基于Copula函数的深市行业间的尾部相关性分析.pdf

1、统计与决策2008年第22期（总第274期）基金项目：国家自然科学基金资助项目（70771118）;仰恩大学科研基金资助项目（YEU2007A004）陈银忠1，张 荣2（1.仰恩大学 财政金融学院，福建 泉州362014；2.重庆大学,重庆400030）摘要：采用Copula函数进行相关分析，能够测度到变量间的非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到变量分布的尾部相关关系。基于此分别采用Clayton Copula函数和Gumbel Copula函数对深市各行业间的尾部相关性进行分析。结果表明，除了服务行业外，其他行业之间均具有显著的非对称的尾部相关性。关键词：尾部相关性;Copula函数;

2、深市行业中图分类号：F832.59文献标识码：A文章编号：10026487（2008）22-0123-03基于 Copula 函数的深市行业间的尾部相关性分析1 C o p u la 函数1956年Sklar提出的理论奠定了Copula理论的基础，根据Sklar定理，对于一个多元分布函数F(*)，若其边缘分布函数F1(x1)，F2(x2)，Fn(xn)均连续，则存在着唯一的Copula函数使得F(x1,x2,，xn)=C(F1(x1)，F2(x2)，Fn(xn)（1）因此，对于一个连续的多元分布函数，可以分解为边缘分布和一个描述变量之间相关结构的Copula函数，把边缘分布和联合分布分开来考虑

3、，并可以灵活的选择边缘分布，大大地简化了建模问题。同时，对随机变量进行单调增变换，并不改变由Copula函数确定的一致性和相关性测度，因此，可以捕获到随机变量间的非线性关系。基于Copula函数以上特点的考虑，可以运用Copula函数来对具有厚尾、非对称相关的金融时间序列数据进行建模。运用Copula理论进行建模可分为两步，首先就是确定边缘分布，其次就是定义一个能很好描述边缘分布相依结构的Copula函数。Copula函数的类型很多，总体来说，可以分为椭圆的Copula函数族和Archinedean的Copula函数族。不同类型的Copula函数具有不同的性质，椭圆的Copula函数族具有对称

4、性的尾部相关性，因此该类函数对于具有厚尾、非 对 称 相 关 的 金 融 时 间 序 列 的 相 关 关 系 缺 乏 能 力。而Archinedean Copula函数具有构建且计算简单，并具有明显的尾部特征，能够较好地测度金融时间序列的相关关系。Joe在1997年 的 研 究 表 明，对 数 收 益 率 的 相 关 结 构 符 合Archinedean Copula分 布。基 于 以 上 的 考 虑，文 章 采 用Archinedean Copula族的下尾特征明显Clayton Copula函数和上尾特征明显的Gumbel Copula函数来对深市各行业间的尾部相关性进行分析。1.1Cla

5、yton Copula函数其分布函数的表达式如下：C(u,v)=max(u-+v-1)-1,0)（2）其生成函数为(t)=1(t-1)（3）其中-1且0，Clayton Copula函数对随机变量在分布下尾处的变化十分敏感，因此能够快速地捕获到下尾相关性的变化，可用于描述具有下尾相关特性的金融时间序列的相关关系。当=0时，表示随机变量相互独立；当时，说明随机变量变化具有一致性。1.2Gumbel Copula函数Gumbel Copula分布函数的表达式如下C(u,v)=exp(-(-lnu)+(-lnv)1)（4）其相应的生成函数为(t)=(-lnt)（5）其中1,)，当=1时，则随机变量相

6、互独立；当时，随机变量完全相关。由于Gumbel Copula函数对随机变量分布的上尾处变化反应敏感，因此可以用来分析金融市场的上尾相关关系。2 C o p u la 函数的参数估计与尾部相关性财 经 论 坛123统计与决策2008年第22期（总第274期）2.1Copula函数的参数估计Copula函数的参数估计方法有参数估计法与非参数估计法，其中参数估计法较常用的是极大似然估计法（MLE），非参数估计法常用Genest and Rivest法。Genest and Rivest法是一种简单实用的方法，使用该方法可以在边缘分布未知的情况下，直接利用Kendell秩相关系数与Copula函数的

