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1、同学们从自己的生活经验出发，认为把这张纸沿着直线对折后描图，就可以得到原图形关于直线对称的图形了。对此，老师不得不追问，以便引入主题：描图当然可以，但有一个条件，这张纸是透明的。如果这张纸不透明呢？出乎老师意料的是，学生答道：那就用针扎。这样回答当然没有错，似乎偏离了老师的设计，老师只好说：哦，这也是一种方法。现在的问题是：老师该怎么说，才能导向主题呢？其实，这是一个很好的机会。老师可以说：扎针意味着什么呢？意味着找我们需要描出的点，我们把这样的点叫做对应点。那么，如何找对应点呢？像这样因势利导，不就可以推出主题了吗？这说明，应对教学事件的关键，不是回避事件本身，而是挖掘事件的意义，提升学生的

2、境界，把学生的直观经验提升到数学的本质。一边是学生的经验，一边是数学的本质，认识到经验和本质的联系，把经验上升到本质，给学生自由开放的想象以合理解释，以符合教学主题的解释，从而使教学活动在预设的轨道上运行。为了使教学活动在预设的轨道上，不是从行为上控制学生，而是给学生的想法赋予意义。如何处理预设方案和动态生成的关系，这不正好是奥妙所在吗？要做到这一点，不仅仅是应变能力，还有对数学本质的深刻理解。再看一个例子。九年级讲“概率的意义”，老师问：“抛掷一枚质地均匀的硬币，有多少种可能的结果呢？”老师的预设答案是两种结果：“正面向上”和“反面向上”。但居然有一学生说“还有第三种结果，硬币有厚度，有可能

3、直立起来。”怎么办？不承认有“硬币直立”的可能吗？这不是科学的态度；承认有“直立”的可能吗？则有悖于教学意图。因为“两种可能，各占一半”，正是这种简单的情形，才可以向初学者说清楚“概率”的意义。如何应对，我们来做点设想：应对1：这种可能性很小，可以忽略不计。这样回答行不行呢？如果你承认这种可能性很小，而概率讲的就是可能性的大小，它就应该取得某一个确定的概率值。这是不能忽略的。应对2：我说的是理想中的硬币。这样应对可以吗？因为这只是教师个人的“理想”，凭什么理想中的硬币就不能直立呢？应对3：这是实验的结果。历史上，布丰抛掷过4040次，费勒抛掷过10000次，皮尔逊抛掷过24000次，都只出现过

4、“正面向上”和“反面向上”两种情况。笔者以为，这应该是一个好的回答。因为我们是在用“频率”估计概率，而“频率”是大量重复试验的结果。也许，有人会反驳：24000次没有出现，能保证以后不会出现吗？是的，但我们用频率估计概率，只能根据实验的结果,不应该根据自己的猜测来做判断（尽管猜测也是非常必要的）。硬币直立的情况我亲眼见过。当然，你所见到是你所处的特定情境，现在让我们一起来关心我们面对的情境：请随机的抛掷硬币，并记下所得的结果。由此言归正传。这也许是一种适当的应对方式，因为它突出了用“频率”估计概率的本质，而又回避了无意义的辩论。是否有更好的，那就不得而知了。通过上述三个案例：等腰三角形、轴对称

5、变换、概率的意义，对如何养成教学智慧，我们可以提出如下的建议了。一、要加强对教学实践的反思，教学智慧来源于教学实践。教师讲了什么，学生有什么反应，如何应对，应该成为我们课后必须思考的问题。有关“概率的意义”的事件就是如此。象这类问题，老师往往很难做出恰当的回答。但只要我们具备反思的意识，就会有新的见解。不断积累，灵活应对的能力就会不断提高。运用之妙，存乎一心。何况，能够即席应答其实并不重要，在很多情况下也是不可能的，重要的是不能回避回题，不要因为小子“率尔而对”，而“夫子哂之”。二、在强势文化面前要有理性的思考。这里的强势文化包括传统文化和主流文化。比如“等腰三角形”的案例，如果我们只满足于表

