学大精品讲义五下数学含答案第4讲最大公因数与最小公倍数.docx

1、学大精品讲义五下数学含答案第4讲最大公因数与最小公倍数第四讲 最大公因数和最小公倍数课程目标1、学生掌握求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法；2、学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题。课程重点1、学生掌握求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法；2、学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题。课程难点学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题教学方法建议在探索学习的过程中，使学生体验猜想、比较、归纳。一、知识梳理1、最大公因数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 a 和 b 的最大公因数一般用（a，b）表示。如：1，2，4 是

2、 8 和 12 的公因数，4 是 8 和 12 的最大公因数，即（8，12）=4.2、最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 a 和 b 的最小公倍数一般用a,b表示。一、方法归纳1、求最大公因数的方法特殊方法：如果两个数互质，那么它们的最大公因数是 1。如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是较小的那个数。分解质因数法几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此，可先把各个 自然数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出，然后连乘起来，所得的积 就是要求的最大公因数。例.用分解质因数法解 18 与 1

3、2 的最大公约数。（1）所以 18=233，（2）因为：所以 12=223，所以 18 和 12 的最大公约数是：23=6。短除法先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起 来，所得的积就是这几个数的最大公约数。2、找最小公倍数的方法特殊方法如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的积。如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。分解质因数法求两个自然数的最小公倍数，先把每个自然数分解质因数，再把这两个自然数公有的一切 质因数和其中每个自然数独有的质因数全部连乘起来，积就是它们的最小公倍数。例：用分解质因数法解 18 与 12

4、的最小公倍数。（1）所以 18=233，（2）因为：所以 12=223，所以 18 和 12 的最小公倍数是：2332=36短除法先用这几个数的公因数去除每一个数，再用部分数的公因数去除，并把不能整除的数移下 来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数利用最大公因数求最小公倍数因为两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以，我 们可以用这两个数的乘积除以它们的最大公因数，便可得到这两个数的最小公倍数。三、课堂精讲(一)公因数与最大公因数例 1、24 与 16 的最大公约数是 【规律方法】可利用短除法或

5、分解质因数法求解，考查了求两个数的最大公约数的方法的灵 活应用。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1、写出下面每组数的最大公因数。（3，15）= （9，10）= （45，60）= （45，18）= （6，10）= （5，10）= 例 2、一张长方形的纸，长 75 厘米，宽 60 厘米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【规律方法】因为裁成的正方形的边长必须能同时整除 75 和 60，所以边长是 75 和 60 的公因数。75 和 60 的公因数有 1、3、5、15，所以有 4 种裁法。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A

6、2、把 135 厘米长、105 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？例 3、一个长方体木块，长 270 厘米，宽 18 厘米，高 15 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少厘米？【规律方法】要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、 高的公因数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。【搭配课堂训练题】【难度分级】 B3、一个长方体木块的长是 45 厘米、宽 36 厘米、高 24 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体的体积最大是多少立方厘米？例 4、有三根钢管，它们

7、的长度分别是 240 厘米、200 厘米和 480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？【规律方法】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是 240、200 和 480 的公因数，而每小段要取最长，也就是求 240、200 和 480 的最大公因数。【搭配课堂训练题】【难度分级】 B4、有一个长方体木块，长 60 厘米、宽 40 厘米，高 24 厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？（二）公倍数与最小公倍数例 5、18、24 与 36 的最小公倍数是 【规律方法】可利用短除法或分解质因数法求解，考查了求几个数的最小公倍数的方法的灵

8、 活应用。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A5、写出下面每组数的最小公倍数。3，15= 9，10= 45，60= 45，18= 6，10，12= 例 6.甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？【规律方法】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是 3、4、5 的最小公倍数。因为 3、4、5 的最小公倍数是 60，所以至少再过 60 天他们三人又在图书馆相会。【搭配课堂训练题】【难度分级】 B6、1 路、2 路和 5 路车都从东站发车，1

9、 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔 15 分钟发一辆，而 5 路车每隔 20 分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？例 7、一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？【规律方法】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后， 再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。【搭配课堂训练题】【难度分级】 B7、用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需

