鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解同名411.docx

1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解同名411鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）+（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+（每只兔脚数-每只鸡脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2X 36）-（ 4-2） =14 （只） 兔；36-14=22 （只） 鸡。解二 （4X 36-100） -（ 4-2） =22 （只） 鸡；36-22=14 （只） 兔。（答略）（2）已知总头数

2、和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）-（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 + 每只免的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（3） 已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式。（每只鸡的脚数x总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 + 每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（4） 得失问题（鸡兔问题的推广题） 的解法，可以

3、用下面的公 式：（1只合格品得分数x产品总数-实得总分数）+ （每只合格品得 分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数。或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）宁（每只合格品得分数 + 每只不合格品扣分数）二不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分， 还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4X 1000-3525） -（ 4+15）=475- 19=25 （个）解二 1000- （15X 1000+3525） + （ 4+15）=1000

4、-18525- 19= 1000-975=25 （个）（答略）“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元。它的 解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）+（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）+ （每只鸡兔脚数之差）丨十2二鸡数；（两次总脚数之和）+ （每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）+ （每只鸡兔脚数之差）丨+ 2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解（52+44）

5、 + （ 4+2） + （52-44 ） + （ 4-2 ）+2=20+2=10 (只)(52+44) + ( 4+2) - (52-44) + ( 4-2 )+2兔（答略）=12-2=6 (只)鸡兔同笼目录1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，孙子算经 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头，从下面数，有 94

6、只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数x鸡的脚数）+ （兔的脚数-鸡的脚数）二兔的只数（94- 35 x 2）+ 2=12（兔子数）总头数（35）兔子数（12）=鸡数23)解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X 2只，由于鸡只有 2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以 2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡： 2X 35=70（只）鸡脚比总脚数少： 9470=24 （只）兔：24-（4-2）=12 （只）鸡： 35 1 2 =23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再

7、抬起一只脚， 这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了， 只剩下用两 只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：24-2=12（只） 鸡: 35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-70 2x=24x=24 宁 2 x=1235-12=23(只)或解：设鸡有x只，贝卩兔有(35-x)只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只) 答：兔子有 12 只，鸡有 23 只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡 兔同笼的问题上，好算一

8、些。二元一次方程解：设鸡有 x 只，兔有 y 只。x+y=352x+4y=94(x+y=35)x 2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入( x+y=35)x+12=35 x=35-12 （只） x=23 （只）。答：兔子有 12 只，鸡有 23 只4抬腿法 法一假如让鸡抬起一只脚， 兔子抬起 2 只脚，还有 94除以 2=47只脚。笼 子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差 47-35=12，就 是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下 94- 35 X 2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的

9、脚， 而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24- 2=12只兔子，就有35- 12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元 5 世纪。这本书浅显 易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是 35X 2=70 （只），比题中所说的94只要少94-70=24 （只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，

10、总的脚数就会增加 2 只，即 70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2，2， 2,2,一直继续下去，直至增加24,因此兔子数：24-2=12（只）， 从而鸡有 35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路： 如果先假设它们全是鸡, 于 是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚, 把这样得到的脚 数与题中给出的脚数相比较, 看看差多少, 每差 2 只脚就说明有 1 只 兔,将所差的脚数除以 2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解 鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总 数）+ （每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔

11、子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 X,鸡的数量为y 那么： x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出： 兔子有 12 只, 鸡有 23 只。7 详细解法 基本问题鸡兔同笼 是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经 中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型 解法-假设法 来求解。因此很有必要学会它的解法和思路 .例 1 有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头, 244 只脚,鸡和兔 各有多少只解：我们设想, 每只鸡都是 金鸡独立 ,一只脚站着； 而每只兔子都用 两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244+2

12、=122 （只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。 因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有 34 只兔子 .当然鸡就有 54 只。答：有兔子 34只,鸡 54只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数宁2-总头数二兔子数总头数-兔子数二鸡数特殊算法 上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上 能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时， 脚数就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通。 因此，我们对这类 问题

13、给出一种一般解法 .还说例 1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X 88只脚，比244只脚多了88X 4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少 （4-2）只脚，所以共有鸡（88 X 4-244） - （4-2）= 54 （只）.说明我们设想的 88 只兔子中，有 54 只不是兔子。而是鸡.因此可以 列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）+ （兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想 88 只都是鸡,那么共有脚 2X 88=176（只）， 比 244 只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少 （4-2）只脚，68-2=34 （只）.说明设想中的 鸡,有 34 只是兔子，也可以