6、象，就只能人云亦云，既不可能有实效，也不可能有个性，更不可能有创新。而实效、个性、创新，正是教学智慧的基本属性。在一些标榜新理念的教学中，只顾形式、热闹和过场，而不考虑效果如何，给课程改革带来了不好的声誉，这是值得我们警惕的。三、对教学要有全面的认识。教学是什么？有专家指出：教学是科学，科学的关键词是探索；教学是哲学，哲学的关键词是思辨；教学是技术，技术的关键词是设计；教学是艺术，艺术的关键词是鉴赏。品味一下本文有关“等腰三角形”的设计，它是设计，也是探索和思辨，更蕴含着对理性美的鉴赏。把握了这四个关键词，我们就可能在教学实践中不断追求，止于至善。四、要真正尊重学生。以学生为主体，教师是发现美

7、的评价者，通过评价来提升学生。因为尊重学生，你才可以意识到“扎针”就是找对应点，你才不会把“投掷硬币有三种结果”视为无理取闹。从智慧的角度来审视教学，教得如何并不重要，重要的是学生学得怎样。教是为了成就学，甚而言之，可以有无教之学，不能有无学之教。当教懂得为学让步之日，也许就是教学智慧滋生之时。正因为如此，我们在设计“等腰三角形”的教学时，不是设置铺垫，让学生顺利地看到结果，快捷地找到思路；而是创设情境，迫使学生通过思维努力来抵达目标。“设置铺垫”，强调的是教的技巧；“创设情境”，才突出了学的动因。为了学的动因我们可以放弃教的技巧，这就是我们追求的境界。五、远离功利，宁静才能致远。教学智慧的生

8、成需要远离功利吗？笔者一介俗人，没有说清这个道理的境界，还是让我们读读中央教科所田慧生先生关于“教育智慧”的论述吧！参考文献1.田慧生，走出缺乏教育智慧的困局，中国教育报，2007.02.082.裴光亚，数学教学中的艺术，中学数学，2002.11课本的欣赏裴光亚课本是实现课程目标、实施教学的重要资源。在第八次课程改革前的漫长岁月里，它曾被提到不适当的高度，成为教师和学生顶礼膜拜的对象。时至今日，我们对课本才有了新的认识。课本不是金科玉律，不是真理的化身，甚至也不应当成为学生学习的模仿对象。它只是为学生的学习活动提供了基本线索。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程研究、建设和资源开发的重要力量。

9、对于课本提供的基本素材和线索，我们可以调整、重组，可以超越甚至颠覆。只要你对课本的处理不偏离数学的本质、有利于学生的发展，任何尝试都是值得鼓励的。问题是，当我们具备了对课本的批评意识之后，我们还缺点什么？当我们对课本由只能“仰视”到“平视”抑或还可以“俯视”的时候，我们对课本应该持怎样的态度？我以为，我们应该懂得欣赏。为什么呢？因为课本是教育理念的载体，我们可以从中获取教学的智慧。因为只有我们具备欣赏能力的时候，才可能同时具备批评的能力。因为只有当你欣赏课本的时候，你才能享受到运用课本的愉悦。还因为你对课本的欣赏必然会感染学生，从而激发学生的学习兴趣。不论我们如何处理课本，它都是学生学习活动的

10、出发点，你的教学智慧、批评能力、作为学者兼教者的情感以至学生的感受，都将从课本开始。现在，让我们来试着欣赏课本。以人教版义务教育课程标准实验教科书数学为例，本文不谈它的设计理念和特色，也不把它与大纲教科书作宏观比较，只是从一些具体的东西，一些细节入手。初中课本的第1节“正数和负数”，第一句话是：“数的产生和发展离不开生活和生产的需要。”它与我们通常的说法似乎有点不同。为什么不说：“由于生产和生活的需要，产生和发展了数。”如果这样换一下，就有些逊色了。因为从数学的发现和创造过程来看，数的产生和发展不只是实际需求的结果，也是数学内部矛盾作用的结果。对初一学生来讲，认识到这一点，当然是后话，课本却由

11、此留下了空间。三个字“离不开”，境界就出来了。再看“点、线、面、体”一节。“夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。”光线、焰火画出的曲线，并不是线，只是给我们线的形象。星星、地图上的城市，并不是点，只是给我们点的形象。不难解读：现实世界中本来就没有线和点，但线和点又是现实空间中的抽象物。我们在现实世界中遇到的点和线，只是近似于“理想”世界中的“理想”事物。这是多么简捷、深刻而又富于哲理的美文。让我们想象一下光线，它正划过无垠的苍穹，体现的是无限延伸的特征；再想象一

