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1、数学故事 Microsoft Word 文档伐鹤人的毛毯令人眩目的图案美国西南部的那伐鹤人是美国最大的印第安部落。在十七世纪期间，这些土著的美国人生活在圣胡安亚利桑那州东北部的小科罗拉多河之间的地区。因为他们的语言与北美的阿撒巴斯卡语系有关，学者们认为那伐鹤人是从更远的北方迁徙来到这里的。从前有个时期他们不仅袭击与他们相邻的印第安人村庄，而且还袭击西班牙人和墨西哥人的村落。然而到了十七世纪，随着西班牙人带来的绵羊，那伐鹤人过上了一个以畜牧业为基础的游牧生活。那伐鹤妇女们因纺织技术的高超而闻名于天下。随着在那伐鹤乡村建立起了的贸易商埠越来越多，不久羊毛毯便成为了贸易项目。由于白人定居者不象那伐鹤

2、人那样喜欢把毛毯穿在身上，他们把毛毯当被子和地毯用。商人们通过英镑来购买毛毯，后来这里的毛毯得名为“英镑毛毯”。（凯兰伯格，亨特及伯朗特1976年）。手工纺织的那伐鹤毛毯没有两条是完全相同的。有些地区的贸易商埠已经形成了具有本地区风格和特色的毛毯。 图 1下面我们就介绍一下“风暴图案”和“两座灰山”两种不同风格的毛毯。风暴图案的发展（图1）一直可以追溯到1908或1909年（惠泰克1989年）。这种风格有其特殊的本质。中心的长方形或盒子被叫做“泥盖木屋”或“风暴之屋”或“世界中心”。角落里小一些的盒子叫“风之屋”。有的人解释说，这四的小屋子代表着那伐鹤的四座圣山。那四条和中央正方形相连接的之字

3、形的“线段”代表着闪电，并且这还一直被认为是“滚动的原木”。在毛毯中央的上面和下面是两个既象是后现代主义又象是现实主义的甲虫，这个极富特点的甲虫名叫“水臭虫”或“矮松子甲虫”。早期毛毯的颜色有黑、白、红和灰色，尽管纺织者原先染上去的色彩早已褪去我们现在无法辨别。亚利桑那州图巴城地区编织的风暴图案毛毯一直是最出名的。 图 2“两座灰山”毛毯（图2）因它们出众的质量而闻名（库鲁克斯和罗杰斯1970年）。这件毛毯是用天然的无杂色的纯羊毛手工纺织而成。毛毯的颜色有黑色、白色和棕色，他们还能通过梳理机将黑白两种颜色梳理在一起得到灰色；将棕色和白色两种颜色梳理在一起得到棕黄色。“两座灰山”毛毯是以新墨西哥

4、的一个村庄的名字命名的，但是这个名字却和山丘毫无关系。这些毛毯的图案对比非常匀称，他们使用的特殊的几何图形包括了正方形、三角形、长方形、菱形、梯形、十字形、星形、线段和钩形等。“两座灰山”毛毯在外围通常有一道黑色的边框。在毛毯上还会有一条从毛毯的内部一直沿伸到外部边缘的线条，这是一条把邪恶的幽灵赶出去“灵魂线”。人们都认为这是编织者自己想出的个图案，这样，编织者可以把自己的思想进在所编织的毛毯上表达出来。编织者必须不断的将自己的思想表达出来以便维持她们的聪明才智，今天我们所见到的毛毯早就没有这种深刻的精神内涵了。奇特的整除（1）1与0的特性： 1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a，

5、 0是任何非零整数的倍数，a0，a为整数，则a|0。（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133

6、是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是1

7、3的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的

8、隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除没有捷径可以走摘自新思考网古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。闲着没事的多禄米，有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时，阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米想了一想，决定把阿基米德请来，拜他为师，学习一点几何知识。接到国王召见，阿基米德不敢怠慢，急忙来到了皇宫。这里

9、金碧辉煌，气势典雅。白玉大理石铺成的透明地板，水晶珍珠般的吊灯，雕龙刻虎的巨大梁柱，把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮。阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰，心中一边想，这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血，尤其是那些精巧、别致的设计，无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很高的造诣。从此以后，阿基米德就当上了国王的私有数学教师。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。对国王情绪的变化，阿基米德看到眼里，

10、记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的向多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法。可是多禄米对眼前出现的一个个三角形、正方形、菱形的图案毫无兴趣，有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边，用手推推他。这位国王勉强睁开惺松的睡眼，没等阿基米德说话，他反而先问：“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”“当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。阿基米德继

11、续说：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生。要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”国王多禄米眨巴着眼睛，似懂非懂地思考了一下，总算理解了阿基米德这番话的含意，于是重新打起精神，听阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。正如伟大的革命导师马克思所说：“在科学的道路上，是没有平坦的大路可走的，只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们，才有希望到达光辉的顶点。”筛 法筛法，是求不超过自然数n（n1）的所有质数的一种方法。据

