对工业总产值的分析.docx

1、对工业总产值的分析对工业总产值的分析问题重述 摘要:随着社会的发展，对工业的投入也逐渐增加。从而使工业得到迅速的发展。某地的工业也受到影响。于是有必要对工业总产值进行研究，以下是我们对该地区工业总产值的研究。分析该地区1990年1月到1997年12月工业总产值数据，建立时间序列模型分析该地区工业总产值变化特征并且用该模型预测1997年以后该地区工业总产值。 关键字:时间 季节因子 差分 自相关与偏相关 ARIMA模型 模型假设: 某地区的工业生产总值在一段时间内保持稳步发展; 符号说明: :表示原时间序列; x:表示时间序列的一阶对数差分; ilxx:表示序列的一阶季节差分; silxilx，

2、dx,n,s:表示对序列做差分计算。 x问题重述: 下表是某地的工业总产值数据表. 年月 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1月 1421.4 1757.8 1984.2 2179.1 2903.3 2996.7 3476.6 3843.84 2月 1367.4 1485.7 1812.4 2408.7 2513.8 2740.3 2970.3 3181.26 3月 1719.7 1893.9 2274.7 2869.4 3409 3580.9 3942.6 4404.49 4月 1759.6 1969.8 2328.9 2916.7 3499.5

3、 3746.3 4067.6 4520.18 5月 1795.7 2033.7 2373.1 3022.1 3642.6 3817.9 4746.899 4638.99 6月 1848.1 2103 2515.8 3274.5 3871.4 4046.6 4417.299 4969.93 7月 1637.3 1836.3 2288 2862.9 3373 3483.9 3806.8 4146.899 8月 1637.6 1914.7 2321 2864.2 3463.4 3510.6 3746.3 4198.7 9月 1637.6 2022.2 2441.1 2908 3663.74 3703

4、.1 4011.1 4536.839 10月 1637.6 2045.1 2502.6 2911.8 3753.38 3810.7 4129.6 4783.91 11月 1637.6 2069.2 2608.8 3101.3 3973.17 4091 4372.199 5034.939 12月 1637.6 2136 2823.8 3664.3 4469.02 4650.799 4991.5 5545.74 要求:1.根据数据分析当地工业总产值的变化特征. 2.根据变化特征试建立合理的模型描绘这种特征. 3.若有季节性变化,试分离出季节性变化因子,求出季节性因子. 4.对残差进行白噪声检验.

5、5.预测1998年的工业总产值. 问题分析: 这是一个有关时间序列的问题，我们对数据分析得到数据有明显的增长趋势且改时间序列有季节性变化，于是需要利用Eviews软件对该时间序列进行差分变换后建立平稳的时间序列模型求解及预测。 模型的的建立、求解与选择: 1.时间序列特征分析: 将数据绘制成折线图，如图1所示，序列具有明显的增长趋势，并包含有周期为12个月的季节波动。即有季节因子存在。 图2是序列自相关图。由图1和图2可知，改时间序列为非平稳时间序列。因此需要对其进行调整使之变成平稳系列在进行求解。 6,0005,0004,0003,0002,0001,000947TX图1 工业生产值折线图

6、图2 序列自相关图 为消除趋势同时减少序列的波动，即使之变成平稳时间序列。对原序列做一阶对数差分。差分后序列名为ilx，其自相关与偏向关分析图如图3所示。 图3 序列ilx自相关-偏相关分析图 ILX.4.3.2.1.0-.1-.2-.3-.4-.5947图4 序列ilx折线图 由图3，图4可见，序列的趋势基本消除，但是当k=12时，由图3知，样本的自相关系数和偏相关系数显著不为0。表明季节性还存在。因此对序列ilx做季节差分，得到新序列silx。为检验模型的预测的效果，我们这将1997年的12个观测值留出，作为评价预测的精度的参照对象。建模的样本期为1990年1月至1996年12月。绘制si