10、要用这样的长方体多少块？例 8、有一个自然数，被 10 除余 7，被 7 除余 4，被 4 除余 1。这个自然数最小是多少？【规律方法】根据已知条件可知，假如把这个自然数增加 3，所得的数就正好能被 10、7 和4 这三个数整除，即 10、7 和 4 的最小公倍数，然后再减去 3 就能得到所求的数了。【搭配课堂训练题】【难度分级】C8、学校六年级有若干个同学排队做操，如果 3 人一行少 1 人，7 人一行少 5 人，11 人一行少 9 人。六年级最少多少人？（三）最大公因数和最小公倍数的综合运用例 9、 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？【规律方法】根据“两

11、个自然数公有的质因数（最大公因数）和每个自然数独有的质因数乘 起来的积就是它们的最小公倍数。”可先求出每个自然数独有的质因数乘起来的积，再来求 解。【搭配课堂训练题】【难度分级】C9、两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？四、课堂运用一、 填空题。1、相邻的两个自然数，最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。2、甲是 30 ，乙是 20 ，甲和乙的最大公因数是（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）3、所有自然数的公因数为（ ）。4、 如果 m 和 n 是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。5、两个连续自然数的和是 21，这两个数的最大公因数是（

12、），最小公倍数是（ ）。6、 某数除以 3、5、7 时都余 1，这个数最小是（ ）。7、已知 A2235，B237，那么 A、B 的最大公因数是 ；最小公倍数是 ；二、选择题1、15 的最大约数是（ ），最小倍数是（ ）。1 3 5 152、在 1427 中，2 和 7 都是 14 的（ ）。质数 因数 质因数3.有一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ）。6 12 24 1444.a=225,b=235,那么，a和 b的最大公因数是（ ）。2 5 10 6 155.一筐苹果，2 个一拿，3 个一拿，4 个一拿，5 个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（ ）。1

13、20 个 90 个 60 个 30 个6、把 66 分解质因数是（ ）。661231 66611 662311 2311667、甲乙两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 144。已知甲数是 18，那么，乙数应是（ ）。16 82 48 648、幼儿园的大班有 36 个小朋友，中班有 48 个小朋友，小班有 54 个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友。6 7 8 99、在下面算式中,被除数能被除数整除的有（ ）。2655.2 357=5 0.90.3=3三、 判断题。1、 互质的两个数必定都是质数。（ ）2、两个不同的奇数一定是互质数。（ ）3、最小的质数是所

14、有非 0 偶数的最大公因数。（ ）4、 有公因数 1 的两个数，一定是互质数。（ ） 四、应用题。1、学校买来 40 支圆珠笔和 50 本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多 4 支，练习本多 2 本，四年级最多有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？2、有三根木料分别是 8 米、12 米、6 米，要把它们截成同样长的木料，不能有剩余，每段截成的木料最长是多少米？3、一块长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？4、五年级三个班分别有 24 人、36 人、42 人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组， 但各班同学不能

15、打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？5、有 336 支铅笔，252 块橡皮，210 个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？6、一块砖底面长 22 厘米,宽是 10 厘米,要铺成一个正方形地面(不要折断,只能铺整砖)至少要多少块砖?7、两个数的最大公约数是 60，最小公倍数是 720，其中一个数是 180，另一个数是多少？8、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成 4 组多 2 人，平均分成 5 组多 3 人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？五、课后自测练习一、选择题。1、如果自然数 a 和 b 的最大公因数是 1，那么 a 和

16、 b 的最小公倍数是（ ） Aab B、A C、b D、无法确定2、一张长 24 厘米，宽 18 厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余最少可以分成（ ）A、12 个 B、15 个 C、9 个 D、6 个3、正方形的边长是质数，它的周长是（ ） A、质数 B、合数C、可能是质数，也可能是合数 D、既不是质数也不是合数4、某校五年级（共 3 个班）的学生排队，每排 3 人、5 人或 7 人，最后一排都只有 2 人这个学校五年级至少有（ ）名学生A、90 B、107 C、105 D、2105、一个自然数的倍数总是（ ）它的因数 A、大于 B、小于 C、等于 D、不小于6、一个两位数除

