鲁棒控制-3-H无穷控制理论.pdf

1、鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 第三章 第三章 H 无穷控制理论无穷控制理论 3.1 3.1 H问题的提出 问题的提出（1）干扰抑制问题 考虑下图所示系统的干扰抑制问题。()()()11ydyP s K sdTs d=+=设()()0sind tAt=，当闭环系统内稳定时，()()()00siny tYtt=+其中()0ydYTjA=,()0,tt。可见()0ydTjY小小 当d的频率成分很宽时，则要求：()supminydTj 当d的频率成分分布在某一频带内时，则要求：()()1supminydWjTj 其中：1W 称为加权。问题：求K使闭环系统内稳定，且 1minydKWT 即

2、 1minydKPWT内镇定 -H最优问题 PKdy鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生（2）稳定裕度问题 假设闭环系统稳定，定义：()()()inf1P jKj=()()inf 1P jKj=+若P和K均为真的，其一为严格真的，则 01 若以开环系统的 Nyquist 曲线到点()1,0j的距离为稳定裕度，则为得到最大的稳定裕度，应使最大，这等价于：()()1supmin1P jKj+即 1min1PK+问题：求K使系统内稳定，且 1min1KPK+-H最优问题 （3）频域鲁棒镇定问题 0,P PP=+G稳定，且()(),jr jR 其中：0P为标称对象；()r s是已知的稳定的实有理

3、函数。鲁棒镇定：K镇定G，即对,PK G使闭环系统内稳定。PK0PK+鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 设K镇定标称对象0P，则：()()()101K sP s K s+RH 由 Nyquist 判据或小增益定理知，对于摄动后受控对象0PP=+，闭环系统内稳定的充分条件是：()()()()1011,jKjPjKj+R 那么，K内镇定G中任意P的充分条件是：()()()()1011,r jKjPjKj+R 等价于 ()()()()10sup11r jKjPjKj+R 问题：求K使标称系统内稳定，且：()()()()1011r s K sP s K s+-H次优问题 说明：1）上述条件也

4、是必要的；2）可对应有 MIMO 系统的结果：1I；3）()s可以是不稳定的，只要()0P s和()P s具有相同数目的不稳定极点。（4）时域鲁棒稳定问题 对于系统()()()000 x tABCx t=+?该系统鲁棒稳定 iff 0A稳定，且()11000CsIAB 即()10001CsIAB （5）状态反馈鲁棒镇定问题()101KP K+鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 考虑不确定系统()()()x tAx tBu t=+?其中：0AAA=+；0BBB=+12ABDEED E=TI 问题：求状态反馈,.uKxst=()()112001EE KsIAB KD+-H次优问题 （6）跟

5、踪问题 12uC rC y=+考虑控制性能指标：222minminryryuu+=即 ()2220minryudt+令 ryzu=则 1212111zrC PC PzrT rC PC P=性能指标等价为：220minminTz zdtz=设 22,1rr rWd dd=H P2C+1Cru y鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 问题：求1C和2C使系统内稳定，且：1222122,1,minsupminzrC Cd HdzrC CPzzT WdT W=内稳 -H最优问题（7）混合灵敏度控制问题 令 ()()11SP s K s=+称S为灵敏度函数。则干扰抑制问题为：求K，镇定标称受控对象

6、P，且使得 1minKPW S内镇定 若要求干扰对输出的影响达到一定水平之下即可，则可适当选取加权1W，将干扰抑制问题描述为：求K，镇定标称受控对象P，且使得 11W S 考虑乘性摄动 ()1PP=+其中稳定，且()()2,jWjR。则闭环系统鲁棒稳定的充分必要条件为：K镇定标称受控对象P，且使得 21W T 其中()()()()11TP s K sP s K s=+，称T补灵敏度函数。若综合考虑干扰抑制问题和鲁棒镇定问题，则可考虑混合灵敏度控制问题：设计控制器K，其镇定标称受控对象P，且使得 121W SW T PKdy鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 3.2 标准标准H控制问题控