7、关系对函数的参数进行估计。Kendall秩相关系数与Copula函数间具有以下的关系=4乙0,12乙C(u,v)dC(u,v)-1（6）上式对于一般的Copula函数很难进行直接求解，而对于Archinedean Copula函数来说，由于其生成函数(t)是参数的函数，同时(t)与Kendall秩相关系数存在着如下的关系=410乙(t)(t)dt+1（7）因此通过求解上式就可以估计出Copula函数的参数。对于Clayton Copula函数可得=11-（8）同理可得Gumbel Copula函数的参数估计式=21-（9）通过统计量可以估计出，进而得到相应的Copula函数。由于利用Genes

8、t and Rivest法对Copula参数进行估计并没有考虑随机变量的边际分布问题，在这种情况下，如何来判断所估计的模型是否能很好地拟合数据呢？针对这个问题Nelsen提出，若U、V是0,1上的均匀随机变量，并且它们的联合分布函数是由生成函数（*）生成的Archinedean Copula函数C(u,v)，则Kc(t)=P(C(u,v)t)=t-(t)(t+)（10）是随机变量C(u,v)的分布函数，并且Kc(t)服从标准均匀分布。在此，利用对数收益率的经验分布F(xi)和G(yi)以及t=C(F(xi),G(yi)（11）可以计算出Kc(t)，采用QQ图和KS统计量来检验Kc(t)是否服从

9、标准均匀分布，以此来判断Copula函数对数据的拟合程度。2.2尾部相关性分析尾部相关性主要用于描述金融市场间在极端事件发生时的相互作用，在一个金融市场中出现小的波动一般不会对整个市场产生很大的影响，但一旦波动达到或超过一定的程度，其影响便会显现出来，并可能迅速蔓延，即产生了波动的溢出效应。而波动溢出的检验是研究波动持续协同的前提，而波动的持续协同是研究长期投资组合问题的关键。尾部相关性可以有效地捕获到波动溢出的信息，因此为长期投资组合的研究提供了分析的基础。Copula函数可以很好的描述具有时变、非对称、非线性相关特性的多个随机变量间的相关性，特别是还可以刻画出分布尾部的相关结构，因此可以捕

10、获到波动溢出信息。对于连续随机变量X、Y，其边缘分布函数分别为Fx(x)与Gy(y)，则分布曲线的上尾相关系数U与下尾相关系数L可以分别表示为U=limu1-P(YG-1y(u)|XF-1x(u)=1-2u+C(u,u)1-u（12）若U(0,1，则X、Y存在着上尾相关；若U=0，则称X、Y上尾独立。U=limu0+P(YG-1y(u)|XF-1x(u)=C(u,u)u（13）对于L(0,1，称X、Y下尾相关；若U=0，则X、Y下尾独立。3 深市行业间的尾部相关性分析3.1样本数据的选取为了贯彻中国证监会上市公司行业分类指引，反映各财 经 论 坛CBzsCJzsDCzsFWzsITzsJRzs

11、JZzsNLzsPLzsSDzsYSzsZQzsCJzs0.0350.117DCzs000.1660.746FWzs0.3080.4050.0090.37700ITzs0.1200.5400.0440.6590.1700.5640.1720.572JRzs0.1030.0230.3280.2600.2250.3970.0150.0050.3830.230JZzs0.0040.0200.1030.4670.1280.4030.0020.0330.0870.3800.3950.283NLzs0.0170.0510.1740.5750.0860.2950.0190.0870.0530.2850.43

12、20.1670.2590.687PLzs0.0140.0240.0970.2820.0910.4800.0030.0430.1370.6150.5450.2670.3590.4290.1490.281SDzs0.0100.1410.0890.5580.2100.4460.0040.1160.1690.4450.2110.3400.1020.4380.0880.7040.0750.701YSzs0.0060.0350.0980.2270.1630.2260.0030.0260.0450.5390.2930.2820.1140.2520.2100.4860.2940.5000.0660.712ZQ

13、zs0.0140.2300.0290.6700.0510.6940.0220.0260.1700.5130.2850.3450.1780.7150.2060.4260.2400.3870.0860.6600.1260.708ZZzs0.0040.0540.1210.5900.1750.70500.0160.1360.6230.2010.2870.1130.6280.2690.6910.3000.7250.0890.9420.1190.7330.1870.839表1KS检验结果124统计与决策2008年第22期（总第274期）行业股票价格综合走势，深圳证券交易所决定从2001年7月2日起开始编制

