追及问题讲座及练习答案.doc

1、追及问题精讲知识导航追及路程甲走的路程乙走的路程甲的速度追及时间乙的速度追及时间（甲的速度乙的速度）追及时间速度差追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差9060=30（千米）所以追及时间24030=8（小时）.【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时

2、，仍没有回到家）.解析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了405=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？ 405（6040）=10（分）答：哥哥10分钟可以追上弟弟.【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，乙每小时行驶15千米，甲每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短1510=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上： 10(1510)=2（小时）答：还需要2个小时.【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以

3、每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 （612）（786）=1(小时)答：通讯员1小时能赶上先谴队.例2：小明步行上学，每分钟行70米离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图：当爸爸开始追小明时，小明已经离家：7012=840(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”

4、，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短28070=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为28070=210 (米/分),爸爸追及的时间：840210=4(分钟)当爸爸追上小明时，小明已经出发12 + 4=16(分钟)，此时离家的距离是： 7016=1120 (米)【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?解析：哥哥出发的时候弟弟走了：405=200（米），哥哥追弟弟的追及时间为： 200(6540)=8（分钟），所以家离学校的距离为：8

5、65=520（米）.答：他们家离学校有520米。【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.解析：小强出发的时候小明走了5012=600（米），被小强追上时小明又走了：（1000600）50=8（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为： 10008=125（米/分钟）.答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。.例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？ 解析：小强走的时间是两部分，一部分是和小

6、季背向走的时间，另一部分是小强追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差路程差是两人相背运动的总路程：（60+70）3=390 (米)追及时间为：390(7060)=39(分钟)小强走的总路程为：70（39+3）=2940 (米)答：追上小季时小强共走了2940米【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？解析：要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：240060=40（分钟）小明所用的时间是：

7、4010=30(分钟)，小明每分钟走的米数是：240030=80 (米)答：小明每分钟走80米例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华求多少分钟后追上李华？解析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了52+2=12（分钟）李华在这段时间比王芳多走：7012=840(米)速度差为：11070=40 (米/分)王芳追上李华的时间是：84040=21（分钟）答：王芳追上李华的时间是21分钟。【巩固1】小王、小李共同整理

8、报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务一共有多少份报纸？解析：本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：7260=12（份/分钟）此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是6012=5（分钟）共整理报纸：5722=720（份）答：一共有720份报纸【巩固2】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B

9、地，求A、B两地的路程解析：根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为：342=68 (千米);追及时间为：68（3834）=17 (小时).A、B两地的路程为：3817=646 (千米).答：A、B两地的路程是646千米。例5:甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地A、B两地间的路程是多少？解析：由于甲车在途

10、中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：31=2(小时)，乙车2小时行的路程是：402=80 (千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：5040=10 (千米)，甲车所需的时间是：8010=8 (小时)，A、B两地间的路程是：508=400 (千米)答：A、B两地间的路程是400千米。【巩固1】甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小

11、时，乙车每小时行80千米甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解追及时间为：51=4 (小时),追及路程为：（9680）4=64 (千米),A、B两地间的距离为：96+64=160 (千米)答：A、B两地间的距离160千米。【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：（6528）4=148 (千米).答：甲乙两地相距1

12、48千米.例6：小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？解析：小明比小芳提前3分钟出发，则多走703=210（米）两家之间的所剩路程是1410210=1200 (米)，两人的速度和是70+80=150（米），走完所剩路程需：1200（70+80）=8（分）小明家距离学校70（8 + 3）=770（米）答：小明家距离学校有770米。【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小

13、时行15千米当小宇走了3千米后，小宙才出发当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？解析：追及时间：3（1512）=1 (小时)，此时距部队驻地还有：1615=1 (千米)当小宙追上小宇时，距部队驻地还有1千米例7：甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达求A、B两地间的距离解析：这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程方法一：如图：甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此：乙车到达时用了：82=6（小时)，此时路程差为：206=120(千米)，此时路程

14、差就是甲车2小时的路程，所以甲车速度为：1202=60(千米/小时)，A、B两地间的距离：608=480(千米)方法二：如图：假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：208=160(千米) 这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：1602=80(千米/小时) 乙车到达时用了：82=6 (小时) A、B两地间的距离：806=480 (千米)答：A、B两地间的距离是480千米。例8：龟、兔进行1000米的赛跑小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了

15、当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？解析：乌龟胜利了因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要4010=4(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要500100=5(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了乌龟跑到终点还要4010=4(分钟)，而小兔跑到终点还要10002100=5(分钟)，慢1分钟当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001=100(米)【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得

