大学论文电气工程与自动化专业数学建模方法与应用课程论文基于最优理论的钢管下料问题Word文档下载推荐.docx

1、（2）为了简化生产过程, 规定所使用的切割模式的种类不能超过4种, 使用频率最高的一种切割模式按照每切割一根原料钢管价值的1/10增加费用, 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用, 依此类推。为了使总费用最小, 应如何下料?2、问题分析2.1问题（1）要确定如何下了最为节省，首先要确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户的需要在原料钢管上安排切割的一种组合。显然，可行的切割模式是很多的。然而，哪些切割模式是可行的呢？例如如果我们将一根1850mm的原料钢管切下5根290mm规格的钢管，余料为400mm，还可以切割出一根299mm、315mm或着350mm

2、规格的钢管，但是产品根数为6根，不符合题目中的条件，如果余料不再切割，那就造成了很大的浪费。按照题目的要求，即每根原料钢管生产的产品不能超过五根，并且每种切割模式的余料不能超过100mm，合理可行的切割模式一共有11种，如表2-1所示，表2-1290mm钢管数315mm钢管数350mm钢管数455mm钢管数余料（mm）模式13270模式2145模式310模式420模式590模式655模式7100模式865模式930模式105模式114问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式切割多少根原料钢管，最为节省。而所谓节省，给定两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，而是切割原料钢管的总根数

3、最少。2.2问题（2）总费用包括两方面的费用，一是用于购买原料钢管的费用，这部分费用由购买原料钢管总根数决定，由于假定购买的原料钢管都用于切割，所以切割的原料钢管总根数越少，费用越少。例如，设每根钢管的价值为一个单位，则按照使用频率最高的模式切割一根钢管的费用为1/10单位，按照次之使用频率的模式切割一根钢管的费用为2/10单位，以此类推，由此可以给出总费用的目标函数。按照问题（1）的思路，可以通过枚举法首先确定那些切割模式是可行的。但是，由于按每种使用频率不同的模式切割单位钢管的增加费用是不同的，所以还要考虑各种模式使用频率的排列情况，枚举法的工作量就非常大了。因此必须寻找另外的方法。另外，

4、由于存在着切割原料钢管的增加费用，所以，切割原料钢管最少的方案不一定使总费用最少。3、模型假设1.料钢管的费用及切割原料钢管的增加费用之和，不涉及其它的费用如工人工资、设备损耗费、原料钢管及产品的存储费用，或者认为这些费用已经包含在切割原料钢管的增加费用之中了。2.钢管切割的损耗忽略不计。3.所有被切割的原料钢管都能成功地被切割出期待的产品。4.所有购买的钢管都能被用于生产。5.如果生产出来的产品数超过客户的需求，超出的部分的产品认为是被浪费了。4、符号说明1.：切割后剩余的总余料量。2.：按照第种模式切割原料钢管的增加费用。3.：按照第种模式（=1，2，3，4，）切割的原料钢管根数，显然它们

5、应当是非负整数。4.种切割模式下每根原料钢管生产290mm钢管数量。5.种切割模式下每根原料钢管生产315mm钢管数量。6.种切割模式下每根原料钢管生产350mm钢管数量。7.种切割模式下每根原料钢管生产455mm钢管数量。5、模型建立与求解求解5.1问题（1）模型建立决策变量 用表示按照第种模式（=1，2，3，4，）切割的原料钢管根数，显然它们应当是非负整数。决策目标 目标一：以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表2-1有 Min=70x1+45x2+10x3+20x4+90x5+55x6+100x7+65x8+30x9+100x10+30x11目标二：以切割原料钢管的总根数最少为目标，则

6、有Min= x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11约束条件 它们的约束条件相同，按照表2-1，约束条件如下：3x1+2x2+2x3+x4+x5+x615x2+2x4+x5+3x7+2x8+x928x3+2x5+3x6+x7+2x8+3x9+5x10212x1+2x2+2x3+2x4+x5+x6+x7+x8+x9+4x1130模型求解1.将目标一和约束条件构成的整数线性规划模型输入lingo求解，得到最优解如下： Objective value: 430.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 6

