傅里叶变换性质证明.docx

1、傅里叶变换性质证明2.6 傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号 和 的傅里叶变换分别为 和 ，则对于任意的常数 a 和b，有将其推广，若 , 则其中 为常数， n 为正整数。由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质 .显然傅里叶变换也是一种线性运算， 在第一章我们已经知道了， 线性有两个 含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数 a，则信号的傅里叶变换 也乘以相同的常数 a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2反褶与共轭性号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换1）反褶精选 word 范本！f(-t) 是 f(t) 的反褶，其傅里叶变换为

2、2)共轭3)既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设 g(t)=f(-t) ， h(t)=g*(t) ，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t) 是实函数还是 复函数，因此 ,无论 f(t) 为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质精选 word 范本！2.6.3奇偶虚实性已知 f(t) 的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即根据定义，上式还可以写成下面根据 f(t) 的虚实性来讨论 F() 的虚实性。(1) f(t) 为实函数 对比式(2-33) 与(2-34) ，由 FT的唯一性可得1.1 )f(t) 是实的

3、偶函数，即 f(t)=f(-t)X( ) 的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零 ，故这时 X( )=0 ，于是可见，若 f(t) 是实偶函数，则 F() 也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭(1.2 )f(t) 是实的奇函数，即 -f(t)=f(-t)R( ) 的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时 R( )=0 ，于是精选 word 范本！可见，若 f(t) 是实奇函数，则 F( ) 是虚奇函数，即左边反褶，右边 共轭有了上面这两条性质， 下面我们来看看一般实信号 (即可能既不是偶信号， 又不 是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的 FT

4、频谱特点。2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系， 称为傅里叶变换的对称性 质。若已知F( )=Ff(t)则有Ff(t)=2 f(- )证明：因为上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是 F(t)所以FF(t)=2 f(- )若 f(t) 为偶信号，即 f(t)=f(-t) ，则有FF(t)=2f( )从上式可以看出，当 f(t) 为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立 即 f(t) 的频谱是 F( ) ，F(t) 的频谱为 f( ) 。精选 word 范本！若 f(t) 为奇信号，即 f(t)=-f(-t) ，则有 FF(t)=-2f( )利用 FT 的对称性，我们可以

5、很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举 些例子来说明这一点。精选 word 范本！2.6.5尺度变换），则这里 a 是非零的实常数下面利用 FT的定义及积分的性质，分 a0 和 a 0 时当 a 0 时精选 word 范本！上述两种情况可综合成如下表达式：由上可见，若信号 f（t） 在时域上压缩到原来的 1/a 倍，则其频谱在频域上 将展宽 a 倍，同时其幅度减小到原来的 1/a 。尺度变换性质表明， 在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展， 反 之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于 a=-1 的特殊情况，它说明信号在 时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换的

6、尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明， 在录音带快放时， 其放音速度比原磁带的录制速度要快， 这就相当于信号在时间 上受到了压缩， 于是其频谱就扩展， 因而听起来就会感觉到声音发尖， 即频率提 高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑 厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。2.6.6时间平移 （延时 ）下面进行证明证明：上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，精选 word 范本！于是可以得到同理可以得到2.6.7时域微分若 Ff(t)=F( ) ，则所以同理，可以推出的频谱 F( )的傅里叶变由上可见，在时域中 f(t) 对 t 取 n 阶导数等效于在频

7、域中 f(t) 乘以 (j)n. 下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号 u(t) 换，可利用此定理求出 (t) 的 FT精选 word 范本！2.6.8频域微分若 Ff(t)=F() ，则证明：因为 ，两边分别对 求导，可得所以2.6.9时域积分精选 word 范本！可见，这与利用符号函数求得的结果一致2.6.10频域积分精选 word 范本！若 Ff(t)=F( ) ，则有2.6.11时域卷积定理2.6.12频域卷积定理与时域卷积定理类似，证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说， 两个时间函数乘积的频

8、谱等于各个函数频谱乘积乘以 1/2 。显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。精选 word 范本！2.6.13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时， 提及帕斯瓦尔定理。 下面我们来研究一下该定理 在 FT 中的具体表现形式。若 Ff(t)=F( ) ，则这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现， 它表明了信号的能量在时域与频 域是守恒的。下面利用 FT 的定义和性质，推导信号能量的求解。式中 是信号 f(t) 的总能量， 为信号 f(t) 的能量谱密度。帕斯瓦尔定理表明， 这个总能量既可以按每单位时间的能量 |f(t)|2 在整个 时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量 /2 在整个频率范围内 积分来得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得取 t=0 ，即得帕斯瓦尔定理。精选 word 范本！