7、lx自相关和偏相关分析图，如图5所示。 图5 序列silx自相关-偏相关分析图 由图5可知，序列样本自相关与偏相关系数很快落入随即区间，故序列趋势已基本消除，并且当k=12时，自相关与偏相关系数也明显减小。偏相关系数与0无显著差别。 图5中自相关系数与0有显著性差别。我们对序列做二阶差分。查分后的得到新序列ssilx。如图6所示。 图6 序列ssilx自相关-偏相关分析图 由图6可见, 序列样本自相关与偏相关系数很快落入随即区间，故序列趋势已基本消除，并且当k=12时，自相关与偏相关系数没有减小,反而增大。对序列进行二阶差分，序列季节性没有得到明显改善。故对该序列只需要做阶一差分即可。 对系列

8、silx进行0均值检验的结果如下: 得到该系列样本的平均数是m=-0.003，均值标准误差s=0.00437707563182，系列均值与0无显著性的差异，表明系列可以直接建立ARMA模型。 2.模型识别 因为经过一阶逐期差分，序列趋势消除，故d=1;经过一阶季节差分，季节性基本消除，故D=1.所以选用ARIMAM模型。取自然对术后的工业总产值序列为ilx。观察序列silx的偏相关图，如图4所示，p=2或3比较合适;自相关图显示q=1。考虑到AR模型是线性方程估计你，相对于MA和ARMA模型的非线性估计容易，参数意义也便于解释。故实际建模时用高阶AR模型替换相应的MA和ARMA模型。综上考虑，

9、可供选择的(p ,q)组合有:(2，1)，(3，0)，(3，1)，(4，0)。由于k=12时，样本的自相关和偏相关系数都不为0，所以，P=Q=1。 3.模型的建立 为了方便直接对原序列x进行预测，Eviews提供了差分算子 d(x，n，s)=(1-B)n(1-BS)x 表明序列x做n次一阶逐期差分和一次步长为s的季节差分后的新序列。采用菜单式建立ARIMA(2,1,1) (1,1,1)12模型。Eviews软件计算的结果如下:其中，sar(s)和sma(s)分别表示季节自回归部分和季节移动平均部分变量。 表1 模型参数估计与相关检验的结果 Dependent Variable: D(LOG(X

10、),1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M04 1997M12 Included observations: 69 after adjustments Convergence achieved after 29 iterations MA Backcast: 1991M03 1992M03 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) 0.132083 0.263084 0.502057 0.6174 AR(2) -0.027591 0.171315 -0.161

11、056 0.8726 SAR(12) 0.123424 0.112501 1.097092 0.2767 MA(1) -0.634183 0.230928 -2.746236 0.0078 SMA(12) -0.899465 0.035052 -25.66094 0.0000 R-squared 0.580257 Mean dependent var -0.001129 Adjusted R-squared 0.554023 S.D. dependent var 0.067145 S.E. of regression 0.044841 Akaike info criterion -3.3017

12、05 Sum squared resid 0.128683 Schwarz criterion -3.139814 Log likelihood 118.9088 Hannan-Quinn criter. -3.237477 Durbin-Watson stat 2.022334 Inverted AR Roots .84 .73+.42i .73-.42i .42-.73i .42+.73i .07+.15i .07-.15i .00+.84i -.00-.84i -.42-.73i -.42+.73i -.73-.42i -.73+.42i -.84 Inverted MA Roots .

13、99 .86+.50i .86-.50i .63 .50+.86i .50-.86i -.00-.99i -.00+.99i -.50-.86i -.50+.86i -.86+.50i -.86-.50i -.99 由表1可见，各滞后多项式的倒数根都在单位圆内，说明这个过程既是平稳的，也是可逆的。为了检验的预测效果，现在用ARIMA(2,1,1) (1,1,1)12模型对我国1997年工业总产值进行预测，预测的结果如下: 14,000Forecast: IPF1Actual: X12,000Forecast sample: 1990M01 1997M12Adjusted sample: 199

14、2M04 1997M1210,000Included observations: 69Root Mean Squared Error 295.19818,000Mean Absolute Error 221.7042Mean Abs. Percent Error 6.3753716,000Theil Inequality Coefficient 0.041483 Bias Proportion 0.505659 Variance Proportion 0.0032014,000 Covariance Proportion 0.4911402,0009961997IPF1? 2 S.E.图7 预