14、列出公式 兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）+ （兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用， 用其中一个算出兔数或鸡数， 再用总头数去 减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 假设法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元。问红，蓝铅笔各买几支？ 解：以分作为钱的单位 .我们设想，一种 鸡有 11只脚，一种 兔子 有 19 只脚，它们共有 16 个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题， 转化成鸡兔同笼 问题了.利用上面算兔数公 式，就有蓝笔数=(19 X 16

15、-280) - (19-11)=24 - 8 =3（支） .红笔数 =16-3=13（支）.答：买了 13支红铅笔和 3 支蓝铅笔。 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 .例 2 中的 脚数19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是兔子,8 只是 鸡,根据这一设想，脚数是8X （11+19）=240（支）。比 280 少 40.40- （19-11）=5 （支）。就知道设想中的 8 只鸡应少 5 只，也就是 鸡（蓝铅笔）数是 3. 30X 8比 19X 16或 11X 16 要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠 心算来完成计算 .实际上，可以任意设想一个方

16、便的兔数或鸡数。例如，设想 16 只中， 兔数为 10,鸡数为 6，就有脚数19X 10+11X 6=256.比 280 少 24.24 - （19-11）=3,就知道设想 6 只鸡,要少 3 只。 要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领 . 下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件，甲单独打字需 6小时完成 .乙单独打字需 10小时完成， 现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时。甲 打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30份（30是 6和 10的最小公倍数），甲 每小时打30-6=5 （份），乙每小时打30- 10=3 （份）. 现在把甲打字

17、的时间看成 兔头数，乙打字的时间看成 鸡头数，总 头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转 化成鸡兔同笼 问题了。根据前面的公式兔数=（30-3 X 7） - （5-3）=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5小时，乙打字用了 2.5小时。答：甲打字用了 4 小时 30分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和 是 17 岁。四年后（2002 年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是 兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一 年？解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄

18、之和是 17+8=25，父 母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作 鸡头数，弟的年龄 看作兔头数。25是总头数.86 是总脚数.根据公式，兄的年龄是(25X 4-86)+ (4-3)=14 (岁).1998 年，兄年龄是14-4=10(岁) .父年龄是(25-14)X 4-4=40(岁) .因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是(40-10)+(3-1)=15(岁) .这是 2003年。答：公元 2003年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅 膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿

19、和 20 对翅膀 .每种小虫各 几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫 分成 8 条腿与6 条腿 两种。利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=(118-6X 18)+ (8-6)=5(只) .因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13(只) .也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀。再利用一次公式 蝉数=(13X 2-20)+ (2-1)=6 (只).因此蜻蜓数是 13-6=7(只) .答：有 5只蜘蛛， 7只蜻蜓， 6只蝉。例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已 知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7

20、人，5 道全对的有 6 人，做 对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？ 解：对 2道，3道，4 道题的人共有52-7-6=39（人） .他们共做对181-1 X 7-5 X 6=144（道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5道题的人（2+3）+ 2=2.5）.这样兔脚数 =4，鸡脚数 =2.5,总脚数 =144，总头数 =39.对 4 道题的有（144-2.5X 39）+（4-2.5）=31（人） .答：做对 4 道题的有 31 人。以例 1 为例 有若干只鸡和兔子，它们共有 88个头， 244只脚，鸡和 兔各有多少只？以简单

21、的X方程计算的话，我们一般用设大数为 X，那么也就是设 兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。 解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。4X+2X（ 88-X） =244上列的方程解释为： 兔子的脚数加上鸡的脚数， 就是共有的脚数。 4X就是兔子的脚数，2X( 88-X )就是鸡的脚数。4X+2 X 88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X - 2=68-2X=34即兔子为 34 只，总数是 88 只，则鸡： 88-34=54 只。答：兔子有 34 只，鸡有 54 只。习题一1龟鹤共有 100 个头， 350 只脚.龟，鹤各多

22、少只 ？ 2学校有象棋，跳棋共 26 副，恰好可供 120 个学生同时进行活动。 象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副 .象棋和跳棋各有几副？ 3一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99元，其中 2 分硬币个数是 5 分 硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个 ？4某人领得工资 240 元，有 2 元， 5元， 10 元三种人民币， 共 50 张， 其中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元， 5 元， 10 元各有多少张？ 5一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做 了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16 天.甲先做了多少天

