因式分解的方法Word文件下载.docx

1、3a2b3ab2b3（ab）3 an-bn=（a-b）a（n-1）+a（n-2）b+b（n-2）a+b（n-1）am+bm=（a+b）a（m-1）-a（m-2）b+-b（m-2）a+b（m-1）（m为奇数）分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. 十字相乘法 x2（p q）xpq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是

2、：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2（p q）xpq（xp）（xq） kx2mxn型的式子的因式分解 如果能够分解成kac，nbd，且有adbcm 时，那么 kx2mxn（ax b）（cx d） a -/b ack bdn c /-d adbcm 多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。（6）

3、应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式（1+y）2-2x2（1+y2）+x4（1-y）2解：原式=（1+y）2+2（1+y）x2（1+y）+x4（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）=（1+y）+x2（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）=（1+y）+x2（1-y）2-（2x）2=（1+y）+x2（1-y）+2x（1+y）+x2（1-y）-2x=（x2-x2y+2x+y+1）（x2-x2y-2x+y+1）=（x+1

4、）2-y（x2-1）（x-1）2-y（x2-1）=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5原式=（x5+3x4y）-（5x3y2+15x2y3）+（4xy4+12y5）=x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y）=（x+3y）（x4-5x2y2+4y4）=（x+3y）（x2-4y2）（x2-y2）=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不

5、能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、 分解因式x3 -2x2 -x（2003淮安市中考题） x3 -2x2 -x=x（x2 -2x-1） 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a2 +4ab+4b2 （2003南通市中考题） a2 +4ab+4b2 =（

6、a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n） 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m m2+5n-mn-5m= m2-5m -mn+5n = （m2 -5m ）+（-mn+5n） =m（m-5）-n（m-5） =（m-5）（m-n） 4、 十字相乘法 对于mx2 +px+q形式的多项式，如果ab=m,cd=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c） 例4、分解因式7x2 -19x-

7、6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x2 -19x-6=（7x+2）（x-3） 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x2+3x+2.25-42.25=（x+1.5）2-（6.5）2=（x+8）（x-5）6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b） bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b） =bc（c-a）+c

8、a（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b） =c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a） =（c+b）（c-a）（a+b） 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x4 -x3 -6x2 -x+2 8、 求根法 令多项式f（x）=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,xn ,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x1 ）（x-x2 ）（x-x3 ）（x-xn ） 例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 令f（x）=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f（x）=

9、0根为1/2 ，-3，-2，1 则2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1） 9、 图像法 令y=f（x），做出函数y=f（x）的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为f（x）= f（x）=（x-x1 ）（x-x2 ）（x-x3 ）（x-xn ） 例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6 令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3 +2x2 -5x-6=（x+1）（x+3）（x-2） 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式

10、分解。例10、分解因式a （b-c）+b （c-a）+c （a-b） 此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）=a （b-c）-a（b -c ）+（b c-c b） =（b-c） a -a（b+c）+bc =（b-c）（a-b）（a-c） 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15 令x=2，则x3 +9x2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成

11、3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x3 +9x2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x4 -x3 -5x2 -6x-4 易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。设x4 -x3 -5x2 -6x-4=（x2 +ax+b）（x2 +cx+d） = x4 +（a+c）x3 +（ac+b+d）x2 +（ad+bc）x+bd 所以 解得 则

12、x4 -x3 -5x2 -6x-4 =（x +x+1）（x -2x-4）初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材代数第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把a2b22ab4

13、分解因式。 解：a2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x24y2（3x）2（2y）2（3x2y）（3x2y）（3x2y）（3x2y）的错误? 如例2 abc的三边a、b、c有如下关系式：c2a22ab2bc0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三条边，a2bc0，ac0， 即ac，abc为等腰三角形。

14、例3把12x2yn18xn2yn16xnyn1分解因式。12x2nyn18xn2yn16xnyn16xnyn1（2xny3x2y21） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x1）38p2（x1）22p（1x）22p（x1）23（x1）4p2p（x1）2（3x4p3）的错误。 例4 在实数范围内把x45x26分解因式。x45x26（x21）（x26）（x21）（x6）（x6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能

15、再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y25x2y29y2y2（4x45x29）y2（x21）（4x29）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12【分析】：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解x 2y2 x

16、3y6原式=（x+2y+2）（x+3y+6）双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中X2+5xy+6y2=（x+2y）（x+3y）先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=（2y+2）（3y+6）再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错一、基本方法 因式分解（factorization）是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生

17、的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等 提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. an-bn=（a-b）a（n-1）+a（n-2）b+b（n-2）a+b（n-1） am+bm=（a+b）a（m-1）-a（m-2）b+-b（m-2）a+b（m-1）（m为奇数） x2（pq）xpq型的式子的因式分解 kx2mxn（axb）（

18、cxd） a -/b ack bdn c /-d adbcm 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 二、经典例题：1.分解因式（1+y）2-2x2（1+y2）+x4（1-y）2 原式=（1+y）2+2（1+y）x2（1+y）+x4（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2） =（1+y）+x2（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2） =（1+y）+x2（1-y）2-（2x）2 （1+y）+x2（1-y）-2x =（x2-x2y+2x+y+1）（x2-x2y-2x+y+1） =（x+1）2-y（x2-1）（x-1）2-y（x2-1） =（x+

19、1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y） 对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 原式=（x5+3x4y）-（5x3y2+15x2y3）+（4xy4+12y5） =x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y） =（x+3y）（x4-5x2y2+4y4） =（x+3y）（x2-4y2）（x2-y2） =（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y） 当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 三、因式分解的十二种方法 例1、 分解因

20、式x -2x -x（2003淮安市中考题） x -2x -x=x（x -2x-1） 例2、分解因式a +4ab+4b （2003南通市中考题） a +4ab+4b =（a+2b） 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = （m -5m ）+（-mn+5n） 对于mx +px+q形式的多项式，如果a例4、分解因式7x -19x-6 1 -3 7x -19x-6=（7x+2）（x-3） 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+（ ） -（ ） -40 =（x+ ） -（ ） =（x+ + ）（x+ - ） =（x+8）（x

21、-5） 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2（x +1）-x（x +1）-6x =x 2（x + ）-（x+ ）-6 令y=x+ , x 2（x + ）-（x+ ）-6 = x 2（y -2）-y-6 = x （2y -y-10） =x （y+2）（2y-5） =x （x+ +2）（2x+ -5） = （x +2x+1） （2x -5x+2） =（x+1） （2x-1）（x-2） 令多项式f（x）=0,求出其根为x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）（x-x ） 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f（x）=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合