17、以 5 余 3，除以 7 余 5，这个两位数最大是（ ） A、72 B、 37 C、68 D、33二填空题。1、将 18 分解质因数 ，它与 12 的最大公因数是 2、同时是 2、3、5 的倍数中，最小的三位数是 最大的两位数是 3、数 a 是数 b 的因数，a 和 b 的最大公因数是 ，最小公倍数是 如果 a 和 b 只有公因数 1，那么 a 和 b 的最大公因数是 ，最小公倍数是 4、自然数 a、b，如果 a 除以 b 的商是 5，那么，这两个数的最大公因数是 ，最小公倍数是 5、按要求填空11 和 718 和 68 和 129 和 2128 和 12最大公因数最小公倍数三、解答题。1、有

18、 24 朵红花、9 朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多少人？每人几朵红花？2、有两根绳子，一根长 42 米，另一根长 48 米现在要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余每段绳子长多少米？一共能剪成多少段？3、有一块长 24 分米，宽 16 分米的布，把它平均剪成大小一样的正方形布料，从不浪费的角度考虑，小正方形布料的边长最大为多少分米？能剪下这样的布料多少块？4、男生有 48 人，女生有 36 人，男女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？5、把一张长 120 厘米，宽 80 厘米的长方形纸裁成相同大小的

19、正方形（纸无剩余），正方形的边长最大是多少厘米，至少能裁成多少张？6、五（1）班学生人数不超过 50 人，在分小组做游戏时，可以分为每组 6 人或者每组 8 人， 两种分法都刚好分完这个班的学生可能有多少人？7、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方第一条线路，每隔 5 分钟发车一次，第二条线路每隔 6 分钟发车一次，第三条线路每隔 10 分钟发车一次三条线路同一时间发车后， 再过多少分钟又同时发车？8、有一筐苹果，4 个 4 个数余 1 个，5 个 5 个数也余 1 个，6 个 6 个数还余 1 个，这筐苹果至少有多少个？第四讲 最大公因数和最小公倍数【答案】课堂精讲：例 1、 8【搭配课堂训

20、练题】1、 3 1 15 9 2 5例 2、75 的因数有：1、3、5、15、25、7560 的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、6075 和 60 的公因数有：1、3、5、15有 4 种裁法当边长最大即 15 厘米时，裁得的正方形面积最大（7515）（6015）=20（块）答：有 44 种裁法；要使裁得的正方形面积最大，可以裁 20 块。【搭配课堂训练题】2、（135，105）=15（13515）（10515）=63（块）答：裁成同样大小的正方形，至少能裁 63 块。例 3、（270，18，15）=3正方体的棱长最大是 3 厘米答：正方体的棱长最大是 3 厘米.【

21、搭配课堂训练题】3、（45，36，24）=3要使正方体的体积最大时，棱长 3 厘米333=27（立方厘米）答：正方体的体积最大是 27 立方厘米。例 4、（240，200，480）=40每小段最长是 40 厘米答：如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是 40 厘米。【搭配课堂训练题】4、（60，40，24）=4正方体的棱长最长是 4 厘米答：如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是 4 厘米。例 5、 725、 15 90 180 90 60例 6、3，4，5=60至少再过 60 天他们三人又在图书馆相会答：至少再过 60 天他们三人又在图书馆相会【搭配课堂训练题】6、10，

22、15，20=60至少要过 60 分钟又这三种路线的车同时发车答：当这三种路线的车同时发车后，至少要过 60 分钟又这三种路线的车同时发车。例 7、20，12，6=60要堆成正方体砖头块数最少，正方体棱长为 60 厘米（6020）（6012）（606）=150（ 块 ） 答：要堆成正方体至少需要这样的砖头 150 块。【搭配课堂训练题】7、9，6，7=126要堆成正方体砖头块数最少，正方体棱长为 126 厘米（1269）（1266）（1267）=5292（块）答：要堆成正方体至少需要这样的砖头 5292 块。例 8、10，7，4=140140-3=137答：这个自然数最小是 137。【搭配课堂训