23、 ？6摩托车赛全程长 281 千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段 中，有的是由一段上坡路 （3 千米），一段平路（4 千米），一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）组成的；有的是由一段上坡路 （3 千米）， 一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）组成的。已知摩托车跑完 全程后，共跑了 25段上坡路 .全程中包含这两种阶段各几段？ 7用 1 元钱买 4 分，8 分，1 角的邮票共 15 张，问最多可以买 1 角 的邮票多少张？二、 两数之差 的问题鸡兔同笼中的总头数是 两数之和 ,如果把条件换成 两数之差 , 又应 该怎样去解呢例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花

24、 6元 8角。已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数 就一样多.（680-8X 40）+ （8+4）=30 （张）,这就知道，余下的邮票中， 8 分和 4 分的各有 30 张。因此 8 分邮票有40+30=70（张） .答：买了 8 分的邮票 70 张， 4 分的邮票 30 张。 也可以用任意假设一个数的办法 .解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件 8 分比 4 分多 40 张,那么 应有 60 张 8 分。以 分作为计算单位，此时邮票总值是 4X 20+8X 60=560

25、. 比 680 少，因此还要增加邮票。为了保持 差 是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加 1张 8分，每种要增加的张数是（680-4X 20-8X 60）+ （4+8）=10 （张）.因此 4 分有 20+10=30（张），8 分有 60+10=70（张） .例 8 一项工程，如果全是晴天， 15 天可以完成。倘若下雨，雨天比 晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成1 0份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8X 3）+ （10+8）= 7（天） .雨天是 7+3=10 天，总共7+10=17（天

26、） .答：这项工程 17 天完成。请注意，如果把 雨天比晴天多 3 天去掉，而换成已知工程是 17 天 完成，由此又回到上一节的问题 .差是 3，与和是 17，知道其一，就 能推算出另一个。 这说明了例 7，例 8与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是 两数之和 ,如果把条件换成 两数之差 ,又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 28+2=14（只），鸡与 兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 4+ 2=2（倍），于是鸡的只数是兔的 只数的 2 倍。兔的只数是(100+28+ 2) + (2+1)=3

27、8 (只)鸡是 100-38=62(只) .答：鸡 62 只，兔 38 只。当然也可以去掉兔28+ 4=7 （只）兔的只数是（100-28-4） + （2+1）+7=38 （只）.也可以用任意假设一个数的办法。解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只） .此时脚数之差是4X 50-2X 50=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） .为了保持总数是 100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28） + （4+2）=12（只）. 兔只数是 50-12=38（只） .另外，还

28、存在下面这样的问题： 总头数换成 两数之差 ,总脚数也换成 两数之差 .例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四 句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13 首，总字数却反而少了 20 个字.问两种诗各多少首？ 解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 13X 5X 4+20=280（字） .每首字数相差 7X 4-5X 4=8（字） .因此，七言绝句有 280 - （28-20）=35 （首）.五言绝句有 35+13=48（首） .答：五言绝句 48首，七言绝句 35 首。解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13

29、首，七言绝句是 10 首.字数分别是20X23=460 （字），28X 10=280 （字），五言绝句的字 数，反而多了460-280=180（字） .与题目中少 20字相差 180+20=200（字） . 说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句， 也要增一首七言绝句， 而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假 设增加200-8=25 （首）.五言绝句有23+25=48 （首）.七言绝句有 10+25=35（首） .在写出鸡兔同笼 公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于 例 7，例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做 一下，把列出的计算

30、式子与 鸡兔同笼 公式对照一下，就会发现非常 有趣的事.例 7，假设都是 8分邮票， 4分邮票张数是（680-8X 40）- （8+4）=30 （张）.例 9，假设都是兔，鸡的只数是（100X 4-28）- （4+2）=62 （只） .10，假设都是五言绝句 ,七言绝句的首数是（20X 13+20）- （28-20）=35（首） .首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与 鸡兔同笼 公式 比较，这三个算式只是有一处 -成了+.其奥妙何在呢当你进入初中， 有了负数的概念， 并会列二元一次方程组， 就会明白， 从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例 11 有一辆货车运输 20

31、00 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数 目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解：如果没有破损，运费应是 400 元。但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元）因此破损只数是（400-379.6）宁（1+0.2）=17 （只）.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶。请你想一想，这是 鸡兔同笼 同一类型的问题吗例 12 有两次自然测验， 第一次 24道题，答对 1 题得 5 分，答错（包 含不答） 1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错或不 答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分 比第二次测