7、制问题 考虑图所示反馈控制系统。11122122GGzwwGGGyuu =()()111122221,lzwzGG K IG KGwF G K wT w=+=其中G称为广义受控对象；(),lF G K为关于G和K的（下）线性分式变换(LFT)，定义为()()111122221,lF G KGG K IG KG=+H控制的标准问题：求一真实有理控制器K,使得闭环系统为内稳定，且使得zwT的H范数极小，即 minzwTK内稳G -H最优控制 或使得闭环系统内稳定，且使得 zwT -H次优控制 其中是一给定正实数。1、干扰抑制问题 标准问题 (),lF G K GKzuyPKdyP KzuydyG鲁

8、棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 ()1min1KPK+内稳P zdPuydPuukywd=11zPwyPu =()()()111111zwTP KP KPK=+=+问题：()1minmin1zwKGKPTPK=+内稳内稳 2、鲁棒镇定问题 标准问题 求K,内稳0P,且()1011rKP K+0PK+()()jr j或0P K zu yGrG 鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 001rzwPyu =()1001zwTrKP K=+问题：求,K使G内稳定，且1zwT。3、跟踪问题 标准问题 求12,C C，使得系统内稳定，且 121211min1C PC PWCPC P ()(

9、)112121211212111122221111011000010C PC PWPWCPCWCC PWPWCCCCPGGKIGKG=+=+=+令 000ryWPuIzGyuurWyP =问题：minzKGT内稳 P2C+1CruyG鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 4、混合灵敏度控制问题 标准问题 121W SW T，求一常数矩阵F，使得状态反馈 uFx=，满足如下条件（称之为SF条件）：2AB F+为渐近稳定阵且zT 其中()()()11122111zTsCD FsIAB FBD=+设()()121rank Dip=，U和是满足下式的任意矩阵：1212,rankrankpii m

10、DUUUi=RR 选择矩阵()22mimF R使其满足 0,TTFFFI =当2im=时，即12D为列满秩时，令 0F=。当120D=时，令,0FFI H=。设21111TD DI，定义:()1211111111TTRIDID DD=+()()()111TTTTFHU RU=()1211111111TTFAABID DD C=+()122111111112TTFBBBID DD D=+()1122111111111TTFCIDID DDC=+()12211111TFDBID D=鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 ()11221111111112TTFFIDID DDD=+定理：对于满

11、足假设()1A的系统()*,满足SF条件的状态反馈矩阵F存在的充要条件是：（1）21111TD DI和正定矩阵Q，使得 Riccati 代数方程：()()TTTTFFFFFFFFFFFFAB H F CPP AB H F CPD D P+()10TTTTTFFFFFFFFFFFFPB H B PPBB PCIF H FCQ+=存在正定解P。若上述条件成立，则如下F满足SF条件：12TTTFFFFFFFFHB PH F C=+假设()2A：1112112120,0,TTDD CD DI=。定理：对于满足假设()()12AA、的系统()*，使SF条件成立的F存在的充分必要条件是：存在0Q，使得代数

12、 Riccati 方程：21122110TTTTA PPAPB B PPB B PC CQ+=存在正定解P。若上述条件成立，则如下F满足SF条件：2TFB P=对假设()2A的解释：2211222zC xD u=+()()1121120TTTTx Cu DC xD u dt=+()1112121211120TTTTTTTTx C C xu D D uu D C xx C D u dt=+()110TTTx C C xu u dt=+假设()3A：11120,0DD=定理：对于满足假设()()13AA、的系统()*，使SF条件成立的F存在的充分必要条件是：存在正数0和矩阵0Q，使得 Riccat

13、i 代数方程：211221110TTTTA PPAPB B PPB B PC CQ+=鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 存在正定解P。当上述和Q存在时，若令 212TFB P=则SF条件成立。证明：令uFx=，由假设()3A，有()211xAB F xBzC x=+=?因此()()1121zTsCsIAB FB=欲证2AB F+为稳定矩阵且()()()()111211212TzzTs TsCsIAB FBCsIAB FBI=由 Riccati 代数方程：211221110TTTTA PPAPB B PPB B PC CQ+=22222111111022TTTTTAB B PPP AB

14、 B PPB B PC CQ+=()()22211110TTTAB FPP AB FPB B PC CQ+=()()2221111TTTsIAB FPP sIAB FPB B PQC C+=()()()()()()()()112112112121121112211121121TTTTTTTTTTTB P sIAB FBBsIAB FPBBsIAB FPB B P sIAB FBBsIAB FQ sIAB FBBsIAB FC CsIAB FB+=+()()()()()()11211121121112211121121TTTTTTTTIIB PsIAB FBIB P sIAB FBBsIAB F