7、 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 70.00000 X2 0.000000 45.00000 X3 3.000000 10.00000 X4 11.00000 20.00000 X5 0.000000 90.00000 X6 0.000000 55.00000 X7 0.000000 100.0000 X8 0.000000 65.00000 X9 6.000000 30.00000 X10 0.000000 100.0000X11 0.000000 30.00000按照模式3切割3根原料钢管，按照模式4切割11根原料钢管，按照模式9切割6根原料

8、钢管，总共切割20根，总余料最少，为430mm.2.将目标二和约束条件构成的整数线性规划模型输入lingo求解，得到最优解如下： 19.00000 7 X1 0.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 1.000000 1.000000 X4 13.00000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 X9 2.000000 1.000000 X10 3.000000 1.000000X11 0.000000 1

9、.000000按照模式割1根原料钢管，按模式4切割13原料钢管，按照模式9切割2原料钢管，按照模式10切割3根原料钢管，可是切割原料钢管总根数最少，为19根分别以总余料最小和切割原料钢管总根数最少为目标的线性规划得出的结果存在相差，两者之中必定只有一种是最为节省的方案。通过观察约束条件，可以发现，每种规格的钢管的生产数量没有设定上界，即每种规格钢管的实际生产数量都有可能超过客户的需求，那么，超出客户需求的产品也应该认为是余料。因此，目标一的目标应该改写为：Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+290（3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6-15）+31

10、5（x2+2x4+x5+3x7+2x8+x9-28）+350（x3+2x5+3x6+x7+2x8+3x9+5x10-21）+455（2x1+2x2+2x3+2x4+x5+x6+x7+x8+x9+4x11-30）将修改后目标一和约束条件构成的整数线性规划模型输入lingo求解，得到最优解如下： 980.0000 X1 0.000000 1850.000 X2 0.000000 1850.000 X3 1.000000 1850.000 X4 13.00000 1850.000 X5 0.000000 1850.000 X6 0.000000 1850.000 X7 0.000000 1850.0

11、00 X8 0.000000 1850.000 X9 2.000000 1850.000 X10 3.000000 1850.000X11 0.000000 1850.000修改目标一后最优解为按照模式割1根原料钢管，按模式4切割13原料钢管，按照模式9切割2原料钢管，按照模式10切割3根原料钢管，实际总余料料最小（包括多生产的产品），为980mm，切割原料钢管总数为19根。通过对比修改后的目标一和目标二最优解的方案，可以发现它们是一样的。事实上，这两种方法在本质上是一致的，因为目标二中，切割的原料钢管最少，剩下的是余料，客户需求量是固定的，实际的总余料也就最少。5.2问题（2）模型建立 由于

12、切割模式的种类不能超过4种，可以用表示按照第=1，2，3，4）切割的原料钢管根数，它们是非负整数。设所使用的第种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm，350mm和455mm钢管数量分别为，它们为非负整数。总费用最少，假设x1x2x3, 这对问题没有影响目标为 min=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4为满足客户的条件，应有r11x1+r12x2+r1x3+r14x15r21x1+r22x2+r23x3+r24x428r31x1+r32x2+r33x3+r34x421r41x1+r42x2+r43x3+r44x430每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不

13、超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不大于100mm），于是1750290r11+315r21+350r31+455r4118501750290r12+315r22+350r32+455r4218501750290r13+315r23+350r33+455r4318501750290r14+315r24+350r34+455r441850每种切割模式下每根原料钢管生产的产品数不能超过5根，于是r11+r21+r31+r415r12+r22+r32+r425r13+r23+r33+r435r14+r24+r34+r445并且 x1x3模型求解 实际上，上边的约束条件确定的范围是很大的，

