总体1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中 与的差).(2)决定与组数.(3)将数据分组.(4)列.(5)画.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的,就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的增加,减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.3.茎叶图(1)茎叶图的概念:统计中还有一种被用来表示数据的图叫作茎叶图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.(2)茎叶图的优点:茎叶图不但

2、可以所有的数据信息,而且可以记录,方便记录和表示.4.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数,但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数将一组数据按大小依次排列,把处在位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1,x2,xn,那么这n个数的平均数=平均数与每一个样本数据都有关,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数

3、受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差、方差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=,其中xi(i=1,2,3,n)是样本数据,n是样本容量,是.方差:标准差的平方s2,s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.(3)平均数、方差的性质:若数据x1,x2,xn的平均数为,则mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是m+a.若数据x1,x2,xn的方差为s2,则x1+a,x2+a,xn+a的方差也为s2,ax1,ax2,axn的方差为a2s2.题组一常识题1.教材改编 2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图10

4、-57-1所示,则时速(单位:km/h)在50,60)的频率为,此范围内的汽车大约有辆.图10-57-1图10-57-22.教材改编 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图10-57-2所示,从茎叶图的分布情况看,运动员的发挥更稳定,运动员的水平较高.(填“甲”或“乙”)图10-57-33.教材改编 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分的茎叶图如图10-57-3所示,则这组数据的中位数是 ,平均数是.题组二常错题索引:频率分布直方图与茎叶图的识图不清;对方差、平均数的统计意义的认识有误.4.某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况,将调查得到的小区空置房的套数绘制成了如图10-5

5、7-4所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数为,乙市空置房套数的中位数为.图10-57-4图10-57-55.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图10-57-5所示,分组为20,30),30,40),40,50),50,60,其中支出(单位:元)在50,60内的学生有30人,则n的值为.6.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们的成绩(环数)的频数条形统计图如图10-57-6所示,则甲、乙、丙三人成绩的方差,的大小关系是.图10-57-67.若数据x1,x2,x3,xn的平均数=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3xn

6、+1的平均数为,方差为.探究点一频率分布直方图例1 2018内蒙古包头一模 从某食品厂生产的面包中抽取100个,测量这些面包的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125频数82237285(1)在图10-57-7上作出这些数据的频率分布直方图.(2)估计这种面包质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的90%”的规定?图10-57-7总结反思 (1)绘制频率分布直方图时的两个注意点:制

7、作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和为1来检验该表是否正确;频率分布直方图的纵坐标是,而不是频率.(2)由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握的两个关系式:组距=频率;=频率,此关系式的变形为=样本容量,样本容量频率=频数.变式题 2018河南八市测评 某校对高二(1)班的数学期末考试成绩进行了统计,发现该班学生的分数都在90到140之间,其频率分布直方图如图10-57-8所示.若分数在130140的人数为2,则分数在100120的人数为 ()A.12 B.28C.32 D.40图10-57-8图10-57-9(2)2018陕西榆林二中月考 某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况,抽

8、出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图10-57-9所示,分组为10,20),20,30),30,40),40,50,其中支出(单位:元)在30,40)的同学比支出在10,20)的同学多26人,则n的值为. 探究点二茎叶图例2 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制了如图10-57-10所示的茎叶图.甲部门乙部门35 9440 4 4 89 751 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 99 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4 6 8 89 8 8 7 7 7 6 6 5

9、 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 96 6 5 5 2 0 081 2 3 3 4 56 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6100 0 0图10-57-10(1)分别求出该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.总结反思 茎叶图的识别与绘制需注意:(1)“叶”的位置上的数字只能是一位数,而“茎”的位置上的数字位数一般不需要统一;(2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别注意“叶”的位置上的数据.变式题 (1)2018石家庄二

10、中三模 “五四青年节”活动中,高三(1)班和高三(2)班进行了3场知识辩论赛,比赛得分情况的茎叶图如图10-57-11所示,其中高三(2)班得分有一个数字被污损,无法确认,假设这个数字x具有随机性,那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为 ()A. B.C. D.图10-57-11图10-57-12(2)某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人,记录他们的期末考试成绩(单位:分),得到如图10-57-12所示的茎叶图.已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学成绩的中位数为77,则x-y= ()A. 3 B. -3C. 4 D. -4探究点三样本的数字特征例3 某市有2

11、10名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,将这60名学生的成绩(满分10分)进行统计,绘制如下表格:成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数0006152112330(1)求样本的平均值和标准差(精确到0.01);(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少名学生可以参加复赛.总结反思 平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势、平均水平,方差和标准差描述其波动大小、稳定性.例4 为了弘扬民族文化,某中学举行了“我爱国学,传诵经典”考试,并从中随机抽取了60名学生

12、的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩的频率分布直方图如图10-57-13所示.(1)若该所中学共有2000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数.(2)试估计这次参加考试的学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值作代表);若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人赠送一套国学经典,试求恰好抽中2名优秀生的概率.图10-57-13总结反思 利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法:中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的小矩形的面积相等,由此可以估计中位数的值.平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积分别乘小矩形底边中点的横坐标之和.众数:最高的矩形的中点的横坐标.变式题 (1)2018重庆诊断 记5个互不相等的正实数的平均值为,方差为A,去掉其中某个数后,记余下4个数的平均值为,方差为B,则下列说法中一定正确的是 ()A.若=,则ABC.若,则AB D.若B(2)2018福建龙岩质检 如图10-57-14是由某校高三(1)班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图,由此估计该班学生成绩的众数、中位数(精确到0.1)分别为 ()图10-57-14A.105,103 B.115,125C.125,113.3 D.115,113.3完成课时作业(五十七)