15、Q sIAB FBBsIAB FC CsIAB FB+=+2AB F+为稳定矩阵()121sIAB FB+右乘 左乘()12TTBsIAB F+鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生()()()()()()()11211121121112211111121121212100TTTTTTTIIB PsIAB FBIB P sIAB FBBsIAB FQ sIAB FBIB P sIAB FBIB P sIAB FBIIQsIAB FBsIAB+=+()()()1211121121TTTFBBsIAB FC CsIAB FB=+()()()()111211212TzzTs TsCsIAB FB

16、CsIAB FBI=3.4 输出反馈输出反馈H控制控制 考察 Riccati 代数方程 0TA XXAXRXQ+=和相应的 Hamiton 矩阵 TARHQA=如果X是上述的 Riccati 代数方程的唯一对称解，且ARX是稳定阵，则记为()Hdom Ric,()XRic H=引理：假设 Hamiton 矩阵H有如下形式：TTTABBHC CA=如果,A B是可镇定的，则()Hdom Ric 且()0XRic H=若进而,CA是可检测的，则()0XRic H=考虑输出反馈控制系统：列满秩列满秩 GKzu y()121111222122xAxBB uzC xDD uyC xDD u=+=+=+?

17、鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 121111222122ABBGCDDCDD=1212,mmppnxuzyRRRRR 假设：()1A()2,A B可镇定，()2,CA可检测；()2A 12D列满秩，且D .st 12DD为正交方阵；21D行满秩，且D?.st 21DD?为正交方阵；()3A：2112Aj IBCD对R均列满秩；()4A 1221Aj IBCD对R均行满秩；()5A 220D=。定义：1211111120,00mTIRD DDDD=iii 2112111210,00TmDIRD DDD=iii?若1R和1R?存在，则定义：11111110TTTTTABHRD CBC

18、CAC D=ii 11111110TTTTTACJRD BCB BAB D=ii?如果(),HJdom Ric，则令 ()(),XRic HYRic J=定义：()1111122TTmmFFRD CB XF=+=i ()11112TTHB DY CRHH=+=i?作分块：()121111111211211211122ppDDDpDD=?12pp?122mpp 鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 定理：设系统()满足()()15AA，则：(1)存在控制器()K s使闭环系统内稳定，且使zT；()ii ()Hdom Ric，且()0XRic H=；()iii ()Jdom Ric，且()0

19、YRic J=；()iv ()2X Y，()i表示最大特征值。(2)如果上述条件成立，则使闭环系统内稳定且使zT的实有理控制器全体为：(),laKF KQ=12aAKCC=11121BDD2210BD,QQRH 其中()1211112111111111111111121122TTDDDIDDDD=2212mmDR和2221ppDR是满足下式的任意矩阵：12D()12121121111111111121TTTDIDIDDD=21TD()12211112111111111112TTDIDIDDD=其余矩阵定义为 2B()1211212ZBH DD=+()2212211CDCD F=+1B=122Z

20、 HB+112D11D 1211CFD=+121D2C 1AABFB=+121D2C 2ZIY X=H次优问题的求解：问题：求K使闭环系统内稳定，且zT。解：直接应用定理的结论。aKQuy 鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 H最优问题的求解：问题：求K使闭环系统内稳定，且使zT=高，方 111122min,XRXR RRRHRL 两块问题（3）()()23,pn mlTT=RHRHRH 2T的内外分解：()1222222,ioiooTT TT TT=RH 3T的互内外分解：()1333333,cocicicocoTT TTTT=RH 则 12312233123iocociiciTT

21、QTTT T QT TTT XT=其中：23ocoXT QT=。选取2T使22iTT成为方的内矩阵，则：12312230iciXTT QTTTTT=因对于方的内矩阵和方的互内矩阵，有T TTTI=，所以 123TT QT()()()22213320iiciciTXTTT TTT=120RXR=12RXR=其中：()()1213iciRTT T=RL ()()2213ciRTT T=RL 23ocoXT QT=RH 鲁棒控制课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 频率域方法求解过程可概括为：原问题 标准问题 minzKGT内稳 K （Youla 参数化）模型匹配问题 123minQTT QTRH Q （内外分解）NehariNehari 问题 minXRXRH X