16、胜利呢？解析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了5010=500(米)，还剩1000500=500(米)，需要50050=10 (分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是： 1000100=10 (分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点答：兔子和乌龟同时到达终点例9：军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？解析：“我”舰追到A

17、岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间：（100010）（14701000）=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.【巩固】(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车在这辆车鸣笛时两车相距多少米？解析

18、：这是一道“追及问题”根据追及问题的公式，追及时间，路程差时间差由题意知，追及时间为5秒钟，也就是5（6060）小时两车相距距离为路程差，速度差为10890=18(千米/时)，也就是18000米/时，所以路程差为：1800053600=25(米)，所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米答：在这辆车鸣笛时两车相距25米例10：小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝小红、小蓝二人的速度各是多少？解析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差

19、为205=4(米)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于46=24(米)就是小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度综合列式计算如下：小蓝的速度为：20564=6(米/秒)，小红的速度为： 6+4=10(米/秒)【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙问：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间

20、，据此可求出他们的速度差为105=2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于24=8(米)，即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度综合列式计算如下：乙的速度为：10542=4（米）甲的速度为：105+4=6 (米/秒)例11：甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离.解析：先画图如下：若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走

21、C到D之间的路程，用时间应为：266=20（分）.同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50（26+6）=1600（米）. 所以，甲的速度为160020=80（米/分），由此可求出A、B间的距离： 50（26+6）（266）=80（米/分），（80+50）6=780（米）答：A、B 两地的距离是780米。例12：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400 米甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300 米处遇到乙，此时他们离开学校已经 30 分钟问：甲、乙每分钟各走多少米？解析：根据题意，画线段

22、图如下：方法一：30分钟内，二人的路程和：24002=4800(米)，因此速度和为：480030=160(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：2400+300=2700(米)，所以甲速度为：270030=90(米/分)，则乙速度为：16090=70(米/分)方法二：30分钟内，甲的路程为2400+300=2700(米)，乙走的路程为：24002100=300(米)，因此甲的速度为：270030=90(米/分)，乙的速度为：（2400300）30=70(米/分)答：甲每分钟走90米，乙每分钟走70米.课后练习1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时

23、行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？解析：平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵每小时比平平多走1714=3(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用63=2(小时)因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了172=34(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有4034=6(千米)答：距乙地还有6千米.2、 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少

24、千米？解析：慢车先行的路程是： 405=200(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是： 9040=50(千米)，追及的时间是： 20050=4(小时)，快车行至中点所行的路程是： 904=360(千米)，甲乙两地间的路程是： 3602=720(千米)答：甲乙两地相距720千米.3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？解析：同学们15分钟走7215=1080（米），即路程差然后根据速度差路程差追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟7

25、2米，就可以得出李老师的速度即10809+72=192（米）答：李老师每分钟要行192米才可以准时追上同学们.4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？解析：小李2小时走： 132=26（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人的路程差是266=20（千米）每小时小王追上小李1513=2（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即： 202=10（小时） 5、自行车队出发 12 分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点 9 千米处追上了自行车队，然后通信员

26、立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点 18 千米，求自行车队和摩托车的速度解析：在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18 + 9 )千米，而自行车所走的路程为(18 - 9 )千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的 3 倍( = (18 + 9) (18 - 9) )；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的 2 倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了 12 分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在 12 分钟内所走的路程，所以追及时间等于12 2 = 6 (分钟)；联系摩托车在距出发点 9 千米的地方追上自行车队可知：摩托车在

27、6 分钟内走了 9 千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了列式为：（18 + 9）（18 - 9）= 3 倍，12 （3 - 1）= 6 (分钟)，摩托车的速度为：9 6 = 1.5 (千米/分钟)，自行车的速度为：1.5 3 = 0.5 (千米/分钟)答：摩托车的速度为1.5 千米/分钟，自行车的速度为1.5 3 = 0.5 千米/分钟。6、在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？解析：此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，4002=200

28、（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。解：2小时=120分甲第一次追上乙所用的时间：4002（60-50）=20（分）甲第二次开始每追乙一次所用的时间：400（60-50）=40（分）甲从第二次开始追上乙多少次：（120-20）40=2次20秒甲共追上乙多少次：2+1=3（次）答：甲共追上乙3次。7、在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果

29、背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？解析：同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？解：3分20秒=200秒甲、乙的速度和：40040=10（米）甲、乙的速度差：400200=2（米）甲的速度为每秒多少米？（10+2）2=6（米）乙的速度为每秒多少米？（10-2）2=4（米）答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。- 11 -