14、深市行业分类指数。因此研究所选取的数据期间为从2001年7月2日至2007年10月19日，每一行业指数的收盘日数据个数为1521个。数据来自于深圳市国泰安信息技术有限公司及同花顺股票分析软件。为了便于分析，把行业指数收益率序列rt定义为rt=100ln(pt/pt-1)，pt为第t日指数的收盘价格。3.2参数的估计及检验为了避免对Copula函数边缘分布假设的不恰当，Copula函数的参数估计采用非参数估计方法。在此采用Genest andRivest法分别对Clayton Copula函数和Gumbel Copula函数的参数进行估计。通过非参数方法估计出的参数及式（10）、（11），可以得

15、到各自的kc(t)值。首先采用均匀分布的QQ图对Kc(t)进行检验，从QQ图可以看出，除服务行业与其他行业的Kc(t)值偏离对角线较远外，其他行业间的Kc值大部分都落在对角线上。其次Kc(t)对值进行K-S检验，结果见表1。从QQ图检验与KS检验看，两种检验方法的结果皆表明：（1）两个Copula函数都能较好地来拟合深市行业收益率之间的相关关系，但对上尾变化比较敏感的Gumbell Cop-ula函数总体上比对下尾变化比较敏感的Claytom Copula函数能更好的拟合数据。这也反映了深市行业之间不仅存在着显著的上尾相关特性，而且也存在着明显的下尾相关特性。而且利用所拟合的Clayton C

16、opula函数和Gumbel Copula函数分别计算出各行业间的尾部相关系数，结果发现行业间的下尾相关系数明显大于上尾相关系数，这也说明了与正的极值收益率相比，负的极值收益率在各行业之间具有更高的相关性，这与股市上观察到的实际情况相符，即利空产生的冲击要大于利好产生的冲击，即深市各行业间存在着非对称的尾部相关关系；（2）服务指数收益率与其他行业指数收益率的数据拟合较差，主要表现为难以通过QQ图检验和KS检验，这也表明了基于Archinedean Copula函数族的Claytoncopula函数和Gumbel Copula函数难以捕获到服务指数收益率与其他行业指数收益率之间的尾部相关特性；（

17、3）ClaytonCopula函数比Gumbel Copula函数能更好地来拟合金融指数收益率与其他行业的收益率之间的尾部相关特性，这也表明了金融行业与其他行业间具有较为显著的下尾相关特性。4 结 论分别采用Clayton Copula函数与Gumbel Copula函数对深市行业之间的尾部相关特性进行分析，结果表明：除服务行业外，两个函数都能较好地来拟合深市行业之间的尾部相关特性，表明了深市各行业之间存在着明显的尾部相关特性，当市场上出现的利空或利好的信息时，各行业之间将表现为同降或同升的市场状况。从尾部相关系数来看，深市各行业之间的下尾部的相关程度要明显高于上尾部的相关程度，这与实际市场观

18、察到的利空对市场的冲击一般要大于利好的情况相一致。但由于Clayton Copula函数能对下尾相关关系的反应比较敏感，而对上尾的相关性则缺乏鉴别力，因此往往会低估上尾的相关性；而Gumbel Copula函数能快速的捕获到上尾的相关特性，但却会低估下尾的相关性；因此文章分别采用了这两个函数对深市的行业之间的尾部相关性进行度量，结果发现这两个模型均能通过KS检验，表明深市行业之间不仅存在着上尾相关同时也存在着下尾相关。而由于这两个Copula函数在度量尾部相关系数时各自存在着致命的缺陷，难以准确的度量深市行业之间的尾部相关性。但以上的研究结论为接下来的研究提供了一个基础，针对深市行业之间的这种

19、尾部相关特性，构造一个能较好地刻画深市行业间尾部相关性的模型是接下来的研究的思路，也为从行业上来考虑投资组合，合理规避投资的风险作一个前期分析。参考文献：1Alessandro Juri,Mario V.Wuthrich.Copula Convergence Theoremsfor tail events J.Insurance:Mathematics and Economics,2002,30(3).2Frees E W,Valdez E A.Understanding Relationships using CopulasJ.North American Actuarial Journal,1998,(2).3史道济,关静.沪深股市风险的相关性分析J.统计研究,2003,(10).(责任编辑/易永生)财 经 论 坛125