《电动力学》课后答案文档格式.docx

1、yey+dAzdAxduexdAyduey+eydAzduez）（ezez）=（3）=u/xdAx/duydAy/duz dAz/du=（=-）ex+（-）ey+（）ezex+Ax（u）Az（u）ey+Ay（u）ez=A（u）3. 设r=222（x-x）+（y-y）+（z-z）为源点x到场点x的距离，r的方向规定为第 1 页从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r=-r=r/r ； （1/r）=-（1/r）=-r/r3 ；（r/r3）=0；33（r/r）=-（r/r）=0 ， （r0）。（2）求r ，r ，（a）r ，（ar） ，E0sin（kr）及r

2、） ，其中a、k及E0均为常向量。（1）证明：r=（x-x）+（y-y）+（z-z）1 r=（1/r）（x-x）e可见 r 2 =r1+（y-y）ey+（z-z）ez=r/rr=（1/r）-（x-x）ex-（y-y）ey-（z-z）ez=-r/rd1rr=-2r=-3 drrr1r=r=-2r=3rrdr（1/r） 3 （r/r3）=（1/r）r=（1/r）r+（1/r）r333=3r3rr+0=-4r=0 dr4 （r/r）=（1/r）r+=-3rr4r+=0 ， （r0）（2）解：1r=（x-x）ex+（y-y）ey+（z-z）ez=3exey/yy-yz=0 z-zy+az）（x-x）e

3、x+（y-y）ey+（z-z）ez2 r=xx-x3 （a）r=（a+ay=axex+ayey+azez=ar）=ra）+（r）a+ar）+（a）r 因为，a为常向量，所以，a=0， （r）a=0， 又Qr=0，r）=（a）r=a 5 Esin（kr）=（E0）sin（kr）+E0r）E0为常向量，E0=0，而r）=cos（kr）（kr）k，第 2 页所以 r）=kE0cos（kr） 6 r）=r）E0=kV4. 应用高斯定理证明dVf=dSSf，应用斯托克斯（Stokes）定理证明dSj=Ldlj（I）设c为任意非零常矢量，则cf=dVcf）根据矢量分析公式 （AB）=（A）B-AB），令其

4、中A=f，B=c，便得（fc）=（f）c-fc所以 cf）=（fc）=c）dS（dSf）=cf因为c是任意非零常向量，所以（II）设a为任意非零常向量，令F=ja，代入斯托克斯公式，得FdS=Fdl （1）（1）式左边为：（ja）dS=jaa+jadS =-ajSS=-j=aj （2）（1）式右边为：jadl=ajdl （3） 所以 aj=ajdl （4）因为a为任意非零常向量，所以J+rtj=jdl5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 p（t）=0证明p的变化率为：dpdtr（x,t）xdV，利用电荷守恒定律J（x,t）dV方法（I）dpd=r（x,t）xdV=r（x,t）xdV=VVdtd

5、ttdpe1=-J）x1e1dV=-x1（J）dV=VVdt第 3 页r（x,t）xdV=-J）xdV-（x1J）+（x1）JdV=-x1JdS+Jx1dV因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故同理 所以x1JdS=0，e2=e1=dpdtdpdtdpdtJx2dV， e3=Jx3dVJdV方法（II）r（x,t）dpd=r（x,t）xdV=r（x,t）xdV=VVVVdtdtt根据并矢的散度公式（fg）=（f）g+（f）g得：（Jx）=（J）x+（J）x=（J）x+J dpdt（Jx）dV+JdV=-dS（Jx）+JdV=VV6. 若m是常向量，证明除R=0点以外，向量A

6、=（mR）/R的旋度等于标量j=mR/R的梯度的负值，即A=-j，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明：Q（1/r）=-r/r3A=m）=-m+（m）-）=（）m 1r）m=（m）=（m1r1r1r）m-（其中 （1/r）=0， （rA=（m ， （r1r1r）m）-（m）（1r）-（又 j=mm1r） ）-（=-m=-（m所以，当r0时，7. 有一4 页当rr1时，D1=0， E1=0。 当r1rr2时， 4pr2D3=D3=（r2-r1）rfp（r2-r1）rf3e0rE3=向量式为 E3=（2）当r1r2 时，2prH=Jfp（r2-r1）第 5 页所以 H3=Jf（

7、r2-r1）， B3=m0（r2-r1）Jf J（2）当 r1R0时，电势j满足拉普拉斯方程，通解为n（anR+bnRn+1）Pn（cosq）因为无穷远处 EE0，jj0-E0Rcosq=j0-E0RP1（cosq） 所以 a0=j0，a1=-E0，an=0,当 RR0时，jF0s）+所以 j0-E0R0P1（coq02（nPn（coqs）=F0即： j0+b0/R0=F0,所以 b0=R0（F0-j0）,b1/R0=E0R0b1=E0R0,bn=0,（n32j0-E0Rcosq+R0（F0-j0）/R+E0R0cosq/Rj=（RR0）（RR0）（2）设球体待定电势为F0，同理可得当 RR0

8、时，由题意，金属球带电量QQ=-e0jR=R0dS=e0（E0cosq+F0-j0R0+2E0cosq）R0sinqdqdf=4pe0R0（F0-j0）所以 （F0-j0）=Q/4pe0R0j0-E0Rcosq+Q/4pe0R+（E0R0/R）cosqj=j0+Q/4pe0R3. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为e，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4peR与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4peR与球面上的极化电荷

9、所产生的电势第 11 页的迭加。设极化电荷产生的电势为j，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：=j j dn=0,（n1）=a0， j外=d0/R jj 得： a0=d0/R0 由 ej a0=所以 j E外=外Qf4pe0Rer ，积分后得：j外=RdR=4peQfR0在球12 页4. 均匀介质球（电容率为e1）的中心置一自由电偶极子pf，球外充满了另一种介质（电容率为e2），求空间各点的电势和极化电荷分布。以球心为原点，pf的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为

10、pfR/4pe1R。所以球 ji=pfR/4pe1R3+nnRP（cosq）n-（n+1）R0） （1） （RR0） （2）jo=pfR/4pe1R+边界条件为：jiP（cosq）n=jo（3）（4）ji=e2jo（cosq）的系数，可得： 将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较Pnan=0,bn=0（na1=（e1-e2）p/2pe（e1+2e2）R0b1=a1R0=（e1-e2）pf/2pe1（e1+2e2）于是得到所求的解为：ji=jo=pfR4pe1R（e1-e2）pfRcosq2pe1（e1+2e2）R0（e1-e2）2pe1（e1+2e2）R（e1-e2）2pe1（e1+2e2）（RRR（e1-e2）pfcosq2pe1（e1+2e2）R3pfR4p（e1+2e2）R在均匀介质13 页（e1-e0）E=-=（e0/e1-1）re1-e0D=（e0e1所以 pp=（e0/e1-1）pf在两介质交界面上，极化电荷面密度为sp=er（p1-p2）=（e1-e0）erEi-（e2-e0）erEo=-（e1-e0）+（e2-e0）由于e1，所以 3e0（e1-e2）pf2pe1（e1+2e2）R30sp=e0（=cosq5. 空心导体球壳的