首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫.docx

1、首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授

2、幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年

3、级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 首都师大王永晖教授幼小时期数学教育的真功夫整理版幼小时期是指，幼儿园和小学低年级时期，据科学家传记，很多人是在11岁以后，才开始对数学有严

4、肃的爱好的，即，开始踏上理性思维的征程。 可是，幼小时期有幼小时期的理性思维，不是没有，是表现形式跟11岁以后不太一样罢了。最基本的现象是，幼小阶段的理性思维精神，并不是完全通过数学课程表现的，相反，历史课程、地理课程乃至人文课程包含了大量的理性思维的要素，完全是这个阶段的孩子所能理解和吸收的。数学包含了很多“逻辑”方面的元素，但是孩子最早接触“逻辑”，其实并不是从数学开始，是从“家庭教育规则”开始的。家庭教育乃至学校教育中体现出来的规则，不就是“逻辑”么，孩子锻炼逻辑推理能力的过程，实际上就蕴含在这些日常生活的实践之中。幼教规则，不仅仅是让孩子们懂得做人的道理，更是孩子们最早接触到的“逻辑”

5、训练，懂得做事的道理。如果幼教规则不当，将会打击到孩子的逻辑推理能力的成长，所以，孩子逻辑能力不好，不一定是数学没学好，不一定是数学课程、数学老师出了问题，很可能源于家庭教育规则、学校教育规则方面的负面影响。这方面的内容，将会放在另外一篇文章“同理心的因和果”中，这里先行略过。幼小阶段的数学教育，因此不要希望把理性思维训练的内容大包大揽，那些更为深入，更能体现理性思维的数学内容，完全可以等到孩子11岁之后再开始练习。那么，这方面放手了，幼小阶段数学教育又应该重视什么方面的内容呢，只有“真功夫”、“硬功夫”，才值得教师/家长/孩子们真正投入。我在晨兴中心数学高手们的环境中熏染过多年，根据自己在数

6、学研究上的跋涉经验和对这些数学高手们的观察，将这种认识往回推，推到幼小教育阶段，认识到幼小阶段数学教育的真功夫，在于：A1. 对数学的集中注意力，以此基础最终发展成良好的自学习惯。A2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力，以此基础最终发展成坚韧的探索精神。说穿了，其实就是“态度建设”，“态度建设”是幼小教育的核心内容，A1和A2则是刻画了“态度建设”在幼小阶段数学教育方面的具体内涵。数学，恐怕是对集中注意力要求最高的一个学科，另外一个，可能是古典音乐。为什么说，这个是“硬功夫”呢，因为用这个标准来看，世界上很多成年人，终其一生从未跨进过数学的门槛。有些数学上早慧的天才，儿童时候最重要的表现

7、，并不在于比别人早学会数数，早学会加减乘除，而是在于他们对数学的集中注意力的量和质，是很多成年人终其一生也未达到的，这还不够“硬”吗。早慧儿童的家长们，应该考虑到这一点，要想的长远一些，要少做“横向比较”，即少跟同龄孩子去比，多做“纵向比较”，即在纵向的时间尺度上，预估孩子长大之后的各阶段表现，跟人类历史上积累下的经验去比较。普通家长们，容易理解A1的重要性，但是不易认识到自己孩子的A1-集中注意力，在数学上的难得，对其珍贵属性，没有充分的意识。人生路途上遇到珍宝，狂喜失态自然不对，但是碰巧拿到珍宝，有眼不识，随手一放，最后自己也忘了，想拿的时候找不出来，更是不对。早慧儿童，对数学产生出超常的

8、集中注意力，原因有很多种，有些可能像黄金，历久不败，有些则可能像流星，一闪而过。相反，有些孩子虽然发育的晚一些，但只要他们踏入了数学的这个门槛，终生走下去，得到真金，反而比流星式早慧的成就要大得多。是流星，还是黄金，我在晨兴中心那些环境下见到的数学高手们自然属于后者。但孩子小的时候，谁又能看出来呢，这方面原因很复杂，有成功的，有失败的。失手放过孩子流星式的闪光，或者漠视孩子黄金式的执著，只重视知识，只注重“横向比较”，不重视“态度建设”，不重视“纵向比较”，可能是后者的一个重要原因。相反，家长们如果能实施良善的教育方式，重视“态度建设”，也许能让流星不灭，让黄金不致埋没于土，将孩子对数学的这种

9、集中注意力，一直保存巩固下来。我们一会儿再谈，如何来做。现在再说 A2-数学敏感度，即知道哪里不懂的能力。孩子笨，见了题目，说自己不知道，不仅是诚实，这种孩子可教。相反的一些孩子，见了题目，随口说出答案，乱猜乱答，违反A2，缺少了数学敏感度，就很难教他们真正学会一个东西。这个观念，也是普通家长们容易忽略过去的，他们往往急于给孩子提供答案，结果养成孩子见了题目，就乱凑数的习惯。其实，不仅是家长们，很多专门做教育培训的商业机构，本质上也是违反了A2-数学敏感度原则，他们在周末举办奥数培训班，采用大容量授课的方式，那么难的题，在我看来，孩子能用一个学期做出来就非常不错了，这样的题却要在3个小时中讲出

