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1、版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例概率第3节变量间的相关关系与统计案docx第3节 变量间的相关关系与统计案例最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系;2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回 归方程系数公式不要求记忆)；3. 了解独立性检验(只耍求2X2列联表)的基本思想、方法及 其简单应用:4. T解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.知识梳理1 相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统 计图是：散点图;统计量有相关系数与相关指数.(1) 在散

2、点图屮，点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系，我们 将它称为正相关.(2) 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3) 如果散点图屮点的分布从整体上看大致在_直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2. 线性回归方程最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2) 回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：5, yi),(血),，(血，),方是回归方稈的斜率,臼是在y轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心?).3. 回归分析(1) 定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(

3、2) 样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(孟，yj ,匕2,必),，Ixn, %), 其中匕，功称为样本点的中心(3) 相关系数当厂0时，表明两个变量正相关;当风0时，表明两个变量负赵.厂的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.厂的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常I”大于理吋, 认为两个变量有很强的线性相关性.n(4) 相关指数：#=上 .其屮E (力一A是残差平方和，其值越小，则#越 (力一刃2 I2 = 1大(接近1),模型的拟合效果越好.4. 独立性检验(1) 利用随机变量#来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2) 列联表

4、：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量*和丫，它们 的可能取值分别为屈和5,切，其样本频数列联表(2X2列联表)为常用结论与微点提醒1. 求解回归方程的关键是确定回归系数b,应充分利用回归直线过样本中心点(2, ?).2. 根据斤的值nJ以判断两个分类变量有关的可信程度，若於越大，则两分类变量有关的把握越大.3. 根据回归方程计算的丿值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.诊断自测1思考辨析(在扌舌号内打“ J ”或“ X ”)(1) “名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()(2) 通过回归直线方程bx+ 以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)

5、 因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()(4) 事件启卩关系越密切，则由观测数据计算得到的斤的观测值越大.()答案 J （2） V （3）X （4） V2. （必修3P90例题改编）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：X681012y2356则y对/的线性回归直线方程为（）A. y=2. 3%0. 7 B. y=2. 3x+0. 7C. y=0. 7x2. 3 D. y=0. 7%+2. 3解析 易求x=9, y=4,样本点中心（9, 4）代入验证，满足y=0. 7x2. 3.答案C3. 两个变量y与/的回归模型中，分别

6、选择了 4个不同模型，它们的相关指数#如下，其 中拟合效果最好的模型是（）A. 模型1的相关指数#为0. 98B. 模型2的相关指数#为0. 80C. 模型3的相关指数#为0. 50I）模型4的相关指数#为0. 25解析 在两个变量y与x的冋归模型中，它们的相关指数用越近于1,模拟效果越好，在四 个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.答案A4. （2015全国II卷）根据下而给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨） 柱形图，以下结论不正确的是（）7(6(5(4(3(2(H(M9(22222222A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.

7、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，rtl 2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由 图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.答案D5. 为了判断髙屮三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2X2列联表：理科文科男1310女720已知

8、P（#M3841）005, 024） 0025.根据表中数据,得到#的观测值k=50X23X27X20X307 - 844-则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 解析 斤的观测值&4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定 “是否选修文科与性别Z间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案5%考点一相关关系的判断【例1】（1）己知变量/和y近似满足关系式y=0lx+l,变量y与z正相关下列结论 中正确的是（）A. %与y正相关，x与z负相关B. D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系”与y正相关，才与？正相关C. %与y负相关，与z负相关D. x

9、与y负相关，x与z正相关（2）甲、乙、丙、丁四位同学各自对昇，两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分 别求得相关系数于与残差平方和刃如下表：甲乙丙丁r0. 820. 780. 690. 85m106115124103则哪位同学的试验结果体现/L 两变量有更强的线性相关性（） 解析(1)由y=-0. U+1,知”与y负相关，即y随才的增大而减小，又y与z正相关， 所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与7负相关.A.甲B.乙C.丙D.T(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强， 在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小

10、，相关性越强，只有丁的残差平方和 最小，综上可知丁的试验结果体现了 两变量有更强的线性相关性.答案(1)C (2)D规律方法1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关 系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之I可就有线性相关关系若点散布在从左下 角到右上角的区域，则正相关.2.利用相关系数判定，当越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数#越大, 相关性越强.若CO,则正相关；风0时，则负相关.3. 线性冋归直线方程中：Q0时，正相关；时，负相关.【训练1】(1)某公司在2018年上半年的收入*单位：万元)与月支Illy(单位：万元)的统 计资料如下表

11、所示:月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入%12.314.515.017.019.820.6支出y5. 635. 755. 825. 896. 116. 18根据统计资料，贝叽 )A. 月收入的中位数是15,无与y有正线性相关关系B. 月收入的屮位数是17, /与y有负线性相关关系(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为3 (MX)2 500 2 (MX) 1 5(X) 1 ()(M) 5(X)012 3 4 56789 Ox1 y是负相关关系;2 在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为乩 用y =必+刃拟合时的相关指数 为血则用层3 y之间不能建立线性回归方程.