12、下地图上的城市，它在地图上只是一个位置，与这个城市的大小和形状无关。它们的象征意义，难道不值得我们品味再三。同样地，还有角的形象、相交线的形象、平行线的形象等。正是“形象”一词，使得多少无法言说的概念被我们的学生所意会。关于“有理数加法的运算律”。课本是由“思考”引出的：“我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？”在学生看来，这似乎不是一个问题，但却是代数学中的基本问题。如果仅仅是为了“理解有理数的运算律，并能运用运算律化简运算”这一具体目标，有必要提出这样的问题吗？为什么要在学生不是问题的地方提出问题呢？这样一品，我们才可以体悟到课本的韵味。以上三例说明，在我们的课本中

13、，确有许多句子，虽是微言，却含大义。如果我们再观察一下课本中从“引文”到“定义”的微妙变化，也是很有趣味的。以“函数”为例。课本章头语从“万物皆变”谈起，列举行星、人体细胞、气温等现象后指出：“这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。”接着说：“为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结出一个重要的数学工具函数，用它描述变化中的数量关系。”而在正文中，函数的定义是：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。”从现象到定义。我们关心的现象是：一个量随另一个量的变化而变化。定义是：对于都有唯一确定的值

14、与其对应。由“变化而变化”到“对应”，在数学史上也有过这样的经历，我们今天认识函数的过程，正是历史的一个缩影。有趣的是：章头语说“行星在宇宙中的位置随时间而变化，”，为什么不直奔主题，说：“行星在宇宙中的位置都与唯一确定的时间对应，”？正是在这个过程中，我们才可以体会到：函数是描述客观世界变化规律的数学模型；但“变化”不是函数的本质，函数的本质是“对应”。上面是关于句子的品读，下面我们来品读一下结构。还是从初中的第一章说起。“有理数的加减法”。首先从加法的几何意义出发，用数轴表示两次运动及其结果，引导学生从不同类型的七个算式中发现加法的运算法则。加法法则是发现的，运算律是通过实验得到的，减法法

15、则是根据“减法是与加法相反的运算”推演出来的。既有观察、实验，也有验证、推理，根据具体内容的特征选用不同活动。再看“有理数的乘除法”，由于它与“有理数的加减法”是同构的，因此采用了同样的处理方式。“具体问题具体分析，这是马克思主义活的灵魂”。该如何处理教学内容，这不是很好的范例吗？再来看一元一次方程。它的展开过程是：从生活中的现实问题出发，通过数学建模得到方程，使方程形式化，并探索它的解，回到现实问题的解决。这正是我们在课程改革中提倡的教学模式，即初中学段的教学应结合具体的教学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，

16、。这和原来的展开过程是不同的。原来的展开过程是：首先是形式化的方程定义，然后是方程的解法，最后是方程的应用。把新旧课本比较一下，就会发现，课标下的教材更能体现方程思想的核心：建模与化归；更能体现方程的本质意义：方程是含有未知数的等式，这只是形式化的定义，方程的本质是用等号将相互等价的两件事情联立，是刻画现实世界的一个有效的数学模型。教学设计中，我们常常犯难，素材如何收集？其实，课本也给了我们启示。在“一元一次方程”中，有来自生产、生活中的现实问题，有来自契诃夫小说家庭教师中的“算术难题”，也有来自数学史文献纸莎草文书中的著名问题。它们的背景不同，教育价值也不尽相同。契诃夫难题，把算术解法和方程

17、解法进行比较；纸莎草文书中的问题，是虚构的，但有历史文化的厚度。为了说明数学问题，我们需要现实的解释，但有时又必须虚构。是运用“历史经典”还是“闭门造车”，其教育价值是不同的。品读这些材料，我们在收集素材时就有了更加宽广的视野。在教学设计中，我们首先关心的是教学价值，教学价值是教学设计的灵魂。那么教学价值从哪里挖掘呢？还是让我们来看看课本。举例如下：例1 “平面直角坐标系，有序数对”引言中两段文字。第一段影剧院的座位问题：如何对号入座；第二段，印刷错误的位置，同学在教室中的位置：你怎样告诉同学？你明白通知的意思吗？这说明，“有序数对”既是确定位置的需要，也是交流的需要。例2 “函数的图象”中的