10、10道左右。知识是囫囵吞枣地灌下去了，美其名曰，虽然没学会，但是扩大了知识面，混个脸熟。幼小阶段的数学教育，不能这么搞，它打掉的是孩子的数学敏感度，当然，注意力在那种授课方式中恐怕也难以长进。我现在为什么这么关注幼小教育呢，就是自己有了孩子，认识到学校在当今情况下很难提供满意的服务，将来肯定得靠校外培训，可是校外培训机构都是如此商业化操作，孩子是自己的，我只能为了孩子，将自己多年所学，倒推回去，为他们重新设立架构。确定了A1和A2的原则和重要地位之后，我们再来谈怎么做，其中的教学原则，跟普遍的幼教原则基本一致，这里复述一下：B1. 孩子是通过模仿来学习的。B2. 孩子是通过操练来思考的。B3.

11、 教育要符合孩子的身心成长节奏。把上面两条中“学习”和“思考”的位置对换，也是对的，自然语言只能达到一定程度的指示性，让人意会到了即可，我们就不咬文嚼字了。C1. 孩子提出数学问题时怎么办？C1-a. 我们希望孩子们在“态度建设”上进步，那么我们就要遵循B1-模仿的原则，自己首先做到对数学的那种“求索”态度。依此之见，孩子有数学问题了，问大人，大人立刻随口答出，就会看不到这个过程。相反，如果孩子问数学问题的时候，大人假装自己也不是很清楚，露出迷惑不解，苦苦思考的眼神，跟孩子对视，就能将孩子对数学未知的注意力，延长那么一会会儿，很多情况下，这么一会会儿的功夫，孩子就自己把答案说出来了。这种做法，

12、练习的就是孩子的态度，通过大人示范，让孩子模仿的不是知识，而是那种神情和态度。这样做，使得A1-集中注意力和A2-数学敏感度同时受益，一箭双雕。所以，我们不要替代孩子们解答问题，不要急于从逻辑理智上去帮他们解决问题，而是以身作则，让他们模仿，模仿我们面对数学难题时，困惑不解、钻研不休的那种神态/心态。数学上的东西，跟其他教育原理一样，重点不一定在于内容，更在于“心意”，全凭“心意”练功夫。如果不激发起孩子的求知欲，什么样的“辅导性方法”都是白搭的。C1-b. 家长宽容，不逼孩子，就是不逼他们搞形式主义，搞面子工程。孩子能学会数学，是本性具足，我们不会试图去教一个大猩猩学数学。孩子若挂心于数学，

13、注意力集中，完全有可能靠天性突破，家长横加干涉，反而有可能打乱了孩子的自然节奏。教师和家长们甚至可以为此降低数学内容的难度，不要过难，难得大学生都想不出来（很多小学奥数题目是这样的），那对孩子当然不好了。只要孩子愿意做简单的题，只要他不厌，就让他继续做，而不是马上跳到更难的题目阶段，急于求成的家长实际上是在打扰孩子而不自知，怎么可能在这种情况下保持住对数学的集中注意力和敏感度呢。对于稍微难一些的题目，当孩子在数学上表现出“笨”的时候，我们最重要的不是给他们答案或解法。家长们最简单、最基本的做法是，承认这种“笨”，容忍这种“笨”，就是承认数学上有未知的东西。急于让孩子知道答案，急于让孩子变聪明，

14、反而有可能降低了孩子在数学上的敏感度。数学能力，最重要的是发现“未知”，发现自己不会的地方在哪里的能力，一道难题，完全有必要翻来覆去的重复，不断地深入发现自己不会的地方真正在哪里。C1-c. 如果遇见聪明老师，那就更好了。聪明老师的一个重要教法是，帮助孩子们发现他不知道的“地方”，具体在哪里，如有可能，把它分解为数个小问题。如果幸遇天才学生，他们自己就能把不会的地方找出来，分解出来，学生有了如此高的敏感度，老师才能往深里教啊。这种教学方法，怎么指点，就得靠专业知识水平，而不是所谓的教学教法。C2. 正确对待心算能力，它既是重要的，同时又应该注意培育方式中的互动进程。心算能力是重要的，倘若心算不

15、好，什么东西都要算半天，就不可能把精神放在真正的推理上，小孩子性子急啊。一般来说，小孩子在11岁才开始对数学推理有敏感性，数学推理中还是需要大量的算功，之前没有把算功练过去，一个简单的消去法都做得累，还怎么谈后面的推理和理性思维呢。数学家传记也充分证明了“心算”的重要性，当然也有些特例，但我估计，那些特例之人，当属性子特别平稳扎实，从而仍符合A1-集中注意力原理，又靠天性，在A2-数学敏感度上有卓越的能力。相比于以前的时代，现在的公立学校和商业培训机构都很难真正花心思在心算训练上面。公立学校的老师费不起那个时间，哪敢推动孩子们天天练一遍百题计算。商业培训学校呢，这种东西又太简单，这么简单的东西