12、说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274前194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。具体做法是：先把n个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数，留下来，而把2后面所有2的倍数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有3的倍数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有5的倍数都划去。这样一直做下去，就会把不超过n的全部合数都筛掉，留下的就是不超过n的全部质数。因为希腊人是把数写在涂蜡的板上，每划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托

13、斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）例如，用筛法找出不超过30的一切质数：1 2 34 56 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30因此，不超过30的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个。多面体选自XX多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体。 它有三个相关的定义，在传统意义上，它是一个三维的多胞形，而在更新的意义上它是任何维度的多胞形的有界或无界推广。将后者进一步一

14、般化，就得到拓扑多面体。【定义及特征】由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两个面在同一平面上。一个多面体至少有四个面。 【经典多面体】在经典意义上，一个多面体（polyhedron） (英语词来自希腊语 ，poly-，就是词根, 代表多， + -edron，来自，代表基底，座，或者面)是一个三维形体，它由有限个多边形面组成，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，每条边是直线段，而边交于点，称为顶点。立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子。多面体包住三

15、维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体。 【正多面体】所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是

16、正八面体。古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。六视图上图是一个标准的正方体，我们从正上方，正下方，正左边，正右边，正前方，正后方看这个正方体，看到的都是一个正方形。把这句话反过来说，如果从这6个方向看一个物体，看到的结果都是正方形的话，是不是说明这个物体就是立方体呢？答案是肯定的。上面的事实说明，可以通过上，下，左，右，前，后这6个方向上所看到的物体图形来确定一个物体的形状，我们称这6个平面图形为六视图。下面的图是一个物体和它的六视图，但其中有一个视图是错误的。你能找出哪个视图是错误的吗？雪花为什

17、么是六角形的雪花有多种多样的形态，但每一片雪花都是六角形的，这是大自然呈现给我们的美丽，也是给我们出的一道课题。雪花的形状，涉及到水在大气中的结晶过程。大气中的水分子在冷却到冰点以下时，就开始凝华，而形成水的晶体，即冰晶。冰晶和其他一切晶体一样，其最基本的性质就是具有自己的规则的几何外形。冰晶属六方晶系，六方晶系具有四个结晶轴，其中三个辅轴在一个平面上，互相以六十度角相交；另一主轴与这三个辅轴组成的平面垂直。六方晶系的最典型形状是六棱柱体。但是，当结晶过程中主轴方向晶体发育很慢，而辅轴方向发育较快时，晶体就呈现出六边形片状。大气中的水汽在结晶过程中，往往是晶体在主晶轴方向生长速度慢，而三个辅轴

18、方向则快得多，冰晶多为六边片状。当大气中的水汽十分丰富的时候，周围的水分子不断地向最初形成的晶片上结合，其中，雪片的六个顶角首当其冲，这样，顶角上会出现一些突出物和枝杈。这些枝叉增长到一定程度，又会分叉。次级分又与母枝均保持六十度的角度这样，就形成了一朵六角星形的雪花。每片雪花在整体上虽然都是六角星形的，但在细微形态上却有很多差别。有人专门收集过不同形状的雪花，竟发现有六千多种不同的细微形态的雪花。雪花从空中飘落时，为什么能保持六角形的形态呢？科学家们发现，雪花在空中飘浮时，本身还会振动，而这种振动是环绕对称点进行的，而这个对称点正是最初形成的冰晶，这就是保持雪花形态在飘落过程中不发生变化的原

19、因。不过，在极地，有时由于大气中的水汽不足，湿度极低，水汽结晶过程十分充裕，冰晶最终能形成六棱柱状的标准形态。因此，在极地区，有时就能看到降下来的雪不是片状的雪花，而是一些六棱柱形的雪晶。九章算术选自XX九章算术是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，九章算术在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。该书经多次增补，成书时间已不可考，但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。 许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽（公

20、元263年）、李淳风（公元656年）要注意的是九章算术没有作者，它是一本综合性的历史著作。 九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。九章算术的九章的主要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第四章“少广”：已知面积、体积

21、、求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章“方程”：一次方程组问题；第九章“勾股”：利用勾股定理勾股定理求解的各种问题 九章算术中的数学成就是多方面的：（1）在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的（2）在几何方面，主要是面积、体积计算。（3）在代数方面，主要有一次方程组解法、平方

22、、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则作为一部世界科学名著，九章算术在隋唐时期就已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。 关于九章算术的历史考证：现传本九章算术成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，九章算术的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上九章算术文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释。关于对九章算术所做的注主要有三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著

23、详解九章算法选用九章算术中80道典型的题作过详解并分类，清李潢（？1811年）所著九章算术细草图说对九章算术进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮 （18921974年）曾对包括九章算术在内的算经十书进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对九章算术及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。 九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法

