完整版概率论与数理统计知识点总结Word格式.docx

1、1 ,2 P（ Q） =13。对于两两互不相容的事件 A1 , A2，有P Ai P（Ai）i 1 i 1则称P（A）为事件A的概率。（5 ）古典概型 1, 2 n , P（ 1） P（ 2） P（ n） - on设任一事件A，它是由1, 2 m组成的，则有P（A） = （ 1） （2） （ m） = P（ 1） P（ 2） P（ m）m A所包含的基本事件数n 基本事件总数（6）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，p（a）L（A）。其中L为几何度量（长度、面积

2、、体积）。L（）（7 ）加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当 AB 不相容 P（AB） = 0 时，P（A+B）=P（A）+P（B）当 AB 独立，P（AB）=P（A）P（B）, P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）（8 ）减P（A- B）=P（A）-P（AB）当 B A 时，P（A-B）=P（A）-P（B）当 A= Q时，P（ B）=1- P（B）（9 ）条件概率定义设A、B是两个事件，且P（A）0，则称罟导为事件A发生P（A）条件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A） 学字。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P（ Q/B）=1

3、P（B/A）=1 -P（B/A）（10）乘法公式乘法公式：P（AB） P（A）P（B/A）更一般地，对事件 A1 , A2，An，若P（A1A2An-1）0，则有P（A1A2 An） P（A1）P（A21 A1）P（A3| A1A2） P（An | A1A2 An 1）（11 ）独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P（AB） P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有P（AB） P（A）P（B）P（B| A） 二人、 D A P（B）P（A） P（A）若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。必然事件和不可能事件？与任何事

4、件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B） ； P（BC）=P（B）P（C） ； P（CA）=P（C）P（A） 并且同时满足 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（12）全概公设事件Bl，B2，Bn满足 B1,B2, , Bn两两互不相容，P） 0（1 1,2, ,n），A Bi i1 ，则有P（A） P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2） P（Bn）P（A| Bn）。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题， 全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求

5、第二步某事件的概率，就用全概率公式；（13）贝叶斯公式设事件B1 , B2，Bn及A满足 B1 , B2，Bn两两互不相容，P（Bi）0 , i 1 , 2，n , i 1 P（A） 0J 5 5则P（Bi/A） nP（Bi）P（A/Bi） , i=1 , 2，n。P（Bj）P（A/Bj）j 1此公式即为贝叶斯公式。P（Bi） , （ i 1 , 2 ,，n ）,通常叫先验概率。P（Bi/A） , （ i 1 , 2， n ）,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律， 并作出了“由 在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率， 就用贝叶斯公式我们作了 n次试验，且满足每次试验只有

6、两种可能结果， A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；（14）伯努利概型每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 p q，用Pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（0 k n）次的概率，Pn（k） C：Pkqnk k 0,1,2, ,n5第二章随机变量及其分布 （1） 设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,）且取各个值的概率，即事件（X=X k）的概率为P（X=x k）=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量

7、X的概率分布或分布律。有时也用分 布列的形式给出：X | x1,x2, , xk,P（X xk） p1, p2, , pk,。显然分布律应满足下列条件：pk 1（1 ）宀 0 , k 1,2, , （ 2 ） k1 （2 ） 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f（x），对任意实数X，有XF（x） f （x）dx则称X为连续型随机变量。f（X）称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：分布仁 f（x） 03、P（Xi X X2） F（X2）F（xJ f （x）dxXi4、P（x=a）=O,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0（3 ）设X为

8、随机变量，x是任意实数，则函数分布F（x）P（X x）函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P（aX b） F（b） F（a）可以得到X落入区间（a,b的概率。分布函数F（x）表示随机变量落入区间（- , X内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F（x） 1, x ；2 F（x）是单调不减的函数，即 刃X2时，有F（x1） F（x2）;3 F（ ） lim F（x） 0, F（ ） lim F（x） 1 -X 7 X 74 F（x 0） F（x），即F（x）是右连续的；5 P（X x） F（x） F（x 0）。对于离散型随机变量，F（x） Pk ；Xk X对于连续型随机变量，