14、用LINGO求解要很长的时间，因此需要加上一些显然的约束条件，从而缩小可行解的范围。由于原料钢管不可能少于（29015+31528+35021+45530）/1850=18.5根，于是得到了钢管根数的下界。可以增加约束条件 x1+x2+x319将目标函数和约束条件构成的整数线性规划模型输入lingo求解，得到最优解如下： 21.50000 267 16069 X1 14.00000 -0.1000000 X2 4.000000 0.000000 X3 1.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000

15、000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R14 4.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 5.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 2.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 R

16、44 1.000000 0.000000即按照模式1，2，3分别切割14，4，1根原料钢管，使用原料钢管总根数19根第一种切割模式下一根原料钢管切割成1根290mm规格钢管、2根315mm规格钢管和2根455mm规格钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成5根350mm规格钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根290mm钢管、1根350mm规格钢管和2根455mm规格钢管。这样的方案使总费用最少，为21.5根钢管的价值。 6、模型检验及评价。问题（1）需要求的是如何下料最省，从两个不同的目标出发，建立不同的模型，最后求出最优解，从最优解中可知两者切割模式和计划是相同的，由此得出两者虽然目

17、标不同，本质上是相同的，并且说明了模型的正确性。问题（2）需要求的是如何下料使总费用最少，模型通过把目标函数转化为切割原料钢管总根数函数，方便了求解。同时，为了不使因为求解范围过大而使求解时间过长或无法求解，从一些明显的事实中，增加了一些适当的约束条件，从而是求解的时间大大缩短，快速地求出结果。运用lingo软件，使得解决模型简单，明了。参考文献1赵静，但琦主编.数学建模与数学实验J：第三版.北京：高等教育出版社，2008，37-1122杜宇.优化数学模型及LINGO软件求解J.黔西南民族师范高等专科学校学报，2008（3）：111-1143韩中庚，姜启源，陈中月.奶制品加工计划的设计模型J.

18、信息工程大学学报,2002,3（1）:40-424谢金星，薛毅.优化模型与LINDO/LINGO软件M.北京：清华大学出版社，2005.166-1905张杰.建立数学模型解决钢管下料问题M.山西建能，2009，35（35）：146-147附录一问题（1）模型目标一min=70*x1+45*x2+10*x3+20*x4+90*x5+55*x6+100*x7+65*x8+30*x9+100*x10+30*x11+290*（3*x1+2*x2+2*x3+x4+x5+x6-15）+315*（x2+2*x4+x5+3*x7+2*x8+x9-28）+350*（x3+2*x5+3*x6+x7+2*x8+3*

19、x9+5*x10-21）+455*（2*x1+2*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7+x8+x9+4*x11-30）;3*x1+2*x2+2*x3+x4+x5+x6=15;x2+2*x4+x5+3*x7+2*x8+x9=28;x3+2*x5+3*x6+x7+2*x8+3*x9+5*x10=21;2*x1+2*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7+x8+x9+4*x11=30;gin（x1）;gin（x2）;gin（x3）;gin（x4）;gin（x5）;gin（x6）;gin（x7）;gin（x8）;gin（x9）;gin（x10）;gin（x11）;最优解 Global opt

20、imal solution found. X11 0.000000 1850.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 980.0000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000目标二min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11;Global optimal solution found. X11 0.000000 1.0000001 19.00000 -1.000000附录二问题（2）模型m

21、in=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42290*r13+315*r23+350*r33+455*r43290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;290*r12+315*r22+350*r32+4

22、55*r42290*r13+315*r23+350*r33+455*r43290*r14+315*r24+350*r34+455*r44x1+x2+x3+x4=19;x1x2;x3;x3x4;r11+r21+r31+r41=5;r12+r22+r32+r42r13+r23+r33+r43r14+r24+r34+r44gin（r11）;gin（r21）;gin（r31）;gin（r41）;gin（r12）;gin（r22）;gin（r32）;gin（r42）;gin（r13）;gin（r23）;gin（r33）;gin（r43）;gin（r14）;gin（r24）;gin（r34）;gin（r44）; Local optimal solution found. 280 13285