惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式.docx

1、惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA，定义它对任意轴的 一次矩为它对该轴的静矩，即dSy =xdAdSx 二 ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为Sy = AXdA（I）Sx ydA图I-1则 0、A2.形心与静矩关系设平面图形形心C的坐标为yC , zCSx Syy - ， x （ I-2）A A推论1如果y轴通过形心（即x = 0），则静矩Sy=0 ;同理，如果x轴通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o；反之也成立。推论2如果x

2、、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3An的简单图形组成，且一直 各族图形的形心坐标分别为 丘局乂2*2；壬3,3=，则图形对y轴和x轴 的静矩分别为Sy = Syi = Ai Xii 4 i 4n nSx = Sxi = Ai yii 4 i 4截面图形的形心坐标为(1-3)、Aiyi(1-4)、 AiXi4.静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。（2）静矩有的单位为m3（3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，

3、反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 若已知图形的形心坐标。则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。 若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。组 合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。（二）惯性矩惯性积惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为Ip = A2dA （1-5）图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为IyAX2dA ， IxAy2dA （ I-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐

4、 标轴定义的。（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原 点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即IpAr2dA= a（x2 y2）dA=ly J （ 1-7）（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和，即n n nI八 I Q ， I y 八 I yi ， IX 八 I xi ( I-8)i=1 i=1 i=12.惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对y轴和X轴的惯性积定义

5、为(I-9)惯性积的特征（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2） 惯性积的单位为m4 o（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于 零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重 且不一定有图形的对称轴。（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一(I-10)坐标轴的惯性积之和，即Ixy 八 Ixyi i丄3.惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3）,则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为惯性半径的特征（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的（2） 惯性半径的单

6、位为m。（3） 惯性半径的数值恒取证之。（三）惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式(1-12)lx xc a2AI xy = IxCyCabA(1-13)2I y yC b A平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）； xc， yc轴为图形的形 心轴；x，y轴为分别与xc，yc形心轴相距为a和b的平行轴。（2） 两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y或 形心xc，yc为参考轴加以确定。（3） 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但 图形对形心轴的惯性积不一定是最小。y八Xc图1-4（四）、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯

7、性矩 转轴公式1 x + 1 y 1 x _ I yI x cos2： -I xy si n2_：iX1 2 2 xyx yI x1y1 sin 2lxycos2：转轴公式的特征（1） 角度的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴x1,y1，以逆时 针转向者为正（图5）。 原点O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无 关。（3） 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即I :U I I 川Ix y x1 yi主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 0为坐标原点的坐 标轴X。、y的惯性积为零（扁0=0），贝S坐标轴X。、y

8、称为图形通过 点0的主惯性轴（图6）。截面图形对主惯性轴的惯性矩lx,ly0，称为 主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩的确定（1） 对于某一点0,若能找到通过点0的图形的对称轴，则以点 0 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点 0的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往 已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点 0的主 惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。（2） 若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐标原点,任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴 x，y的惯 性矩IxJy和惯性积Ixy。于是，图形通过点0的一对主惯性轴方位及主惯性

9、矩分别为主惯性轴、主惯性矩的特征（1） 图形通过某一点0至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势 图形对通过同一点0所有轴的惯性矩中最大和最小。（2） 主惯性轴的方位角：-0，从参考轴x, y量起，以逆时针转 向为正。（3） 若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点 o的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。（4） 以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性 轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。积元素（因其上各点的y坐标相等），即dA=b（y）dy。由相似三角形关系，可知：b（y） =b（h -y）,因此有dA = b（h-y）dy。将其代入公式（I-1 ）

10、的第二式，即得 h h70 10x=10 45mm ， y 5mm将其代入公式（I-4），即得截面形心C的坐标为ax- Ax 37500 ccx 20mmAj + A口 1900Ay- Ay 75500y 40mmA+A口 1900解题指导：此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心, 计算不规则图形的形心。y120*10/xi?y.I x = I 2I x | I （ 1 ）矩形对于x轴的惯性矩为：半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。 为此，先求出每个半圆形 对于与x轴平行的形心轴Xc （图b）的惯性矩Ixc。已知半圆形对于其底边的惯TT二为 ，其形心到底

11、边的距离为 丿（图b）。故由平行移轴公式（I-10a）,8 3兀可以求出每个半圆形对其自身形心轴 Xc的惯性矩为：3:由图a可知，半圆形形心到x轴距离为a空,故在由平行移轴公式，求得每个 半圆形对于x轴的惯性矩为:4 2 , , / 2d ? nd 2d、2 闵I x I xc (a ) A ()11 3 兀 1282 2 2 d ,d a 2ad、（ ）4 32 2 3a二将d=80mm、a=100mm （图a）代入式（4）,即得兀（80）2 802 1002 2100 x80 4 4Ix （ ） =3460 10 mm11 4 32 2 3n将求得的Ix和lx I代入式（1）,便得4 4

12、4 4Ix =5330 104 2 3460 10 = 12250 104 mm解题指导：此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，禾U用已有的规则图形的面积、 形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合 截面形心的惯性矩。xc图l-c截面直径（mJF _如一)1 64符号意义及单位：h_ 面对乳轴的惯性矩(cm*)D 大径(cm)d 卜径(cm)符号意义及单位： 长方形敲面对艺轴的惯性(cm*)a 长(cm)b 宽(cm)r B&i + a 页3符号意义及单位：k 惯性矩（miJR图所示（cm）b图所示（cm）e： 重心S至！1相应边时距离（cm）&： 重心S到相应边的距离（cm）a 图所示（cm）h 图所示（cm）幻=2|出+彌符号意义及单位t勺重心S到相应边的距离（cm）E_11图所示（cm）a_ I图所示（cm） bD图所示（cm） d_矚所示（cm）符号意义&单位；Zu 惯性矩(cm4)B 口图所不(cm) b 图所不(cm)H 如图所不(cm)力 图所不(cm)b/2 b/2 _J7 BHbh31 * =12符号意义及单位：h惯性矩(cm*)B JU圏所不(cm) b 口图所示(cm)H_图所示(cm) h口图所示(cm)