概率论中几种概率模型方法总结.pdf

1、科技信息2 0 0 8年第1 1期S C I E N C E&T E C H N O L O G YI N F O R MA T I O N概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.古典概型是各类概率模型中最基本的一种,在实际问题中经常会遇到,因此它历来是概率论教学中的重点部分,是学习概率统计的基础.几何概型从某种意义上说是古典概型的补充和推广,在很多实际问题中,实验的一切结果是无限个,这时古典概型就不再适用了.这三种概型各有各的定义、条件、计算方法及应用范围.1.三种概型的基本思想1.1古典概型古典概型是最简单的随机试验模型,也是很多概率计算的基础.如果一个随机试验满足下述

2、两个条件:(1)它的基本事件空间只有有限个基本事件;(2)每个基本事件出现的可能性相等,则称这种随机试验为古典随机试验,即古典概型.1.2几何概型几何概型就是将古典概型中的有限样本空间推广到无限样本空间,保留等可能性,因此几何概型也具有以下两个条件:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.3贝努里概型贝努里概型也就是n次独立重复试验,是独立试验的一个特例.如果一个随机试验满足下述两个条件:(1)在一组固定不变的条件下重复地(

3、n次)做一种试验,每次试验的结果只有两个:即事件A发生或不发生.(2)n次试验是独立的,那么这种试验称为n次独立重复试验,即贝努里概型.2.三种概率模型的概率计算2.1古典概型概率的定义定义1设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)定义为P(A)=m(A包含的样本点数)n(样本空间中样本点总数)用上面公式可以求古典概型的事件概率,在计算中的方法我们可以按如下步骤:(1)分析具体问题,确定样本空间;(2)确定样本空间所含的基本事件总数n;(3)确定事件A所包含的基本事件数m;(4)由P(A)=mn得结果.例1一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数

4、的概率.解法1设A表示“出现点数之和为奇数”,用(i,j)记“第一颗骰子出现i点,第二颗骰子出现j点”,i,j=1,2,6.显然出现的3 6个基本事件组成等可能样本空间,其中A包含的基本事件个数为k=3 3+3 3=1 8,故P(A)=1/2.解法2若把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等可能样本空间.基本事件总数n=4,A包含的基本事件个数k=2,故P(A)=1/2.解法3若把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数,点数和为偶数,也组成等可能样本空间,基本事件总数n=2,A所含基本事件数为1,故P(A)=1/2.注:找出的基本事件组构成

5、的样本空间,必须是等可能的.解法2中倘若解为:(两个奇),(一奇一偶),(两个偶)当作基本事件组成样本空间,则得出P(A)=1/3.错的原因就是它不是等可能的.例如:P(两个奇)=1/4,而P(一奇一偶)=1/2.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答.2.1.1分房模型分房模型也叫做小球入盒问题,它包括生日问题、分房问题、投球问题、抽球问题、排队问题、照像问题、性别问题、旅客下站问题等的应用.例2 3(生日问题)某班级有n个人(n 3 6 5),问至少有两个人的生日在同一天的概率是多少?(一年按3 6 5天记).解:基本事件总数为3 6 5n,有利事件A=n个人中至少有两个人生日相同

6、若从正面考虑,这是一个比较复杂的事件,要从两个人生日相同算到n个人生日全相同.我们可以从反面去计算它的逆事件:A=n个人生日全不相同,易得P(A)=1-(C3 6 5nn!)3 6 5n.最后,由互逆事件的概率关系得:P(A)=1-(C3 6 5nn!)3 6 5n.例3(球盒问题)将3个相同的球放入5个盒子中,每个球放入每一盒中,且限定每盒最多只放入一球,求(1)指定的某盒是空的概率?(2)指定的3个盒子各有1个球的概率?解:设A=指定的某盒是空的,B=指定的3个盒子中各有1个球基本事件总数n=C53=1 0,A所含基本事件数m1=C43=4,B所含基本事件数m2=C33=1.故P(A)=m

7、1n=41 0=0.4,P(B)=m2n=11 0=0.6.2.1.2随机取数模型随机取数模型分为有放回随机取数和不放回随机取数.它的应用包括电话号码问题、重复取数问题、不重复取数问题、限定条件取数问题、指定取数问题等.例4电话号码是由7位数字组成,每个数字可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个数字,但要求0不能做首位,求下列事件的概率.(1)A=电话号码是由完全不同的数字组成;(2)B=电话号码是2*5*0 3;(3)C=电话号码是偶数.解:由题意知,电话号码中的数字是可以重复的.因为0不能做首位只能是剩下的9个数字中的任意一个,有9种取法,其它6个号码则是1 0个数字的重

