北京市人大附中届高三2月内部特供卷理科数学(二)Word版含答案Word下载.docx

1、1 3 D- i 2 2姓名p 1 p 3若cos（a+ ） =，a （0, ），则sin a的值为（ 4 3 2） D2 3此4- 2 64+ 2 6C7 18A （-2,0） ）B （1,0）C （10,0） ）D （14,0）4集合A = x | x 2 - 1 0，B = y | y = 3x , x R，则A I B =（班级A （-,-1） B （-,-1 C （1,+）D 1,+） ）8函数y = esin x （-pxp） 的大致图象为（ x - 2） 2 + y 2 = 16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是A B三、解答题：解答应写出文字说明

2、、证明过程或演算步骤 17设S n为数列 an 的前n项和，且a1 = 1，nan +1 = （n + 2） S n + n（n + 1），n N* （1）证明：数列 Sn + 1 为等比数列；n9已知点A，B，若四面体ABCD C，D在同一个球的球面上，AB = BC = 2，AC = 2，的体积为A25p 42 3，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为（ 3）B 4pC 8pD 16p（2）求Tn = S1 + S 2 +L+ S n 10F为双曲线x2 y 2四边形OFMN -= 1 （a 0, b 0） 右焦点，M，N为双曲线上的点，a 2 b2） 18如图所示的几何体ABCDEF

3、中，底面ABCD为菱形，AB = 2a，ABC = 120，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE / BF，BD DE，DE = 2 BF = 2 2a，平面BDEF 底面ABCD 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（ A2 B 2 2 C 2 D 3 x - y + k0 11 已知不等式组3 x - y - 60表示的平面区域恰好被圆C : （ x - 3） 2 + （ y - 3） 2 = r 2所覆 x + y + 60 盖，则实数k的值是（） A3 B4 C5 D6 ）12已知x0是方程2 x 2 e 2 x + ln x = 0的实根，则

4、关于实数x0的判断正确的是（ A x0 ln 2 B x0 b 0） 的长轴长为6，且椭圆C与圆M : （ x - 2） 2 + y 2 = a b 9的公共弦长为4 10 3（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0,2） 作斜率为k （k 0） 的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由21已知函数f （ x） =ex - a （ x - ln x） x（1）当a0时，试求f （ x） 的单调区间；（2）若f （ x） 在 （0,1） 内有极值，试求a的取值范围请考生在 22、23两

5、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：r= x = t cos a 2，直线l : （ t为参数，0a 1或x 0， A B = x x 1，选C5【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的C 6【答案】 C 7【解析】由题知A = 2 3，2p 1组成的，故选4j=-3p，4w= 2 （ 6 + 2），w=p，再把点2, -2 3代入可得8（）3pp g （ x ）= 2 3 cos x -，故选C 4 8 8【答案】 D【解析】由函数y = epp , 时， 2 2 sin x x y = sin x为单调递增函数，而

6、外层函数y = e也是增函数，所以y = e （-pxp）sin x（-pxp）不是偶函数，排除A、C，当x -pp在x - , 上为增函数故选D 2 2 9【答案】 D 【解析】根据条件可知球心O在侧棱DA中点，从而有AC垂直CD，AD = 4，所以球的半径为2，故球的表面积为16p 10【答案】 B c 【解析】设M （ x0，y0 ），四边形OFMN为平行四边形， x0 =，四边形2 c OFMN的面积为bc， y0 c = bc，即y0 = b， M ，b ，代入双曲线方程得2 e2 - 1 = 1， e 1， e = 2 2 选B 4 11【解析】由于圆心 （3,3） 在直线3 x

7、- y - 6 = 0上，又由于直线x - y + k = 0与直线k +6 x=- 2 x + y + 6 = 0互相垂直其交点为，直线3 x - y - 6 = 0与x + y + 6 = 0的交y = k -6 2点为 （0, -6） 由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r = （3 - 0） 2 + （3 + 6） 2 = 3 10，解得k = 6或k =-6 （舍去）故选D12【解析】方程即为2 x0 2 e 2 x0 =- ln x0，即2 x0 e 2 x0 = e - ln x0 （- ln x0 ），令f （ x ）= xe x， f （ 2 x0 ）

