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1、同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动习题答案同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动习题答案10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突 加荷载？10-3什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的动力自由度?10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标?10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。(a)mi m2_ 八一(b)分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度

2、(c)(d)在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 m，B处有一弹性支座（刚度系数为 k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。q(t)CEl= 3 m21 3解：1)刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量 m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为ml a取A点隔离体，A结点力矩为:Mi=-m a

3、 I 2l2 3=mal由动力荷载引起的力矩为： -q | ?| =-q |22%) 3 3*)由弹性恢复力所引起的弯矩为：頁 cal2根据A结点力矩平衡条件 M M p M $ =0可得:3map 哼 Fs1斗整理得:. ka 3ca ma 3I I2)力法:。根据几何关系，虚功方程解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移为:-q. fa -lotk -Ig-Io( Vote-3 t 3 3则同样有:ka 3ca ma3I I10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 m，A处转动弹簧铰的刚度系数为 ke，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为 c,试建立体系自

4、由振动时的运动方程。解:取DF隔离体，a M F =0 :2a 2 3 2R 2a mx - dx ka -d03二 R =2ma ka:4取AE隔离体：v MA =0k/ 亠mx2 ： dx ca2 二打4ka2鳥：3Ra =0将R代入，整理得:3 . 25 2R =15ma ka “k-; =010-10试建立图示各体系的运动方程。(a)M(t)El解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方 向与运动方向相反。（2）画出Mp和M1图（在B点处作用一附加约束）(3)列出刚度法方程kii3EIRipI -M24 一代入Rip、kii的值，整理得:

5、Mi图M 2图试用柔度法解题此体系自由度为1。设质量集中处的竖向位移 y为坐标。y是由动力荷载Fp口惯性力矩Mi共同引起的y = tim 1 -i2F p（t）由图乘法:Ti丄I22EI3EIi2_ I /2_6EI348EI惯性力矩为 -m y II3 . 5I3y_3EI _myI 48EI Fpt经整理得，体系运动方程为：my.3EII3pt。io-ii试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。(a)| 0 ?El=常数 Ar2a a - a - 解：5a3M i图1 1 a 2 a 2图乘得：f11 2 a 2 2a a a _El J 2 2 3 2 3 6EI6EI5ma3(b

6、)eii=3厂l - 2 “解：此体系为静定结构，内力容易求得。在集中质量处施加垂直力 P,使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为由此根据弯矩平衡可求得 P = 4 k。923(c)ElEAi= 3応 2EI解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。上简支梁柔度系数为；E：l36EI下简支梁柔度系数为丨396EI于是两者并联的柔度系数为并l36EI 96EI102EIl3解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。水平支杆中力为30EI，即6 =啤3l3 13l330EI_ 13ml3(e)忽略水平位移解:(f)mI - 4a H- 4a212ii1 3a

7、二27a2EA解:13,23 ,16 2 13,0.014974 l3lll21933219 3 64丿 El丄 2i 1i 2 Ai AiEI 32 2 3 32 32=8.172, m;10-12为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？10-13试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相 比如何？10-14什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小?10-15设已测得某单自由度结构在振动 比E。10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼

8、解： 丄 | l n11188=0.04752n二 yk n 20二 0.0610-16设有阻尼比E = 0.2的单自由度结构受简谐荷载 Fp(t)= Fsindt作用，且有v-0.75，。若阻尼比降低至E = 0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？解:已知 从 0.2 降低至 0.02. V - 0.75 ，F1 F sint，A 不变。F1F2F0.827F1* 4 0.02p.916F简谐荷载的幅值应调整到 0.827F。10-17试说明动力系数的含义及其影响因素。单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力 系数是否相同？10-18什么是共振现象，如何防止结

9、构发生共振？10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，(a)El并绘制最大动力弯矩图。设Fsin FB点引起I3位移。3EI解：由力法可知，单位荷载作用在1 二刖曲碁引心即幅值为FI33EI当幅值最大时，弯矩也最大。(b)解:FlMmax 图Fsin Fl l 一22BM 1图(1)求结构运动方程如所示弯矩图，图乘后,11l324EIf22 _ 3EI , f12 - f215l348EI=f11FI f12F sin A = fu -myf12Fsin 戈ytC24EI 5F .-y ry si nml 2m24EImr稳态解:5Fl3=2_