24、和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成后世的数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，九章算术是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。毕达哥拉斯算题毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572年公元前497年）是古希腊数学家中最为人们所熟悉的和最出类拔萃的人物。英国数学史专家斯科特说：“数学作为一门科学，始于毕达哥拉斯。欧

25、几里得的几何原本中，有许多内容都来自毕达哥拉斯及其学派。”他在西方首次证明了“勾股定理”。他发现并证明了这条定理的时候，曾欣喜若狂，特地举行了一个盛大的“百牛大祭”，宰杀了100头大牛，“来祷告、酬谢智慧女神缪斯（Muses）的默示。”“毕达哥拉斯算题”是毕达哥拉斯编写的一道趣题。原题翻译过来可以是：有人问一位教授：“有多少学生在听您讲课？”教授说：“我的学生中，有一半是研究数学的，四分之一是搞音乐的，还有八分之一，不知是干什么的。剩下的是三位妇女，就这些。”你知道这位教授一共有多少个学生吗？题中的数量关系，可以用下面的线段图来表示：设全体学生人数为1，则已知的妇女人数3人，占总人数的份数就是

26、于是可知，学生的人数就是综合起来，就是答：学生是24人。丢番都的墓志铭在古希腊著名数学家丢番都的墓地上，雕刻着上面这一篇十分特殊的墓志铭：过路的人！这里埋着哲人丢番都。请计算下列数目，便知道他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一，是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的历程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，未料儿子竟先其父四年而终。子年不过是父亲享年的一半，晚年丧子，老人真可怜，悲痛之中，度过了他的风烛残年。请算一算，丢番都活到了多少岁，才和死神见面？铭文是一首诗，一个谜语，一道算题。由于其形式新颖，出处独特，语句流畅，讲的又是古希腊伟大数学家丢番都的事情，所以它很早就闻

27、名于全世界。需要特别一提的是，丢番都作为一位伟大的学者，可他的生平事迹却很少有文字记载下来，仅从上面这篇墓志铭上略知其一二。因此，这篇墓志铭也就显得更加珍贵，人们对它的兴趣也就更加浓厚了。这道诗题题意较为清楚，不需另作解释。如果设丢番都一生的年龄数为“1”，题意可用下面的线段图来表达：因为题目中已知分率的和是所以，题中给出的已知年龄数（54）岁，便占丢番都年龄总数的由此可知，丢番都一生的年龄数就是将它们综合起来，就是答：丢番都一生活了84岁。 耐人寻味的数学比喻1爱因斯坦的成功等式有一个青年人，请爱因斯坦说出成功的秘诀。爱因斯坦写出了一个公式：A=X+Y+Z，并解释道：“A代表成功，X代表劳动

28、，Y代表适当的工作方法。”青年人以为最大的秘诀在最后一项，就迫不及待的问：“那么，Z代表什么呢？”不料，爱因斯坦回答道：“Z代表是少说废话！”2爱迪生的天才等式大发明家爱迪生在回答什么是“天才”时说：“天才等于百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。”3托尔斯泰的分数大文豪列夫 托尔斯泰说：“一个人好比分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母，分母越大，则分数的值就越小。”4雷巴柯夫的常数与变数俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个变数，用分来计算时间的人比用小时来计算时间的人的时间多59倍。”5季米特洛夫的正负号国际工人运动领袖季米特洛夫说

29、：“要利用时间，思考一下一日做了什么，正号还是负号，倘若是+，则进步；倘若是，就得汲取教训，采取措施。”蜜蜂问题“蜜蜂问题”是古印度十二世纪的数学家布哈斯卡尔提出来的，颇有名气。原题译成中文时，有人将其编译为：一群蜜蜂到花园里去采蜜，其中五分之一落在杜鹃花上，三分之一落在栀子花上，还有这两股蜜蜂数目之差的3倍，落在月季花上。最后剩下1只蜜蜂在芳香的茉莉花与玉兰花之间飞来飞去。这一群蜜蜂一共有多少只？（注：此题另外的一种译法是：并排摆着甲乙两种花，一群蜜蜂飞来，在甲花上落下五分之一，在乙花上落下三分之一，如果这两种花上蜜蜂数的差的三倍又落在这两种花上，那么就只剩下1只蜜蜂，在这两种花之间上下飞舞，欣赏花香。问：飞来的这群蜜蜂是多少只？）解答时。可设这群蜜蜂的只数为1，因为杜鹃花上落下五分之一，栀子花上落下三分之一，再落到月季花上的蜜蜂数，便是这群蜜蜂数的：这一数量关系，可以用下面的线段图来表示。从图上可以看出，剩下的那一只蜜蜂，占这群蜜蜂总数的所以，这群蜜蜂的总数便是：答：这群蜜蜂共有15只。 数学家的记忆我国著名数学家吴文俊教授，整天忙于研究数学，就连自己的生日都记不得。一天，一位客人来拜访他，见面就说： “听您夫人讲，今天是您的60大寿，特来表示祝贺！” 吴