8、= f （- ln x0 ），则f （ x ）= e x （ x + 1） 0，函数f （ x ）在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：2 x0 =- ln x0，故选C二、填空题13【答案】 0 3 3 【解析】 （ x - 1）5展开式中含x3项的系数为C5 = 10，含x 2项的系数为-C5 =-10，所以 （ x + 1） （ x - 1）展开式中含x3项的系数为10-10=0514【答案】3 5 5【解析】由题知l= 1，所以投影为15【答案】 4 5 【解析】3 5 51 2p b tan B + b tan A =-2c tan B，由正弦定理cos A =-，A =，2 3a

9、 = 8，由余弦定理可得：64 = b 2 + c 2 + bc =（ b + c ）- bc，又因为ABC面积1 3 1 bc，bc = 16，b + c = 4 5 4 3 = bc sin A = 2 2 2（8,12） 16【解析】易知圆（ x - 2 ）+ y 2 = 16的圆心为（2，0），正好是抛物线y 2 = 8 x的焦点，24），过点A作抛物线准圆（ x - 2 ）+ y 2 = 16与抛物线y 2 = 8 x在第一象限交于点C （2，2线的垂线，垂足为点D，则AF = AD，则AF + AB = AD + AB = BD，当点B位于圆（ x - 2 ）+ y 2 = 16与

10、x轴的交点（6，0）时，BD取最大值8，由于点B在实线上运动，因此当点B与点C重合时，BD取最小值4，此时A与B重合，由于F、A、B构成三角形，因此4 BD 8，所以8 BF + BD 12 三、解答题17（1）因为an +1 = S n +1 - S n，所以n（ S n +1 - S n ） = （n + 2） S n + n（n + 1），即nSn +1 = 2（n + 1） S n + n（n + 1），则所以S n +1 S = 2 n + 1，n +1 nS n +1 S S + 1 = 2（ n + 1），又1 + 1 = 2，n +1 n 1 S故数列 n + 1 是首项为2，

11、公比为2的等比数列 n S S （2）由（1）知n + 1 = （ 1 + 1） 2n -1 = 2n，n 1所以S n = n 2n - n，故Tn = （1 2 + 2 22 +设M = 1 2 2 +则2 M = 1 2 2 + 2 23 +所以- M = 2 + 22 + n 2n ） - （1 + 2 + 2n，+ n 2n +1，+ n） + 2n - n 2n +1 = 2n +1 - 2 - n 2n +1，所以M = （n - 1） 2n +1 + 2，n（n + 1） 2 18（1）因为底面ABCD为菱形，所以AC BD，所以Tn = （n - 1） 2n +1 + 2 -

12、又平面BDEF 底面ABCD，平面BDEF因此AC 平面BDEF，从而AC EF 又BD DE，所以DE 平面ABCD，平面ABCD = BD，由AB = 2a，DE = 2 BF = 2 2a，可知AF = 4a 2 + 2a 2 = 6a，BD = 2a，EF = 4a 2 + 2a 2 = 6a，AE = 4a 2 + 8a 2 = 2 3a，从而AF 2 + FE 2 = AE 2，故EF AF 又AFAC = A，所以EF 平面AFC 又EF 平面AEF，所以平面AEF 平面AFC （2）取EF中点G，由题可知OGDE，所以OG 平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA OB，所以分别

13、以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O - xyz （如图所示），则O（0, 0, 0），A（ 3a, 0, 0），C （- 3a, 0, 0），E （0, -a, 2 2a），F （0, a, 2a），所以AE = （0, - a , 2 2a ）- （ 3 a , 0, 0） = （- 3a ,- a , 2 2a ），AC = （- 3a, 0, 0） - （ 3a, 0, 0） =EF = （0, a, 2a） - （0, -a, 2 2a） = （0, 2a, - 2a） （-2 3a, 0, 0）由（1）可知EF 平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为E

14、F = （0, 2a, - 2a） 设平面AEC的法向量为n = （ x, y, z ），- 3 x - y + 2 2 z = 0, y = 2 2 z, n AE = 0, 则，即，令z = 2，得y = 4，x = 0, x = 0, n AC = 0,所以n = （0, 4, 2） 从而cos =n EF 6a 3 = 3 | n | | EF | 6 3a3 3故所求的二面角E - AC - F的余弦值为19（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有30 1 = 2人，105 1 =，50 101 =