16、，怎么好卖出价钱呢，奇技淫巧才能有价码。普通家长们若是能知其理，就不会花钱让孩子走上歧途了，我以前博文中，曾讲述过自己的研究生在北京某教育培训学校（刚在美国Nasdaq上市）任教的经历，我根本不相信那种方法能让孩子们学懂数学，实在不行，还是家长们自己来吧。所以，学数学应该从心算开始，但是奇技淫巧般的各种速算法和珠心算则不必了，因为实用价值不高，而且容易跟A2-数学敏感度矛盾，很多速算法的原理，孩子未必能真懂。这里，推荐阴山英男的方法：百格计算，相当于中国传统的九九乘法表的变形。一些“新式”数学教育手法，侧重于对算术的理性解释，甚至因此否定心算的重要性。一些现代心理学实验已经发现，算术的基本概念

17、，被证明天然地存在于孩子的头脑里，至于抽象化的思维方式，也在不少敏感的孩子身上自发地表露。我们之所以能教会孩子数学，是因为他们天性具足，我们不会试图去教一个猩猩学数学的。因此，所谓的理性解释，老师所需要做的，最多只不过是把孩子们天生的算术认知习得，对应于公认的数学表达符号而已。我孩子，自己就知道1和1是2，我所要教他的只是，将“和”换成“+”，“是”换成“=”而已，符号对应而已，并不需要过多的理性解释，或者说理性解释到这个程度就行了，不用上升到所谓哲学的层次。幼小阶段的数学更像是智力体操，不需要太多的哲学化的理解，搞太多的花样，反而有可能适得其反。新式教育方法，注重孩子弄懂数学，这当然没什么错

18、，但是道理弄通之后，传统的心算练习，比如数数和背九九表，仍然是必须的，孩子需要大量的操练，只懂道理，不进行操练，就无法巩固孩子继续进步的基础。新式教育法，不能以己之是，批传统之非。我们说过，弄懂数学，其实就是让孩子们把人类世界通用的数学符号，跟他们天性中的数学概念，一一对应而已，我们那一代的教育，讲究数学的“双基训练”，将这个程序称之为“弄懂题意”，简单不玄乎。这方面可以举一些案例，前面的1和1是2，是最简单的，很多案例中，可以使用一些自然的器具，石子，枣核，乃至于自己的手指头。不管是使用石子，还是使用手指头，背后都蕴含着孩子天生的“推理”能力，通过石子、手指头外化出来而已，大人之所以能够很快

19、地算数，只不过是把这种推理能力，变成公知常识，记下来而已。等孩子经过大量练习，对这些“推理”非常熟悉之后，他们也会乐于将其变成“公知常识”记下来，那时候自然也就算得快了。所以，心算训练，要遵循刚才说过的原则，不要求急、求全，不必要强求孩子一下子把九九表全背下来，反而丧失了孩子探索求知，通过操练来思考的机会。一个孩子，很早就把九九表背诵如流，另一个孩子有点笨，通过大量的玩沙子、玩石子、玩树叶，才把算术学会，最终上学的时候，也能把九九表倒背如流。试问，这两个孩子，在数学上哪个更有前途，历史经验恐怕会告诉我们是后者。其中的道理有两条：1. 小孩笨，大人教可不能，小孩只能通过玩沙子、石子，自己学会数学

20、，最后不仅学到的是那些数学知识，更是在那个进程中养成了良好的自学适应和坚韧的探讨精神。2. 咱们说，两个小孩在上学的时候，都能把九九表滚瓜烂熟，但事实上极可能发生的情形是，前一个伶俐小孩，九九表的熟练操练能力，仍然停留在3、4岁的时候，很容易为粗心的大人忽略。后一个笨小孩，因为笨，反而多练习，结果上学以后的心算操练能力，极可能就比那些早慧小孩要高了。数学在讲究智力体操的一面时，另一面也超级值得注意，即，“创意”。一个小孩的自发心算游戏，其实就能够够表现出他们的创意，比如他们会问、会试探：两个2是多少，两个3是多少。两个8是多少，天啊，这不就是乘法吗。6=3+3=2+4=.=1+2+3=.，要把

21、所有可能的算式都写出来，这不就是数学上著名的Partition（分拆数）问题吗。家长们要舍得时间，让孩子们在这些创意上，进行练习，普通家长们很可能觉得孩子怎么老做这个简单的事啊，急匆匆地求难度，求全面，其实源于他们自己对数学学问所知甚浅，欣赏力反而不如孩子的直觉反应。具体的案例，这里就不多说了（博文版里还有几个），其实原理弄懂了，很多案例都非常简单，毕竟是小学数学吗。这里总结一下，幼小阶段的数学学习，既要注重操练，又要注重创意，二者如果能够结合起来是最好的，很多幼小阶段的数学创意，完全可以从孩子的直觉反应来找，也可以从数学发展的历史中来找。王教授专在数学，对华德福也很有研究，其博客及在豆瓣的小组值得认真体味