第三章 参数方程极坐标教案 曲线的参数方程第一节概要.docx

1、第三章 参数方程极坐标教案 曲线的参数方程第一节概要第三章 参数方程、极坐标教案 曲线的参数方程(第一节) 教学目标1通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路2通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力3从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点教学重点与难点曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点；难点是弹道曲线参数方程的建立教学过程师：满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程

2、，而这条曲线才能够称作方程的曲线？生1：必须同时满足两个条件：(1)曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；(2)同时以这个方程的每一组解作为坐标的点都在曲线上那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线师：请写出圆心在原点，半径为r的圆O的方程，并说明求解方法生2：O的方程是x2+y2=r2，是利用两点间距离公式求得的设(师板书O：x2+y2=r2)师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点M(x，y)的横、纵坐标之间的关系式能用别的方法来探求x、y之间的关系吗？生：师：(诱导一下)不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x，y之间是否能建立一

3、座桥梁，使之联系起来？(计算机演示动画，如图3-1)师：驱使M运动的因素是什么？生：旋转角师：当我们把x轴作为角始边，并使OM绕O点逆时针旋转，请考虑在什么范围内取值就可以形成整个圆了？生：0，2)师：至此x、y之间的关系已通过联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？师：式是O的方程吗？生4：式是O的方程师：请说明理由生4：(生4叙述，师板书)(1)任取O上一点(x1，y1)，总存在10，2)，由三角函数定义知x1=rcos1，y1=rsin1，显然满足方程；(2)任取20，2)，所以M在O上由(1)、(2)知是O的方程师：既然是O的方程，那么它应该和x2+y2=r2是一致的，两者能统一起来

4、吗？生：能，消去即可师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来请同学们再看一个例子炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，请同学们帮他求出弹道曲线的方程(不计空气阻力)师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下(师从同学们画出的图形中，选出一种画在黑板上，如图3-2

5、)师：一般同学们都知道是轨物线的一段现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，请思考求点的轨迹方程的首要工作是什么？生：建系师：怎样建系？(请同学们自行建系)(师将同学们4种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出如图3-3-(1)、(2)、(3)、(4)师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程简单一些现在请同学们从上述4种建系方式中选择较恰当的一种生：(较一致地否定了(1)、(2)，对(3)、(4)众说纷纭)师：(引导学生作常规分析)炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始位置(起始点)，这

6、个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图3-3(4)师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？生：设标，设炮弹发射后的位置为M(x，y)师：下面该进行哪一步了？生：列式师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？生：不明显师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？生5：像刚才用第三变量表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起来师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？生5：刚才圆上点M是依赖于角的运动而运动的，第三变量就选择了，我想这里要把x、y之间的关系建立起来

7、，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动(由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的匀速直线运动)显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)，因此“怎样列式”事实上是解决如何刻画水平位移和竖直位移的问题故应考虑运动物体的位移与哪些量有关生：和速度、时间有关师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？生6：(如图3-4)在水平方向的初速度是v0cos，在竖直方向的初速

8、度是v0sin(生6口述，师标在图3-4上)师：时间有吗？生：没有师：怎么办？生：设出来，设为t师：现在能分别求x和y了吗？师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？生7：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动所以师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该有一个确定的范围？生：有，令y=0，生：刚落地师：(挑战性的)这个方程组表示的是弹道曲线的方程吗？生：是师：谁能简要地作一下说明？生8：显然，任给轨迹上一点M(x0，y0)，由方程组的建立过程知其坐标x0、y0适合方程组；反之当t在0，T内任取某一个值时

9、，由方程组就可确定当时炮弹所在位置(即表示炮弹的点在曲线上)故就是炮弹飞行的轨迹方程师：很好！前面我们举了两个例子，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的例1中旋转角参与了方程组的建立，且x、y都是的函数；例2中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数这些特点是以前建立的直接反映x、y关系的方程所不具备的，它和我们以前所熟悉的曲线的方程表达形式是不一样的，谁能给这样的曲线方程起个名字吗？生：参数方程(师随即写出课题参数方程指出联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数)师：例1中我们看到圆上任意一点的坐标x、y，都是参

10、数的函数，且对于0，2)内的任意一个值，由所确定的点M(x，y)都在圆上；例2中，我们看到炮弹的任意一个位置，即轨迹上任一点的坐标x、y都是t的函数，且对于任一个t的允许值，由确定的点M(x，y)都在轨迹上这样的方程我们刚才称它为参数方程，谁能通过刚才的例子，归纳出一般曲线的参数方程的定义？生9：(定义)在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都变数，简称参数(生9叙述，师板书)师：相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的(显得那样的普通)为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程师：从上面两个例子看出，参数可以有明确的几何意义(例1中的旋转角几何的)，也可以有明显的物理意义

11、(例2中的时间t物理的)事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数请同学们考虑，在例1中还可以用什么变数作参数？生10：设弧长l为参数，由于l=r，师：还可以用别的变数作参数吗？生：师：(点拨一下)前面我们用旋转角作为参数，可以用什么表示？生11：明白了，可设M的角速度为，运动所用时间为t，旋转角为，则=t(生11叙述，师板书)师：曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如例2中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度能求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度吗？生：

12、能！师：请一位同学具体说说师：今天这节课上，通过两个具体问题的研究，我们自行给出了参数方程的定义(口述)，并且明确了参数的意义(结合例题口述)，初步掌握了求曲线参数方程的思路通过弹道曲线参数方程的探求，使我们体会到了数学源于实践，又服务于实践的真谛，培养了我们善于思考，勇于探索的精神今天的作业第120页第1题设计说明1未来社会对人才素质的要求越来越高高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用本节课的3个教学

13、目标正是据于这样的思考而制定的2这节课按如下6个步骤逐渐展开：(1)圆的参数方程；(2)弹道曲线的参数方程；请学生帮助炮兵求弹道曲线的方程；让学生由熟悉的感知事实得抽象的几何图形；选择原点，恰当建系；分析炮弹运动方式，恰当选择参数；建立方程，检验二性(纯粹性，完备性)；(3)参数方程的一般定义；(4)两个例子的进一步研究(兼作例题)；(5)课堂小结；(6)布置作业主要据于如下理由：相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的

14、“样本”这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程那么，2(2)中的、步均可省略这种直接地把知识和盘托出的教法(其实是“奉送”)确能使课堂上节约不少时间，然而对于激发学生数学的应用意识，发挥学生的主体参与，揭示知识的形成过程，诱发学生探索、发现新知识都起不到任何作用这里插入步骤、，则充分调动了主体的积极性，各类学生都情不自禁地加入到探索、求知的行列整个知识的形成过程，犹如“历史在戏剧中的重演”，而学生正是这一“历史剧”中的

15、演员，教师则是导演同时，学生还能从中品味发现新知识的乐趣，体会知识的应用价值常此以往，坚持不懈，学生的素质必将得到极大的提高通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给这类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义旨在培养学生由具体到抽象的推理能力第(4)步中，将两个例子作了进一步研究通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，可以选取不同的变数作参数既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识而对炮弹最大水平射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有着鲜明的实际意义(几何的)，另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