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1、Section Loc. End Loc. Print ident 打印定义，ident 可以是本段定义的任何对象，类型以及本段所包括的库中定义的对象和类型。Example:Print R. Check ident 检查类型，check 可以检查本段定义的对象和类型。Variable tab:Type. Check tab. Definition ident :type := define 定义一个对象，可以选择性声明其类型，但是必须要有定义体，即:=后的内容。Definition setiod:=nat. Variable ident :type 声明一个局部变量，只需给出类型，不需要定义体

2、。当没有 section 包围时，顶级的局部变量等价于全局变量。Variable ck: nat. Parameter ident :声明一个全局变量，只需给出类型，不需要定义体。Parameter ck:nat. Inductive ident := | constru : type1typ2| . 定义一个归纳体，可以包含若干个构造子（constru），但是每个构造子的类型的最后必须是归纳体类型。Inductive expr : Type : | Evar : ident expr | Econst : Z | Eadd : expr | Esub :. Lemma em:定义一个猜想，其

3、类型为 type。通常需要给出证明 Lemma not_all_not_ex :forall P:U Prop, （forall n:U, P n） exists n :U, P n. Fixpoint fun （A:type）（B:type）:type:= tail. fixpoint 可以定义递归函数，其中括号中的是传入参数。在 tail 中常使用 match 结构可以对归纳结构进行拆分。Fixpoint tail_plus n m:nat: match n with | 0=m | S n=tail_plus n （S m） end. Compute expr 归纳演算 expr 的值。

4、Compute 1+1. Structure exp := dom1:typ1; dom2:typ2; dom3:typ3:=value 定义结构体，可以包含若干个域，域的名字不能重复，通过 dom1 exp 来访问域的值，利用Build_exp 来构造。Structure person:= name:string; age:nat . Coercion Rela: typ1typ2 建立从 typ1 到 typ2 的强制子类型约束，Rela 是之前定义的转换关系。Variable dog:Type. Variable husky:Variable belong:huskydog. Coerc

5、ion belong:huskySearch keyword 搜索关键字的定义 Search nat. SearchAbout keyword 搜索所有关键字相关的定义 SearchAbout nat. SearchPattern exp 搜索指定形式的定义式。SearchAbout （ _ nat）. 特殊库的使用 String:打开字符串库符之后字符串的表述 ：“Ser” Check “Ds”. 构造子有 nil 和 n:l 两个，可用+连接两个列表。Ensemble 需要先定义元素类型，然后可以声明集合。Variable I:Variable set1:Ensemble I. Check

6、 Union I set1 set2. Check Intersection I set1 set2 证明相关 Proof. 开始证明 Qed. 证明结束 Hint Resolve lem 将 lem 加入 auto 库 证明策略：intros/intro 用于 goal 里面有 forall,Pintros P H0. intros. unfold 展开非递归函数 unfold is_ture. unfold is_true in H. rewrite H 将 H 的右边当作左边带入 goal 或者指定的目标 rewrite H. rewrite H in H0. rewrite H 将 H

7、 的左边当作右边带入 goal 或指定目标 H. rewrite Q）. 高级技法： 证明即程序： Definition half（n:nat）:p:nat & n = 2*p +n = S（2*p）. induction n. exists 0;left; destruct IHn as x Hx | Hx. exists x;right; exists （S x）; Require Import Arith. rewrite Hx; ring. Defined. Print sigT. Compute half 3. Check existT. Definition half（n: nat

8、）: nat := match half n with existT p _ = p end. 附录 1：Ensemble 定义：Library Coq.Sets.Ensembles Section Ensembles. Variable U : Type. Definition Ensemble := U Prop. Definition In （A:Ensemble） （x:U） : Prop := A x. Definition Included （B C:Ensemble） := forall x:U, In B x In C x. Inductive Empty_set : Ense

9、mble :=. Inductive Full_set : Full_intro : forall x:U, In Full_set x. NB: The following definition buildsin equality of elements in U as Leibniz equality. This may have to be changed if we replace U by a Setoid on U with its own equality eqs, with In_singleton: （y: U）（eqs x y） （In （Singleton x） y）.

10、Inductive Singleton （x: In_singleton : In （Singleton x） x. Inductive Union （B C: | Union_introl : In （Union B C） x | Union_intror :U, In C x In （Union B C） x. Definition Add （B:= Union B （Singleton x）. Inductive Intersection （B C: Intersection_intro : In C x In （Intersection B C） x. Inductive Couple

11、 （x y: | Couple_l : In （Couple x y） x | Couple_r : In （Couple x y） y. Inductive Triple （x y z: | Triple_l : In （Triple x y z） x | Triple_m : In （Triple x y z） y | Triple_r : In （Triple x y z） z. Definition Complement （A:= fun x:U = In A x. Definition Setminus （B C: fun x: In B x / In C x. Definition

12、 Subtract （B:= Setminus B （Singleton x）. Inductive Disjoint （B C: Disjoint_intro : （forall x:U, In （Intersection B C） x） Disjoint B C. Inductive Inhabited （B: Inhabited_intro : Inhabited B. Definition Strict_Included （B C:= Included B C / B C. Definition Same_set （B C:= Included B C / Included C B.

13、Extensionality Axiom Axiom Extensionality_Ensembles : forall A B:Ensemble, Same_set A B A = B. End Ensembles. Hint Unfold In Included Same_set Strict_Included Add Setminus Subtract: sets v62. Hint Resolve Union_introl Union_intror Intersection_intro In_singleton Couple_l Couple_r Triple_l Triple_m Triple_r Disjoint_intro Extensionality_Ensembles: sets v62.