10、24EIsin vt1 ，1 2 osin vt145FI336eisin我所示结构的运动方程为C点最大动位移幅值为5Fl3 a yt C = si nt 36EI5Fl336EI(2)求B点的动位移反应ytBf22Psin 我二 f21 -myt bf22Psin 我ytBP2 m- sin vt1 2oytBP2 m-sin vt 孑2GO-f 、 1*日2 1+ Pf22y(B 二f21P 1，：I 02 )iny( C = 36EI5Fs in-5I3 548EI 21l3 + P sinOt3EIPl3253EI32兰，2sinOtf1 2322Q21 一二 .国丿121 4sin我

11、128 3l3 冲 in我 288EI7 -2Pl33EIPl33EI -121P1sin Tt121PI3B点的动位移幅值为288EI(3)绘制最大动力弯矩图Mi图121PI3 3EI 5PI3 12EIM A max 2288EI I 36EI I竺Pl96M最大动力弯矩图设杆件为无限刚性，弹10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。 簧的刚度系数为k。解:m2iHiiiiiiHiminlEl= al9ql。8B点处顺时针方向转角二为坐标。若qt为静力荷载，弹簧中反力为已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为 建立动力方程：31. I 3I m3 21 ,

12、m I k：I ：I q xdx22 2 3 2 0.2 2 2 9 2 9-m - I2 k： 2I2 - ： q 丨2= m： k q8 8护1 9则弹簧支座的最大动反力为 2 I。1日2 81 2O10-21设图a所示排架在横梁处受图 b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。 已知El=6X 106N m2，t1 = 0.1s, FP0= 8 X 104n。(a)解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。 可将排架柱视为三个并联的弹簧。边柱刚度柔数 心=k3二洱 中柱k2 = 卑h h, 12EIk并 h_ k _ 12 6 106N m2m . 63 m3 80

13、00 102 N= 0.645rad /s2兀T 9.73sco数值很小右 _ o.1 _ 1T - 9.73 一 97.3所以认为当Fpt作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：15 1 4m vt1 FX= 8 10 vt1 8 10 0.122=vt1 =5 10 m / s再根据势能守恒得：122 1 5 _3 2 1 1 6 2-mV =kymax=汇8汇10 江(5汉10 ) =-X-X10 X yst2 2 2 2 3= yst = 0.0077m1 6Fq中=yst k中=0.0077 10 -1283N61Fq 边=Fq 中=642N(b)10-2

14、2设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图 b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。第一阶段(0 _t )：iyt百 _ Fpo m-toFpoz Sin，t -Z dZ t zsin t -Z dZotim ti cysj.1 si门銚 =ys +ji JZT tit1|si n2 兀I-2兀荷丿IT 丿 tiTsi n2兀ft、 12ti ti求T的过程。因为不受外力作用，所以横梁以 ti时刻的位移和速度为初始值做自由振动。(b)10-23设题10-22图a所示刚架 m= 4000kg, h = 4m,刚架作水平自

15、由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率 y0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的 5%，试求刚架柱子的弯曲刚度 EI至少为何值。解：(1)求周期数。0.05y。=ye、n = n 二005 =300.1(2)求 k: tn= 1421.223 103N/m(2 汉 3.14159 汉 30丫4.0 汉 103102两柱并联2EI12h36 2EI =3.79 10 N m试问简谐荷载频率二分10-24设某单自由度体系在简谐荷载 Fp(t)= F sin氓作用下作有阻尼强迫振动,别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大?yt 二 Asin 说解：在简谐荷载Fp(t)= Fsi

16、nF作用下，稳态位移响应可表示为其中:A 二 2m_1a =ta n12“1 - 2 J4-：(1)使动位移最大，即使 最大，从而得出e2 1一二 . J4 2苇最小。-J2 CO2_ 4 2兰-，2 -，2(2) yt - vAcos(才-：)设g 丁 =2 12CO(日2 I 芦2 “J 1 -飞 +4- r GO J 如果使速度响应最大，则 g r最大，设g r二r1显然要求g1 最小。使：g =2(3) yt - -，Asin(rt -：)02、2閃2 J42-1JU 二2显然要求hi -I最小。则01二丄-上=0解的：二二 - 10-2510-26结构自振频率的个数取决于何种因素？求