23、练题】8、3，7，11=231231+2=233（人）答：六年级最少 233 人。例 9、 9015=66=16=23这两个数是:115=15 和 615=90 或者是:215=30 和 315=45答：这两个数分别是 15 和 90 或者 30 和 45。【搭配课堂训练题】9、909=1010=110=25这两个数是:19=9 和 109=90 或者是:29=18 和 59=45答：这两个数分别是 9 和 90 或者 18 和 45。课堂运用一、 填空题。1、1它们的乘积2、10603、14、1mn5、11106、1067、6420二、选择题1、2、3、4、5、 6、7、8、9、三、 判断题

24、。1、 2、 3、 4、 四、应用题。1、40-4=36(支)50-2=48(本)(36,48)=12四年级最多有 12 名三好学生3612=3(支)4812=4(本)答:四年级最多有 12 名三好学生；他们各得到 3 支圆珠笔,4 本练习本。2、（8，12，6）=2每段截成的木料最长是 2 米答：每段截成的木料最长是 2 米。3、（45，30）=15锯成的正方形的边长最长是 15 厘米。答：锯成的正方形的边长最长是 15 厘米。4、（24，36，42）=6最多每组 6 人246=4（组）366=6（组）426=7（组）答：最多每组 6 人，三个班分别分为 4 组、6 组和 7 组。5、（33

25、6，252，210）=42最多可以分成 42 份同样的礼物33642=8（支）25242=6（块）21042=5（个）答：最多可以分成 42 份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔有 8 支，橡皮有 6 块，文具盒有5 个。6、22，10=110要堆成正方形砖块数最少，正方形的边长为 110 厘米（11022）（11010）=55（块）答：要铺成一个正方形地面至少要 55 块砖。7、72060=1218060=312=34另一个数是：460=240 答：另一个数是 240。8、4，5=20203-2=58（人）答：五（1）班有 58 位同学.课后自测练习一、选择题。1、A 2、A 3、B 4、B 5

26、、D 6、 C 二、填空题。1、18=233，62、120， 903、a，b，1，ab 4、b，a5、11 和 718 和 68 和 129 和 2128 和 12最大公因数16434最小公倍数7718246384三、解答题。1、24=2223，9=33，所以 24 和 9 的最大公因数是：3； 每人红花的朵数：243=8（朵）答：最多可以分给 3 人，每人 8 朵红花 2、42=237，48=22223，所以 42 与 48 最大公因数是：23=6，即每小段最长是 6 米， 426+486，=7+8，=15（段）；答：每小段最长是 6 米，一共能剪成 15 段。3、24=2223，16=22

27、22，所以 24 和 16 的最大公因数是：222=8， 即小正方形布料的边长最大为：8 分米；（248）（168），=32，=6（块）；答：小正方形布料的边长最大为 8 分米，能剪下这样的布料 6 块 4、48=22223，36=2233，所以 48 和 36 的最大公因数是：223=12，即每排最多有 12 人，男生分的排数：4812=4（排）， 女生分得排数；3612=3（排）；答：每排最多有 12 人；这时男、女生分别有 4 排、3 排5、（120，80）=40裁成的正方形边长最大是 40 厘米12080（4040），=96001600，=6（个）；答：裁成的正方形边长最大是 40 厘米，至少可以裁成 6 个这样的正方形6、先求 6 和 8 的最小公倍数：6=23，8=222；6 和 8 的最小公倍数是：2223=24；6 和 8 的公倍数有：24，48，72 不超过 50 的有：24 和 48答：这个班的学生可能有 24 或 48 人7、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方第一条线路，每隔 5 分钟发车一次，第二条线路每隔 6 分钟发车一次，第三条线路每隔 10 分钟发车一次三条线路同一时间发车后， 再过多少分钟又同时发车？5，6,10=30再过 30 分钟又同时发车答：再过 30 分钟又同时发车。8、4，5,6=6060+1=61（个）答：这筐苹果至少有 61 个。