二次型及其应用 高等代数论文文档格式.doc

1、当为复数时,称为复二次型.设阶对称矩阵则元二次型可表示为下列矩阵形式:.其中.对称矩阵称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵.二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.如果二次型中只含有文字的平方项.即称为标准型.在高等代数的教材中, 还有以下关于二次型理论的结果.3. 一般二次型的应用3.1一般的元二次式的最值的判定与求法 一般的元二次多项式的形式为 （3.1）而（3.1）式存在最值的充要条件为 （3.2）存在最值（上式中）,故只需要对（3.2）进行讨论.定理14

2、 实元多项式（3.2）,它的矩阵为,秩为,对（3.2）式作非退化的线性替换,其中那么,（i）当半正定时:1 若,则（3.2）式存在最小值;2 若,一次项所含新变数均在平方项中出现,则（3.2）式有最小值;3 若,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则（3.2）式不存在最值. （ii）当半负定时:1 若,则（3.2）式存在最大值;2 若,一次项所含新变数均在平方项中出现, 则（3.2）式有最大值;（iii）不定,则（3.2）式不存在最值.证明 （i）令,则（3.2）式改写为: （3.3）因半正定,故存在可逆矩阵,使,对（3.3）式作非退化线性替换,变为 （3.4）其中,而,其中（1） 若,

3、这时（3.4）式变成等号成立当且仅当时取得,此时将代入得唯一一组的解,此即取最值的点.（2） 若,因正定,故的秩等于它的正惯性指数,即存在可逆矩阵,使,在非退化线性替换下,（3.4）式变为: （3.5）若一次项所含新字母均在平方项中出现,即至少有（3.5）式可变为个数的完全平方加一个常数,故存在最小值.（3）一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现,即中至少一个不为零不妨设,此时（3.5）式变为令取绝对值很大的负值,则上式的值会很小,故不存在最小值;又若取绝对值很大的正值,则上式的值将会很大,故不存在最大值.因此不存在最值.（ii）半负定,则半正定,利用（i）可得（ii）的结论成立.（iii）

4、不定,则存在可逆矩阵,使其中,均不为零否则,则半正定;则半负定,都与不定矛盾.这时（3.5）式变为令,而取任意的数,可以知道上式的值大于任何给的正数,故不存在最大值.令,而取任意大的数,则上式的值小于任何预先给定的负数,故不存在最小值.例14 讨论是否有最值.解 将上式的矩阵写出,对作合同变换得到它使主对角线上有一零故知,而对角线上其余的非零数全是正的, 故知半正定矩阵,是否存在极值还应看替换后的情形才能定.作线性替换,原多项式的二次齐次项部分变为,一次项部分为.所含字母,均在平方中出现,属于定理1中的情况,存在最小值.对变换后的多项式配方,得 .故当,时,上式有最小值.将,代入中,当, ,（

5、为任意常数）时,原式有最小值.3.2 n元二次型的特征方程的求法定义11 1）矩阵的阶子式:在一个矩阵中任意选定行列,位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的阶行列式,称为的一个阶子式; 2）矩阵的阶主子式:就是指行指标和列指标相同的阶子式.定理24 设元二次型为 （3.6）则元二次型的特征方程是其中是元二次型的矩阵的一切阶主子式之和.证明 根据行列式的性质,将行列式拆成个行列式之和,将其中的一个行列式设为,其余个行列式可依次有行列式的第列乘以代换的第列,行列式的第列和第列分别乘以代换的第列和第列，行列式的第列分别乘以代换的列依次类推.即其中是元二次型（3.6）的矩阵的一切阶主

6、子式之和.例2求四元二次型的特征方程.解 四元二次型的矩阵为,根据上述定理可知:所以, 四元二次型的特征方程为3.3二次型在因式分解中的应用定理34 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为2和符号差为0,或秩等于1.证明 必要性设1） 若两个一次多项式的系数成比例,即.不妨设,令则,即二次型的秩为1.2）若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设,令则再令则,故二次型的秩为2,符号差为0.充分性1） 若的秩为1,则经非退化线性替换使,其中.故2） 若的秩为2,符号差为零则可经非退化线性替换使其中,均为的一次齐次多项式,即,故可表示成两个一次齐次多项式的乘积.

7、例3 多项式在上能否分解？如果能,将其分解.解 考虑二次型其矩阵为则秩,由定理3知,能在上分解,则:也能在上分解.易得3.4 利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分利用二次型的正交变化可以方便地计算某些积分区域或曲面围成的特殊积分.例4 求，其中解 由上例知正交变换能够保持几何形状不变,所以椭球与椭球体积相同.记则4.结束语 随着人类社会的进步,科学技术的发展,经济全球化进程的日益加快,二次型的学习已被广泛的应用于自然科学、环境保护、工程技术、经济理论和经营管理等许多领域.尤其是在市场经济加速发展的今天,人们对二次型在实际中的应用更是取得了长足的进步,使人能够将主观决策通过客观规律加以改进,取得更大的效益.参考文献1 王萼方等编.高等代数（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.2 蒋尔雄等编.线性代数.北京：人民教育出版社，1978.3 徐仲等编.高等代数考研教案.西安：西北工业大学出版社，2009.4 陈凯等著。线性代数及应用。北京：水利电力出版社，1985.5 杨家骐等编。高等代数在初等数学中的应用.济南:山东教育出版社，1986.6 孙学波.基于正定二次型的一个不等式及其证明，鞍山科技大学学报，2004，27（4）：256-259.