17、解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题? 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)解:(1)2_Mi图lI311 -121.121 丄 2 丄2 3 2 2 2 2 3 24EIElf 22 =2 1 I2312 I II r 5I3丨二 f22 :23 2 2 2 12EI(2)振型方程A 0 A2 = 01 m 4EI5|3 1令二123EI2，频率方程为:ml国10- -3 10 =01 =10,2 =3= 1.095=212EI10ml312EI23ml3(3)振型图如下体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得:111EI2 1 21 31 2l2

18、l3_2. 1 . 2 l33 3EI“Et1121 212l3I = 26EIEI 121r 2I 2 1 2123 2 6EI得振型方程:1.2 I33EI令12COmm1 A 鲁 m0、.2I36EIml32.414 - 0.707D =0.7070.707-X2.414 -2.773, 2 -3EI3mI 2.6675=1.060 m;(c)A110.707EIm1= mm2= mEI解:AI2A-1 -图IVI1(1)fiil33EI 13l322 _ 12EI，12 = f21(2 )振型方程2.4142 0.3580.7075l312EIA =03EIm A, +2 om【2m

19、一l3m -A =012EI令 旷p，频率方程为:ml 4- - 513-0,15.227ml3 = 0.888Y 1.773ml3 = 2.602(3 )当=15.227 时，设 A, = 1 =/. 1 - 8A21 二 0.722710-17， 52 -25 =0 = 15.227, 2 =1.77312EI12EI当，- 2 =1.773时，设 A|2 =1= A22 = 2 * - -0.622710绘出振型图如下:0.6227第二振型(d)mEI12EIaaEI 1= 3k2= 3a解:1Mi图1/k1 /k22 2 48 El二-2148 Ell/匕/k2/2a= 1 a、2 2

20、 .丿226 El1 +221 / k1 1 / k2 二2311 a48 El频率方程为:12 m2f2imf22m2 - 21 3取 m! =ma,m2 ma 代入整理得:344 2 48EIa40a =0其中 严丐3 3 2a m =11.045a,、2 =3.625a二 Z481 - =2.085 P 11.045a4m4_a m；48El f El2 4 3.639 _4-_*3.625a4m a4m振型方程为：IY11maA +&2m2 A =0将们=们,Ai =1 (i =1,2 )代入(a)式中的第一个方程中，得:1 .2 、11m 1、12叫4 ma12 - 11m12詁 1

21、2 mm绘出振型图如下:4 ma0.2301 0.2292El El 0.135a 13ma48El 343.625T1 ma48 El -22.1251 一 3ma48El 30.13522.125第二振型厂El=常数解:11(1)I3(2 )振型方程I36EI了 I3m - fEI 4m -2EI4m A3 =0A =0令莘ml - 频率方程为:3216- 11228216- A=1 =231.8, 2 =1.936, 3 =0.2317= Oi=0.161j_EIQ2=1.760maE,越=5.08ma曰 ma1 、1 、-o :3.469a2 = 1.390a； = -0.687640

22、 0.2190052 10-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)mi= mEll= 3Elm2= 2mElElEl 1 = 3El解:6EI6EI24ElM 2图k12k11, 48EIk22 l2-y - 24-24 48 -2y24=022m - lEl1-0.707y =7.029, y2 =40.971亍;二1 二2.651. 3 ,二；2 二6.401 ml3A； JM 0.707振型图如下：(b)，裁；0.707第一振型J 0.7070.707a 770.70第二振型解:kii = k22振型方程:Fi图EA EA 22l 2 2l2 2EAEA2l4l4+V

23、24l2EA co m A +2EA4lA2 =04lA 4 2 EA 2m4l=0F2图= - i叫=.306JAf),AO=f j(c)耳一一 1 m k mM i图作岀附加连杆移动单位位移的弯矩图k114EIk12EI3il1 2列岀频率方程:k224EI6 mcok12一叫解得:3EI3ml5EI3ml结构自振频率分别为：卜嚅=1求第一振型：令 A11 =1得A21 求第二振型：令 A12 =1得A,2 结构的振型向量形式为：(d)解:llEIlEI1=3i21讥1M1图k12 - k21 =0，k1115i2l28i列振型方程：（*15一y）A 一0 气 16_y 介=0其中第二振型2ml3列频率方程并求解:66y-51 O1=1D讨i 二 15, y 16二求振型 将y =15, A1 =1代入方程组（*）中得：A?! =0 , 将y2 =16,2 =1代入方程组（*）中得：宀2 =0 ,振型图如下：第一振型 第二振型10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（ 10-66 ）和（10-71 ）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求？10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的 动内力幅值。10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移 yB（max），