10平均数问题.docx

1、10平均数问题平均数问题甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？ 把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.例1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，87，94，100，98.那么他的平均成绩是多少？解：方法1 把

2、所有分数加起来，除以次数，即（95879410098）594.8.方法2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）5+87=（8+0+7+13+11）5+87=7.8+87=94.8.对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.方法1：各个数的总和数的个数方法2：基数+每一数与基数的差求和数的个数.这两种方法将形成两种解题思路.方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设

3、中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.一、一些简单的问题求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.例2 小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？解：按照例1中的两种思路，有两种计算方法：先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有（894+97）5=90.6（分）.从算每一次“差”的平均入手，就有89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例3 小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？解：两种思路

4、，两种计算方法：从总分数（总成绩）来考虑.第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩=88.45-874=94（分）.从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高88.4-87.因此，第5次得分应是87+（88.4-87）5=94（分）.请大家想一想，例2与例3这两个问题之间的关系.例4 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？（100-84）（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第8次.例5 寒假中，小明兴致勃勃地读西

5、游记，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？解：前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64）4=73（页）.很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是3.54=0.8.由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77（页）.例6 甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的体

6、重.解：甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多32=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多32-2=4（千克）.从方法2知道丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63-（32）3=61（千克）.乙的体重61+4=65（千克）.例7 下面是一串有规律的数5，9，13，17，21，25，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数.解：上面共有7个数，第2个数比第1个数多4，而第6个数比第7个数少4.因此，第1个和第7个的平均数（5+29）2=17，与第2个和第6个的平均数（9+25）2=17是相等的.同样道理，第3个

7、和第5个的平均数也是17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是（5+29）27=119.例8 小强在前五天平均每天做了3.6道数学题，第四

8、、五两天共做了5题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：（前三天题数3+后三天题数3）2=六天题数6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是3.65-5=13（题）.第四、五天已做了5题，13-5=8，小强第六天至少要做9题.答：小强第六天至少要做9题.二、部分平均与全体平均例9 某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？解：有两种求法：方法1男同学的总分数 8221=1722，女同学的总分数 8719=1

9、653，全体同学的总分数 1722+1653=3375，全体同学的人数 21+19=40，全体同学的平均成绩337540=84.375.方法2以男同学的平均成绩82分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19人多了519=95（分），现在平均分摊给全体40人.因此，全体同学的平均成绩是82+（87-82）1940=82+9540=84.375（分）.注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9，（82+87）2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.例10 甲班52人，乙班48人.语文考试中，两个班全体同学的平均

10、成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少？解：两个班的全体人数是52+48=100（人）.他们的分数总和是78100=7800（分）.以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分数总和少了548=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是（7800-240）100=75.6（分）.乙班的平均成绩是75.6+5=80.6（分）.例11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？设全体女同学是1

11、组人，那么男同学就是2组人.女同学的体重总和： 351组人数.男同学的体重总和： 412组人数.全体总人数：（1+2）组人数.全体同学平均体重是（351+412）（1+2）=39（千克）.上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是35+（41-35）2（2+1）=39（千克）.例12 某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名

12、的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.解：全班平均成绩降低了.按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分，后20名同学每人多了6分，合起来全班的总分就少了306-206=60（分）.全班的平均成绩也就降低了60（30+20）=1.2（分）.例13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？我们把录取学生的人数算作1，没有被录取

13、的人数算作3.以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了263分，录取的学生总共多了101分，合起来，总共少了263-101（分）.对所有考生来说，每人平均少了（263-101）（3+1）=17（分）.也就是每一考生的平均分70（分）比录取分数线少了17（分），因此录取的分数线是70+17=87（分）.注意 这道题可检验如下：没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是61+（97-61）（3+1）=70（分），或（613+971）（3+1）=70（分）.由此就知道，上面解答是正确的.例14 某次数学竞赛原定一等奖1

14、0人，二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解：根据题意前六人平均分=前十人平均分+3.这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出36=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少184=4.5（分）.当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给244=6（分）.后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多4.5+

15、6=10.5（分）.我们可以画出示意图来说明上面的计算.从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.对二等奖来说，可以画出如下示意图：三、从平均数求个别数例15 A，B，C，D四个数的平均数是38，A与B的平均数是42；B，C，D三个数的平均数是36，那么B是多少？解：A，B，C，D四个数的平均数是（A+B+C+D）4=（A+B）4+（C+D）4=（A+B）2+（C+D）+22.这说明A与B的平均数，C与D的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数.因此，C与D的平均数是382-42=34.题目已给出B，C，D三个数的平均数36，B是34+（36-34）

16、3=40.还有一个解法：四个数的平均数是38，B，C，D三个数的平均数是36，还是按照例3中的计算，A是36+（38-36）4=44.己知A与B的平均数是42，因此B是422-44=40.注意 知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知A，B，C，D四个数的和，又已知其中三个数B，C，D的和，自然能求出（做一次减法）第四个数A.又已知A与B的和，就很容易求出B，这就是例15的实质.例16 某次考试，A，B，C，D，E五人的成绩统计如下：A，B，C，D的平均分 75分.A，C，D，E的平均分 70分.A，D，E的平均分 60分.B，D的平均分 65分.求A得了多少分.解：由A，C，D，E四

17、人平均分和A，D，E三人平均分，按照例3的方法，就可求出C的得分：60+（70-60）4=100（分）.由A，B，C，D四人平均分和B，D两人平均分，按照例15，可以求出A与C平均分：752-65=85（分）.上面已算出C得100分，因此A得852-100=70（分）.例17 某次考试，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？解：7个人的分数总和是787=546（分）.分数各不相同的5个人平均分是80分，那么另2位分数相同

18、的同学每人得分是（546-805）2=73（分）.这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是546-97-64-88-733=78（分）.例18 A，B，C，D四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的.这六对数的平均数分别是12，13，15，17，19，20.原四个数的平均数是多少？解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算3次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均数之和是A+B+C+D的3倍的一半.那么A，B，C，D的平均数是（12+13+5+17+19+20）2349623416.还有另一种解法：原四个数中，最小的两个数之和应是1

19、22，最大的两个数之和应是202.因此四数的平均数是（122+202）4=16.请大家思考，是否可以求出A，B，C，D四个数.例19 A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数23，26，30，33.A，B，C，D四个数的平均数是多少？30，33这四个数相加，恰好是A，B，C，D这四个数之和，它们的平均数是（23+26+30+33）4=28.例20 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了四次，分别得到以下四个数26，32，40，46.那么原来四个数中，最大的一个数是多少？解：很明显，这道题与前一例题

20、紧密相关.我们来看一看，26，32，40，46这四个数相加是什么.每一个数有两部分，一部分是三个数的平均数，一部分是三个数之外的第四个数，把四个数的前一部分相加，根据前一例题，恰好得到四个数的和.把后一部分相加，也得到四个数的和.因此 26+32+40+46=四个数之和2.这四个数的和是（26+32+40+46）2=72.另外，每一个数乘以3，将是三个数之和加上第四个数的3倍，这也可以看成是四个数之和加上一个数的2倍.它减去四个数之和72后，就是其中一个数的 2倍.于是这四个数就可以按下面的计算求出：（263-72）2=3，（323-72）2=12，（403-72）2=24，（463-72）2=33.四个数中最大的数是33.