8、复排列.由乘法原理知:结果总数为:9 1 06.(1)事件A中,首位号码的取法有9种,其余6位号码的取法是:去掉首位占用的数字,剩下的9个数字的选排列.排列总数为:9 A96.所以P(B)=9 A969 1 060.0 6 0 4 8.(2)在事件B中,剩下的三个位置是1 0个数字的重复排列,结果总数为:1 03.所以P(B)=1 039 1 060.0 0 0 1 1(3)首位号码的取法有9种,要保证电话号码是偶数,则末位号码必须是数字0、2、4、6、8中的一个,取法有5种.中间的5个数字则是1 0个数字的重复排列,排列总数为:1 05.所以C事件的结果总数为:9 1 05 5.所以P(C)

9、=9 1 05 59 1 06=0.5.2.2几何概型的应用几何概型形象直观,在解决几何概型问题时,我们经常要通过画图来辅助我们解题.我们可以直观地把几何概概率论中几种概率模型方法总结徐寅生(许昌学院数学科学学院河南许昌4 6 1 0 0 0)【摘要】概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结.【关键词】概率模型方法;概率论;概率计算高校讲坛1 6 2科技信息2 0 0 8年第1 1期S C I E N C E&T E C H N O L O G YI N F O R MA T I O N(上接第1 0 0页)4 5个泄水管,将水流引到

10、护壁井内坑底,以防止护壁四周砂砾被掏空,出现沉陷,在挖到下层时,用木楔和水泥粘土堵死泄水孔。(2)淤泥质粘土层的施工在6 0 8 0 c m高的工具式弧形钢模内侧,焊上竖向钢筋,用铁锤锤击钢筋头,将其略向井中心倾斜打入淤泥层,形成钢护筒,边打边开挖,开挖3 0 5 0 c m时,再用工具式弧形钢模在孔内拼装成护壁内模,按现浇砼护壁方式护壁,待护壁砼凝固拆模后,拔出钢护筒,如此返复,直到穿过淤泥层。(3)弱风化岩层的施工挖孔进入弱风化岩层3 0 c m左右,是护壁的最后一节,此节护壁,在其模板四周接缝处,留有3 6个泄水管,通过泄水管排出孔壁外的渗水,以防止护壁外形成高压水,破坏护壁。再往下可根

11、据岩层及渗水情况选择是否需要护壁。3.4.2终孔检查挖孔达到设计标高后,进行孔底检查,必须做到平整,无松碴、污泥及沉淀等软层,嵌岩桩入岩深度应符合设计要求。在开挖过程中,经常检查了解地质情况,倘与设计资料不符,及时提出变更设计申请。3.4.3钢筋骨架制作与安装根据施工条件,该桥挖孔灌注桩钢筋骨架的制作方式是在孔外加工制作,主筋采用机械接头,用汽吊吊入孔内就位。钢筋笼太长时采用分节加工,在孔口处连接,分次吊装就位。3.4.4灌注砼根据桩孔内的渗水情况,山谷内的4 0根桩,采用了水下灌注法施工;于半山坡上的4 6根基桩,采用了干灌法施工,砼用搅拌运输车运到现场,再经孔内串筒到孔底,为保证砼的密实,

12、使用人工振捣方式捣实,砼水灰比为0.5 5,砂率3 8%,每方砼的P.0 4 2.5水泥用量为3 9 4 k g。成桩后,经超声波检测法检查,该桥基桩均为类桩。综上所述,人工挖孔桩在山区高速公路建设中具有明显的优势:施工方便、进度快、质量易保证;植被破坏小,有利于环境保护和水土保持,降低环保水保的投入;只要安全措施充分,施工安全也是有保证的。因此,在山区高速公路桥梁基桩施工中,人工挖孔桩是首选方案。责任编辑:张新雷科科(上接第1 5 9页)晚宴,使外教有回家般的温暖。四、结语外籍教师人力资源管理工作是合作办学项目的一项长期任务,其原则性强,涉及面广,情况复杂,要求相关工作者予以重视并不断总结经