15、3人，10C32 7故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是P = 1 - 2 = C5 10（2）女生志愿者人数X = 0,1, 2，则P（ X = 0） =1 1 2 C12 C8 C12 33 48，= P （ X = 1） = 2 2 C20 95 C20 95P（ X = 2） =C82 14 = 2 C20 95X X的分布列为0 1 2 33 48 14 P 95 95 95 33 48 14 76 X的数学期望为E （ X ） = 0 + 1 + 2 = 95 95 95 95 20（1）由题意可得2a = 6，所以a = 3 由椭圆C与圆M ：（ x - 2） 2 +

16、y 2 =4 10 40的公共弦长为，恰为圆M的直径，3 9可得椭圆C经过点 （2, 2 10 4 40 ），所以+ 2 = 1，解得b 2 = 8 3 9 9b所以椭圆C的方程为x2 y 2 += 1 9 8（2）直线l的解析式为y = kx + 2，设A（ x1 , y1 ），假B（ x2 , y2 ），AB的中点为E （ x0 , y0 ） 设存在点D（m, 0），使得ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE AB 由 y = kx + 2 36k -18k 2得 （8 + 9k 2 ） x 2 + 36kx - 36 = 0，故x1 + x2 =- 2，所以x0 = 2，x y2 9k

17、 + 8 9k + 8 =1 + 8 9y0 = kx0 + 2 = 16 9k 2 + 8因为DE AB，所以k DE16 -0 2 1 -2k -2 1 =-，所以m = 2 =-，即9k + 8 -18k 8 k k 9 k + 8 -m 9k + 9k 2 + 8 k2 8当k 0时，9k +2 9 8 = 12 2，所以-m 0 12 k综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点D，且点D的横坐标的取值范围为- 2 m 0恒成立，所以f （ x ） 0，x 1 ；f （ x ） 0，0 x 1 所以单调增区间为 （1, +），单调减区间为 （0,1） （2）若f （ x） 在 （0,1）

18、 内有极值，则f （ x ）在x （0,1） 内有解令f （ x）=设g （ x） =（e x - ax）（ x - 1） ex x，= 0 e - ax = 0 a = x x2ex x （0,1），x e x （ x - 1） 所以g （ x ）=，当x （0,1） 时，g 0恒成立，x所以g （ x） 单调递减又因为g （1） = e，又当x 0时，g （ x） +，即g （ x） 在x （0,1） 上的值域为 （e, +），（e x - ax）（ x - 1） = 0有解 x2设H （ x ） = e x - ax，则H （ x ） = e x - a 0，H （1） = e - a

19、e时，f （ x） 在 （0,1） 内有极值且唯一当ae时，当x （0,1） 时，f （ x ）0恒成立，f （ x） 单调递增，不成立所以当a e时，f （ x ）=综上，a的取值范围为 （e, +） 请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修44：坐标系与参数方程2 （1）由r=，得r=r sin q+ 2，1 - sin q所以曲线C的直角坐标方程为x 2 = 4 y + 4 ；（2）设A（ r1 , a ），则B（ r 2 , p+a ），a，OA + 3OB = 0 r1 = 3r 2，1 p 2 2 = 3 sin a=，a= 2 6 1 - s

20、in a 1 + sin a不等式选讲-3 x, x . 从图可知满足不等式f （ x）3的解集为 -1,1 （2）证明：由图可知函数y = f （ x） 的最小值为所以a 2 + b 2 =3 3，即m = 2 23 7，从而a 2 + 1 + b 2 + 1 =，2 2 1 4 2 1 4从而2 + 2 = （a 2 + 1） + （b 2 + 1）（ 2 + 2 ）= a +1 b +1 7 a +1 b +12 b 2 + 1 4（a 2 + 1） 18 2 b 2 + 1 4（a 2 + 1） = 5 + （ 2 + 2 ） 5 + 2 2 7 a + 1 b2 + 1 7 7 a +1 b +1b