12、解析（1）从统计图表中看出，月收入的中位数是*（15 + 17）=16,收入增加，则支出也增加, x与y正线性相关.（2）在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x, y是负相关关系，故正确; 由散点图知用y=c】es拟合比用尸加+臼拟合效果要好，则用用，故正确；x, y之间可 以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.答案（1）C考点二线性回归方程及应用年销售命/I【例2】（2015 全国I卷）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传 费班单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润？（单位：千元）的影响，对近8年的年宣 传费乩和年销售量7/（7=1, 2,，8）数据

13、作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计 量的值.6206(X)5BO560544)52()500 4&)34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56年宣传费/千元XW8L (尢一2=18E (硏一訥2/=18工xx) y /=i?)8E (莎一炉) (/7=1?)46.65636.8289.81.61 46910&8_ | 8 表中 Wi=yXi, Wi.y/=i根据散点图判断，y=a+bx与y=c+6. 635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kgZ间，旧养殖法的箱产

14、量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分 布集屮程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高.因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且 稳定，从而新养殖法优于IH养殖法.规律方法1.在2X2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足加一比0.|加一处|越 小，说明两个变量之间关系越弱；d方c|越大，说明两个变量之I可关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般 步骤：根据样本数据制成2X2列联表：根据公式宀(卄0)(身驚常；(c+小计算於的观测值k；(3)比较观测值&与临界值的大小关系，作统计推断.【训练3 (2018 合肥质检)

15、某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名； 在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1) 试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2) 根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2X2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为科类的选择与性别有关?选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计n ad be） （臼+方）（c+R） （臼+c）（方+R）其中刀=a+b+c+d-）0. 5000. 4000. 2500. 1500. 1000.

16、0500. 0250.0100. 0050. 001Ab0.4550. 7081.3232. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828解(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为營=令.(2)根据统计数据，可得2X2列联表如下:选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180则#的观测值为 18OX1O5X?5X%X%45）- 142 9& 024,所以能在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为科类的选择与性别有关.分层训练，提升能力課时作业基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. 为了判定两个

17、分类变量*和厂是否有关系，应用独立性检验法算得斤的观测值为5,又已知 3. 841）=0. 05, 6. 635）=0.01,则下列说法正确的是（ ）A. 有95%的把握认为“X和卩有关系”B. 有95%的把握认为“尤和/没有关系”C. 有99%的把握认为“/和卩有关系”D. 有99%的把握认为“才和厂没有关系”解析 依题意#的观测值为k=5,且（#23.841） =0.05,因此有95%的把握认为“/和厂 有关系.答案A2. （2018石家庄模拟）下列说法错误的是（）A. 回归直线过样本点的中心G, ?）B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量/与X

18、随机变量斤的观测值&越大，则判断“/与卩有关系”的把握程度越 小D. 在回归直线方程尸0. 2+0. 8中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量歼均增加0. 2个单位解析 根据相关定义分析知A, B, D正确，C屮对分类变量*与卩的随机变量斤的观测值斤 来说，&越大，判断叮与卩有关系”的把握程度越大，故C错误.答案C3. （2017 汉屮模拟）已知两个随机变量尢yZ间的相关关系如表所示：X-4-2124y5-3-1-0. 51根据上述数据得到的冋归方程为y=bx+则大致可以判断（）B. QO, b0 D. a0,曰0.答案C4. 通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列

19、联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110,“ n adbe- 齐戸由朮=（日+b） （c+d）（日+c）（方+d）算得，/y *亠,110X （40X30-20X20） 2 口 A 的犹决Mil为 k= 60X50X60X50 =7 8-附表：0. 0500.0100. 001Ab3. 8416. 63510. 828参照附表，得到的正确结论是（）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前捉下

20、，认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的定义，由斤的观测值为7.86.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案A5. （2017 山东卷）为了研允某班学生的脚长班单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，A 10 10 A设其回归直线方程为y=bx+a.已知刀尢=225, Ey/=1 600, b=4该班某学生的脚长为24,据此估计其身髙为（）A. 160B. 163C. 166D. 170解析 由己知得x=22. 5, y=160,

21、T冋归直线方程过样本点中心（】，y）,且b=4,160=4X22. 5 +日，解得日=70.回归直线方程为y=4x+70,当x=24时，y=166.答案C二、填空题6. （2017 西安模拟）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行 了 5次试验根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y=0. 67x+54. 9.零件数班个）1020304050加工时间y（min）62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为 .解析 由耳=30,得=0.67X30 + 54.9 = 75.设表中的“模糊数字”为曰，则 62 + +75+81+89 = 75X5,日=68.答案687. （2018赣中南五校联考）心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣 小组为了验证这个结论，从所在学校小按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20）,给 所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表： （单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别冇关系，则这种推断犯错误的概率不超过附表:/#以）0. 150. 100. 050. 0250.0100. 0050. 001Ao2. 0722. 7