13、验,完善制度,从而不断提高外教的聘用效益,推动合作办学项目的长足发展,更好地为现代化教育事业服务,为社会主义现代化建设服务。【参考文献】1 林浩,加强外教管理 提高聘用效益 J 华南热带农业大学学.2李秀云,王向荣,高校外籍教师聘请与管理问题探讨 J 基础医学教育2 0 0 0,2(2).3 许志伟,高校中外合作办学管理模式探析 J 沈阳师范大学学报2 0 0 6,5(3 0)P 1.4 严卫红,论外籍教师管理中的人本管理 J 北京教育(高教版)2 0 0 5,1 1P.3 5.5 中华人民共和国国务院,中华人民共和国中外合作办学条例2 0 0 3报2 0 0 5,1 1(3).作者简介:刘薛

14、,工作单位:辽宁师范大学国际商学院,硕士研究生。责任编辑:汤静科型分成三类,分别是“与数相关的几何概型”、“与时间相关的几何概型”、“与形相关的几何概型”.2.3贝努里概型的应用在贝努里概型中仅有两个可能发生和不发生,可设为A与A,令P(A)=p,P(A)=q,且p+q=1,可把贝努里概型中事件的概率分为三种类型:n重贝努里试验中事件发生k次,n重贝努里试验中至少发生一次,n重贝努里试验直到第k次才发生.2.3.1“n重贝努里试验中事件发生k次”它的应用有病人治愈问题、比赛的公平性及取胜的问题、打靶比赛、做题及格率、机器正常工作问题等.关于求“n重贝努里试验中事件发生k次”的概率,则有Pn(k

15、)=Cnkpk(1-p)n-k=Cnkpkqn-k(k=0,1,2,n)例5金工车间有1 0台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为1 0千瓦,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动1 2分钟,且开动与否是相互独立的,现因当地电力供应紧张,供电部门只提供5 0千瓦的电力给这1 0台机床,问这1 0台机床能够正常工作的概率为多大?解:5 0千瓦电力可同时供给5台机床开动,因而1 0台机床中同时开动台数不超过5台时都可以正常工作。而每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况,且开动的概率为1 26 0=15,“不开动”的概率为45.设1 0台机床中正在开动着的机床台数为则P(=k)=C1 0k(1

16、5)k(45)1 0-k,0 k 1 0.于是同时开动着的机床台数不超过5台的概率为P(5)=5k=0#Cnk(15)k(45)1 0-k0.9 9 4.由此可见这1 0台机床能正常工作的概率为0.9 9 4.2.3.2“n重贝努里试验中至少发生一次”它的应用包括投球命中率、灯泡坏掉问题等.关于求“n重贝努里试验中至少发生一次”的概率.“n次试验中至少发生一次”,它的对立事件是“n次试验全部没有发生”.由Pn(0)=Cn0p0qn=qn根据相互对立事件的概率之和为1,可得P 至少发生一次=1-qn,同理P 至少不发生一次=1-pn.例6一个学生在罚球线投篮的命中率为0.2,问:(1)该生独立进

17、行2 5次投篮恰有1 0次命中的概率是多少?(2)至少有1次命中的概率是多少?解:设A=投篮命中,则P(A)=p=0.2,A=投篮不命中,则P(A)=q=0.8.(1)依题意,n=2 5,k=1 0,由公式有P2 5(1 0)=C2 51 0 0.21 0 0.81 50.1 8(2)2 5次投篮恰至少命中一次的概率设为p,则得P=1-(0.8)2 5=0.9 9 6 2.3.3.3“n重贝努里试验直到第k次才发生”它的应用有中靶问题、开门问题.关于求“n重贝努里试验直到第k次才发生”的概率.那么它有k-1次不发生,因此概率是P 直到第k次才发生=P(A1A2Ak-1Ak=P(A1)P(A2)

18、P(Ak-1)P(Ak)=qk-1p.例7某人有一串m把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门,有一天该人酒醉后回家,下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门,问该人在第k次才把门打开的概率多大?解:因为每把钥匙试用后不做记号又放回,所以每把被选中的概率为1m,由独立性得P(第k次才把门打开)=1m(1-1m)k-1.3.总结概率模型在现实生活中应用很广泛,它能使很多复杂的问题迎刃而解.本文中重点论述了三种常用的概型:古典概型、几何概型、贝努里概型.通过对它们基本思想、概率计算及应用的深入研究,可以区分这些模型.贝努里概型概率的计算要注意n次中发生和不发生的问题.在这三种概型外还有很多概率模型,由于篇幅问题没有作深入研究,而在以后的现实生活中和实际应用中我们会更加了解多种多样的概率模型.责任编辑:张新雷高校讲坛1 6 3