18、第一段：“有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。即使对于能列式表示的函数关系，如也能画图表示则会使函数关系更清晰。”这段话，把图象的必要性、优越性都说了，同时“如也能画图表示”还暗示了可能性是一个问题。这段话说得多好啊！好多教材，在谈到“函数图象”的时候，只是把它和解析法、列表法的优越性进行比较，诸如“用解析法表示函数关系的优点是：。用列表法表示函数关系的优点是：用解析法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。”其实，这样的表述是不够的，因为有些函数只能用图象来表示。少数教师在备课时，每当涉及教学目标、教育价值的

19、问题时，总是借助参考书，致使这些根本的东西与教学流程割裂开来。因此，我们提倡品读课本，在品读的过程中，我们才能感知理性中的具体，抽象中的生动，宏观中的朴实。不只是教育价值的层面，课本还有教学艺术的示范。比如“数据的代表，平均数”：为了讲加权平均数，课本给出某市三个郊县的人数及人均耕地面积，用表显示，问题是求这个市郊县的人均耕地面积。接着提供了小明的做法：三个县的面积和除以3。由此展开讨论，从而得到“加权平均数”的概念和求法。从学生已有经验出发，从学生可能的错误开始，通过讨论抵达真理。这样的教学不就不数学活动的教学吗？当我们欣赏课本的时候，我们内心的美感也在升华。当我们走进课本的时候，课本也会敞

20、开心扉。品读句子，方可体悟微言大义；品读结构，更可吸取教学智慧。课本是我们须臾不可离开的东西，不论是解说它、批评它、还是超越它。意识到我们在与美相伴，不亦快哉！对“知识脱节”的反思裴光亚我们还是从人教社2005年版的教材谈起。关于“一元一次方程”，被安排在第二章，第一章是“有理数”。这和大纲下的体系是不同的。大纲下的教材先讲“代数的基础知识”、“整式的加减运算”，然后才是“一元一次方程”。这种不同的安排，遭到不少教师的非议。认为代数式、合并同类项、去括号和整式加减法的运算法则，都是“一元一次方程”的预备知识，“一元一次方程”的教学应该建立在这些概念和法则的基础之上。现在这些基础没有了，我们该如

21、何教学？于是，很多教师在讲“一元一次方程”之前，补充了相关内容。于是，人教社在修订时，增设了第2章：“整式的加减”。这就是“民意”，也是文化的威力。因为在我们的教学文化中，认为学习数学就应该这样循序渐进，就应该是累积式的,要“一点一点的学知识”，那种“知识脱节”的现象是不能容许的。学习数学当然要考虑数学自身的特点，遵循数学本身的逻辑。先要知道字母可以表示数，然后才能讲方程；先要会整式的有关运算，然后才会解方程。这只是数学本身的逻辑，它指示我们教学中应该注意什么，突破哪些关节点。但学生获得知识的过程并不完全是这样的。我们可以先讲“整式的加减”，也可先由“一元一次方程”展开。为什么可以先讲“一元一

22、次方程”呢？让我们来看一看：方程是什么？方程是含有未知数的等式。这只是形式化的定义。方程的本质是，它用等号将相互等价的两件事情联立起来，是刻画现实世界的一个有效的数学模型。它所展示的是建模的思想。因此，方程的教学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而经历解决方程问题的全过程。先是把现实情景用自然语言等价地表达出来，然后用数学符号等价地表达出用自然语言表达出来的事情。也就是用等号将相互等价的两件事联立起来，其中的未知数要用字母来表示。一是列等式，一是用字母表示数，这是学生在小学就有过的经验。我们为什么不可以充分的运用这些经验？不可

23、以通过恰当的问题情境使这些经验自动的内化为知识，而一定要作为基础来夯实呢？我们来看一看，正是在根据实际问题列方程的过程中，我们有了用字母表示数的需要：问题中有未知数，我们如何表示？可不可以用诸如“？”的符号或者文字词汇来表示？在这样的情境中，我们不难找到恰当的答案。也许，这样的设计不如“用字母表示数”的专章来得深刻，但却可以从中看到“用字母表示数”必要性，甚至是不可替代性。比如用“？”或文字词汇来表示未知数就面临着两个问题：一是不够简捷，二是不便像数一样参与运算。不能参与运算，如何救出这个未知数？“用字母表示数”就在这样的追问中萌生了。作为“用字母表示数”的教学，难道有比这些更重要的吗？一旦有