15、测值与真实值对比图 图7 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为6. 375371.同理可建立ARIMA(3,1,1) (1 1 1 )模型。 计算及预测的结果如下: 表2 模型参数估计与相关检验的结果 Dependent Variable: D(LOG(X),1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M05 1997M12 Included observations: 68 after adjustments Convergence achieved after 52 iterations MA Backcast: 1991M04

16、 1992M04 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.032683 0.362563 -0.090143 0.9285 AR(2) -0.111936 0.200025 -0.559610 0.5778 AR(3) -0.149563 0.164816 -0.907458 0.3677 SAR(12) 0.092274 0.116291 0.793479 0.4305 MA(1) -0.462060 0.355712 -1.298971 0.1988 SMA(12) -0.898063 0.035640 -25.

17、19800 0.0000 R-squared 0.584722 Mean dependent var -0.000914 Adjusted R-squared 0.551232 S.D. dependent var 0.067620 S.E. of regression 0.045299 Akaike info criterion -3.266967 Sum squared resid 0.127224 Schwarz criterion -3.071129 Log likelihood 117.0769 Hannan-Quinn criter. -3.189370 Durbin-Watson

18、 stat 2.028336 Inverted AR Roots .82 .71+.41i .71-.41i .41+.71i .41-.71i .22-.52i .22+.52i .00-.82i -.00+.82i -.41+.71i -.41-.71i -.47 -.71-.41i -.71+.41i -.82 Inverted MA Roots .99 .86+.50i .86-.50i .50+.86i .50-.86i .46 -.00-.99i -.00+.99i -.50-.86i -.50+.86i -.86+.50i -.86-.50i -.99 预测 14,000Fore

19、cast: IPF2Actual: X12,000Forecast sample: 1990M01 1997M12Adjusted sample: 1992M05 1997M1210,000Included observations: 68Root Mean Squared Error 285.81938,000Mean Absolute Error 214.2391Mean Abs. Percent Error 6.1754466,000Theil Inequality Coefficient 0.039830 Bias Proportion 0.426634 Variance Propor

20、tion 0.0199174,000 Covariance Proportion 0.5534502,0009961997IPF2? 2 S.E.图8 预测值与真实值对比图 用ls命令建立ARMA(4,1,0) (1 1 1 )模型。计算结果如下表: 表3 模型参数估计与相关检验的结果 Dependent Variable: D(LOG(X),1,12) Method: Least Squares Included observations: 67 after adjustments Convergence achieved after 16 iterations MA Backcast: 1

21、991M06 1992M05 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.489781 0.129874 -3.771211 0.0004 AR(2) -0.341285 0.136957 -2.491916 0.0154 AR(3) -0.306174 0.136660 -2.240414 0.0287 AR(4) -0.156441 0.126458 -1.237096 0.2208 SAR(12) 0.074175 0.117133 0.633252 0.5289 MA(12) -0.897866 0.037401

22、 -24.00618 0.0000 R-squared 0.583091 Mean dependent var -0.000732 Adjusted R-squared 0.548918 S.D. dependent var 0.068114 S.E. of regression 0.045747 Akaike info criterion -3.246091 Sum squared resid 0.127661 Schwarz criterion -3.048656 Log likelihood 114.7440 Hannan-Quinn criter. -3.167965 Durbin-W

23、atson stat 2.042395 Inverted AR Roots .81 .70+.40i .70-.40i .40-.70i .40+.70i .24+.65i .24-.65i .00+.81i -.00-.81i -.40+.70i -.40-.70i -.48-.30i -.48+.30i -.70-.40i -.70+.40i -.81 Inverted MA Roots .99 .86-.50i .86+.50i .50-.86i .50+.86i .00+.99i -.00-.99i -.50+.86i -.50-.86i -.86+.50i -.86-.50i -.9