9、F（x） f（x）dx。（4 ）0-1分P（X=1）=p, P（X=0）=q六大布二项分在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为 X，则X可能取值为0,1,2, ,n。P（X k） Pn（k） C：pkqnk , 其中 q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n ,则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为X B（n, p）。当 n 1 时，P（X k） pkq1k , k 0.1，这就是（0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分设随机变量X的分布律为kP（X k） e , 0 , k 0,1,2 ,k!则称随机变量X服从参数

10、为 的泊松分布，记为X （）或者P（）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，n fg）。均匀分设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f（x）在a ,ib上为常数一，即b a1 a x w bf（x） 0： 其他,则称随机变量X在a , b上服从均匀分布，记为 XU（a ,b） o分布函数为0, xa,x aJ b a abo当a WX1VX2 wb时，X落在区间（x1，x2）内的概率为x2 x1P（X1 X X2）1 o指数分4 e , x 0f（x） 门L 0, x 0,其中 0，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。正态分设随机变量X的密度函数为（x ）2f（x）-e 2 ,

11、x ,J2其中、0为常数，则称随机变量 X服从参数为 、 的、一 八， 、. 、夕 M / 2止态分布或咼斯（Gauss）分布，记为 XN（，丿。f（x）具有如下性质： f（x）的图形是关于X 对称的； 当x时，f（）为最大值；2 2若 X N（,）亠X的分布函数为F（x） 21x e（吃 2）2 dt参数0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为x N（0，1）1，其x密度函数记为（x）-尹 x分布函数为x ,2（x）近e 2 dt o（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-X）=1-（x）且（0） = - o如果xX 2N（ , 2）,则 N（0,1） oP（x1 X、 X

12、2 X1X2） o（6 ）下分位表：P（x）=；分位上分位表：）=o数（7 ）离散型已知X的分布列为X1, X2, , Xn,P（XXi） P1, P2, , Pn, Y g（X）的分布列（yi g（Xi）互不相等）如卜：的分Yg（x1）, g（x2）, , g（xn）,布函p（y yi）若有某些! g（Xi）相等，则应将对应的Pi相加作为g（Xi）的概率。连续型先利用X的概率密度 fx（x）写出Y的分布函数 FY（y）=P（g（x）=Cv），再利用变上下限积分的求导公式求出 fY（y） o第三章二维随机变量及其分布（1 ）联离散型合分布如果二维随机向量 （X, Y）的所有可能取值为至多可 列

13、个有序对（x,y ），则称 为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为（人）（门1,2,），且事 件 = （Xi,yj） 的概率为 pij,称P（X,Y） （Xi,yj） Pj（i,j 1,2,）为=（X，Y）的分布律或称为 X和Y的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：yyjX1P11P 12P1jX2P21P22P2jpi1Pj这里pij具有下面两个性质:对于二维随机向量 （X,Y）,如果存在非负函数f（x,y）（ x , y ）,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D ， 即 D=（X, Y）|a0;（2 ） f（x,y）dxdy 1.2联合设（X, Y）为

14、一维随机变量，对于任意实数 x,y, 一元函数F（x, y） PX x,Y y称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件（ 1, 2）| X（ 1）x, Y（ 2） y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：（1）0 F（x, y） 1；（2）F（ x,y ）分别对x和y是非减的，即当 X2X 1 时，有 F（ X2,y） F（x1,y）;当 y2y 1 时，有 F（x,y 2） F（x,y 1）;（3） F （x,y ）分别对x和y是右连续的，即F（x, y） F（x 0,y）, F（x,

15、 y） F（x, y 0）；（4） F（ , ） F（ , y） F（x, ） 0,F（ , ） 1.（5） 对于 花 X2, y1 y2,P（x 1x x2,y 1 ih r “ 、匚 y 、 k z. _ / . “ 、 r , _” .八 z x与记号 XY相对应，X与Y的方差D （X）与D （Y）也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与Y,如果D （X） 0, D（Y）0 ，则称XYe（x）/D（Y）为X与Y的相关系数，记作 XY （有时可简记为 ）。| | 1，当| 1=1时，称X与Y完全相关：P（X aY b） 1宀厶炯辛 正相关，当 1时 0），完全相关负相关，当1时（a 0）,而当 0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：1XY 0;2cov（X, Y）