24、了“用字母表示数”的概念，由现实问题到方程，只是一个语言的转化。方程只是我们所提出的问题的一个记录，只是阐述了一个事实，没有经过任何加工的事实。现在有两种方案，一是先讲代数式表示简单问题中的数量关系，二是在讲方程，即在建立等量关系的情境中生成代数式模型。试想一下，是面对我们需要解决的问题，让学生把实际问题中的数量关系描述出来，还是先设计一些背景，让学生用代数式表示出来，更能激发学生的探究欲望呢？列方程是有实际问题需要解决，列代数式是有实际背景要用数学语言把它描述出来。两相比较，那一种更能启动学生的思维，更有利于作为“问题情境”？接下来，我们看如何解方程。在方程中有未知数，而我们要想知道的就是这

25、个。要把它求出来，而此时我们又没有一套现成的规则，这就是“问题情境”。你看，我想得到它，怎么得到它呢？不知道。这就需要探索，学生的求知欲就是这样激发起来的。下面我们来探索。探索的目标很明确，就是要把这个求出来。怎么求，我们来考查方程的特点：如果关于的有多项，比如方程中含有式子怎么办？当然是合并。因为这里的虽然是未知的，但却有明确的意义。比如购买计算机，前年是台，去年是2台，今年是4台，一共是多少台？当然是7台。这就是整式的加法，合并同类项。根据的实际意义得到它的结果，不是更有助于学生的理解吗？为什么要把“解方程”和它的实际意义割裂开来，说“根据整式的加法法则，7”，不可以从解方程的过程中概括出

26、整式的加法法则呢？难道我们在讲“整式的加法法则”时，不同样需要一个现实的模型？让我们继续分析。如果方程两边都含有未知数你不是要解出，不是希望等于一个确定的值吗？两边都有怎么可以呢？把它们弄到一边去。这就是移项。的系数，对于括号，都是如此。在这一过程中，你发现了知识的脱节吗？知识本来就应该是在情境中、在探索中生成，在应用中深化的。为什么一定要补充呢？我们在补充的过程中，可能失去得太多。不同的认识，带来了不同的教育方法和态度。在一些人看来，知识是一些结论和既成的经验，是依靠传授的。而在另一些人看来，知识既是一些认识结果，同时又是别的什么，是一种过程、态度和方法，是走向未来的动力，可以通过传授获得，

27、也可以在探究问题的过程中动态生成。这样，如何使学生得到知识，也是大相径庭的。前者把知识灌注给学生，而不问学生在接受灌注的过程中，内在的发展动因可能被消蚀；而后者在学生获得知识的同时，始终把人的发展，把自主获得知识的能力放在视野之内。现在，我们可以对“知识脱节”论作点评价了。那些认为知识脱节，认为要补充知识的做法，至少有两大弊端： 一、学生获得意义的过程较长，很难真正产生学习的积极性。比如由“用字母表示数、代数式、合并同类项、去括号”到“整式的加减法”，如此漫长的过程，学生很难看到它们的实际意义，看到它们的必要性。即使是“用字母表示数”，非常现实的需要，都因为知识序列的考虑被我们人为的割裂了。直

28、到方程，这些概念才回归到它本来的意义，但此时，这些意义又被已知的法则取代了。在这个不了解意义的活动中，有什么可以引起学生思考的呢？这不能不说是造成学生被动接受的主要原因。事实上，学习积极性最丰富的来源，是对所学内容意义的感悟。二、学生缺乏探究问题的内在需求，很难形成初步的创新精神和实践能力。因为你只有循序渐进的知识序列，没有激起学生想象、思考和情感体验的问题情境。事实上，只有为了达到某种目的，过去的手段与方法已经不够用的情境中才需要思维。思维就是探索和发现新事物。凡是用原有已知的动作方式，用过去的知识和熟练可以应付过去的情况下，就不需要思维，也不能构成问题情境。课程标准强调教学应结合具体的数学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓广”的模式展开，是非常重要的。英国学者杰夫摩根在社会硅谷：社会创新的发生与发展