24、9 由表3可见，各滞后多项式的倒数根都在单位圆内，说明这个过程既是平稳的，也是可逆的。为了检验的预测效果，现在用ARIMA(4,1,0) (1,1,1)12模型对我国1997年工业总产值进行预测，预测的结果如下: 10,000Forecast: IPF29,000Actual: XForecast sample: 1990M01 1997M128,000Adjusted sample: 1992M06 1997M12Included observations: 677,000Root Mean Squared Error 271.08386,000Mean Absolute Error 213

25、.1179Mean Abs. Percent Error 6.0309945,000Theil Inequality Coefficient 0.037285 Bias Proportion 0.2353384,000 Variance Proportion 0.0862423,000 Covariance Proportion 0.6784202,0001,519961997IPF2? 2 S.E.图9 预测值与真实值对比图 图9 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为6.030994.同理。我们建立ARIMA(3,1,0) (1,1,1)12模型并对其进行预测。 Dependent Va

26、riable: D(LOG(X),1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M05 1997M12 Included observations: 68 after adjustments Convergence achieved after 16 iterations MA Backcast: 1991M05 1992M04 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.464949 0.126085 -3.687597 0.0005 AR(2) -0.28398

27、7 0.132992 -2.135366 0.0366 AR(3) -0.221553 0.123615 -1.792280 0.0779 SAR(12) 0.117548 0.117145 1.003439 0.3195 MA(12) -0.893729 0.037936 -23.55881 0.0000 R-squared 0.571049 Mean dependent var -0.000914 Adjusted R-squared 0.543814 S.D. dependent var 0.067620 S.E. of regression 0.045672 Akaike info c

28、riterion -3.263985 Sum squared resid 0.131413 Schwarz criterion -3.100785 Log likelihood 115.9755 Hannan-Quinn criter. -3.199320 Durbin-Watson stat 2.101170 Inverted AR Roots .84 .72+.42i .72-.42i .42-.72i .42+.72i .07+.60i .07-.60i .00-.84i -.00+.84i -.42+.72i -.42-.72i -.60 -.72-.42i -.72+.42i -.8

29、4 Inverted MA Roots .99 .86+.50i .86-.50i .50-.86i .50+.86i .00-.99i -.00+.99i -.50-.86i -.50+.86i -.86-.50i -.86+.50i -.99 计算的结果显示ARIMA(2,1,1) (1,1,1)12模型拟合的结果明显不如其他三个模型，故不予考虑。我们利用ARIMA(3,1,0) (1,1,1)12模型进行预测。结果如下: 12,000Forecast: IPF3Actual: X10,000Forecast sample: 1990M01 1997M12Adjusted sample:

30、1992M05 1997M12Included observations: 688,000Root Mean Squared Error 262.5558Mean Absolute Error 213.06066,000Mean Abs. Percent Error 5.901871Theil Inequality Coefficient 0.035967 Bias Proportion 0.0804724,000 Variance Proportion 0.152666 Covariance Proportion 0.7668622,0009961997IPF3? 2 S.E.图10 预测值

31、与真实值对比图 图10 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为5.90187. 4.模型的选择 三个模型的参数估计和相关检验汇总列入表4和表5. 表4 各种模型的参数估计 ,(p,q) 1112341-0.327 -0.1119 -0.1420 _ 0.0923 -0.4621 -0.8981 () 3,1-0.4898 -0.3413 -0.3062 -0.1564 _ 0.0742 -0.8979 () 4,0-0.4649 -0.2840 -0.2216 _ _ 0.1175 0.8937 () 3,0表5 各模型检验的结果 2AIC SC MAPE () p,q AdjustedR0.5540 -3.3 -3.07 6.18 () 3,10.5489 -3.25 -3.05 6.03 () 4,00.5438 -3.3 -3.1 5.90 () 3,0经计算，三个模型都满足平稳条件和可逆条件，模型设定合理。比较表5中各模型检验的结果。与俩个模型相比，第三个模型的AIC和SC值较小，预测的MAPE值显示其预测的精度最高。(MAPE的取值范围在0-5之间精度极高，在10以内说明预测精度高)。虽然调整后的样本决定系数略小于前两个模型，胆预测模型的选择应力求简洁、有效，因而选择第三个模型即ARIMA(3,1,0) (1,1,1)12模型比较合适。 模型的检验: