[精品]人教版中职数学教案-第六章--数列[7份教案].doc

1、6.1.1 数列的定义【教学目标】1. 理解数列的有关概念和通项公式的意义2. 了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力3. 使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣【教学重点】数列的概念及其通项公式【教学难点】数列通项公式的概念【教学方法】 这节课主要采用情景教学法利用多媒体，在教师的引导下，根据学生的认知水平，设计了创设情境引入概念，观察归纳形成概念，讨论研究深化概念，即时训练巩固新知等环节各步骤环环相扣，层层深入，引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1讲故事，感受数列2提出问题，引入新课我国有用十二生

2、肖纪年的习俗，每年都用一种动物来命名，12年轮回一次2009年（农历乙丑年）是21世纪的第一个牛年，请列出21世纪所有牛年的年份教师讲述古印度传说故事棋盘上的麦粒学生倾听故事，认识数列教师提出问题学生分组讨论，找出问题的答案创设情境，让学生认识数列，激发学生的好奇心，增强学生的学习兴趣提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开讨论新课新课新课1数列的定义把21世纪所有牛年的年份排成一列，得到2 009，2 021，2 033，2 045，2 057，2 069，2 081，2 093 像 这样按一定次序排列的一列数，叫做数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次

3、叫做这个数列的第1项 （或首项），第2项，第n项，比如，2 009是数列的第1项（或首项），2 093是数列的第8项举出一些数列的例子：大于3且小于11的自然数排成一列4，5，6，7，8，9，10； 正整数的倒数排成一列1，； 精确到1，0.1，0.01，0.001，的近似值排成一列1，1.4，1.41，1.414，； 1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，排成一列1，1，1，1，1，； 无穷多个2排成一列2，2，2，2，； 这些都是数列2数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列练习 （1）已知数列， 则3是它的第 项（2）已知数列1，(1)n+1，那么它的第10项是（

4、）（A）1 （B）1（C） （D）3数列的一般形式数列从第一项开始，按顺序与正整数对应所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，其中，an是数列的第n项，叫做数列的通项，n叫做an的序号整个数列可记作an4数列的通项公式如果an（n=1，2，3，）与n之间的关系可用an = f ( n )来表示，那么这个关系式叫做这个数列的通项公式，其中n的取值是正整数集的一个子集由此可知，数列的通项可以看成以正整数集的子集为定义域的函数例如，数列1，可记作，其通项公式为an = ，n N+如果数列通项的定义域是正整数集，定义域通常略去不写教师在学生探究的基础上，给出问题的答案教师板书定义教师出示一组

5、数列的例子师：数列4，5，6，7，8，9，10；与10，9，8，7，6，5，4是不同的数列而集合4，5，6，7，8，9，10与10，9，8，7，6，5，4是相同的集合强调数列的有序性，集合元素的无序性教师利用上面举过的例子，讲解 “数列的分类”请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列：是有穷数列，是无穷数列同桌之间讨论，完成练习教师巡视指导观察数列1， ， ， ，教师提出问题：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？学生分组讨论对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 序号 1 2 3 4这个数列的每一项与这一项的序号可用公式an = 来

6、表示其对应关系强调数列的“有序性”，使学生对数列定义有更深刻的认识，又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔重视举例这一环节，调动学生的思维，发挥学生的主动性，加深对数列定义的理解观察实例，培养学生分类能力通过练习，让学生进一步掌握数列的定义培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力小结本节课主要学习了以下内容：1数列的定义；2数列的分类；3数列的通项公式 学生阅读课本P3P5上半部分，畅谈本节课的收获，教师引导梳理，总结本节课的知识点培养学生自己归纳、总结的学习习惯作业教材P4，探索与研究学生课后完成巩固拓展6.1.2 数列的通项【教学目标】1. 理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的

7、任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式2. 了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项3. 培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力【教学重点】数列的通项公式及其应用【教学难点】根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式【教学方法】本节课主要采用例题解决法通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入 数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列注意：（1）数列中的数是按一定次序排列的；（2）同一个数在数列中可以重复出现2

8、. 数列的一般形式数列a1，a2，a3，an，可记作 an 3. 数列的通项公式：如果数列 an 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式教师引导学生复习为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备新课新课新课新课如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，去代替公式中的n，就可求出数列中的各项例1 根据通项公式，写出下面数列 an 的前5项：（1）an = ；（2）an = (1)n n . 解 （1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为 ， ， ，；（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4

9、，5，得到数列的前5项为1，2，3，4，5练习一根据下列数列an的通项公式，写出它的前5项：（1）an = n3；（2）an = 5(1)n+1 .练习二根据下列数列an的通项公式，写出它的第7项和第10项：（1）an = ；（2）an = n (n+2)；（3）an = ；（4）an = 2n+3 .例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2），；（3） ， ， ， 解 （1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an = 2n1；（2）数列的前四项，分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是

10、 an = = ；（3）数列的前四项 ，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an = 总结：（1）当一个数列中的数依次出现“”“”相间时，应先把符号分离出来，用(1)n或(1)n+1等来表示（2）认真观察各数列所给出的项，寻求各项与序号的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式练习三（1）已知一个数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是 （2）数列，的一个通项公式是（ ）（A） （B）（C）（D）例3 已知数列an的第1项是1，以后各项由公式an = 1（n2）给出，写出这个数列的前5项例3中的函数表达式，表达的是任一项an与它的前一项an-1的关

11、系，这样的关系式叫做数列的递推公式解 不难得出a1 = 1；a2 = 1 = 1 = 2；a3 = 1 = 1 = ；a4 = 1 = 1 = ；a5 = 1 = 1 = 练习四（1）已知数列an，其中a1=1 981，an = an112，n2，写出这个数列的前5项（2）已知数列an中，a5 = 2009，an = an112，n2求a1学生解答例题师：你能总结一下这类题目的解决方法吗？学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程请学生在黑板上做练习一和练习二老师巡视指导师生共同订正答案教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：项 1 3 5 7 序号 1 2 3

12、 4师：你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？学生探究找出规律：数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1师：如何用含有n的式子来表示第n项an？教师对学生的回答给以点评，板书解题过程学生根据（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题教师巡视指导教师说明数列的通项公式可以不止一个教师引导学生总结师：当一个数列中的数依次出现“”“” 相间时，应如何解决？师：根据数列的前几项，写数列的一个通项公式的方法是什么？学生合作探究，完成练习教师巡视指导师生共同订正答案教师出示例3，引导、点拨师：数列中， an 项与an-1项是什么关系？引导学生得出：是任一项与前一项的关系教师给出递推公式

13、的定义学生分组探究教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性请学生在黑板上做题教师巡视指导、订正将例题直接当作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验探索与成功的快乐由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的关系最后教师引导学生结论培养学生的合作探究意识和创新意识学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性

14、评价培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力培养学生积极实践、科学探究的学习态度加强练习，体会递推公式的应用小结三类题目：（1）由数列的通项公式写出数列某一项；（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项学生阅读课本P5P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结作业教材P8，习题第5，6，7题学生课后完成巩固拓展6.2.1 等差数列的概念【教学目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中

15、项的概念2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想【教学重点】等差数列的概念及其通项公式【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量教师出示引例

16、，并提出问题学生探究、解答希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程新课新课新课新课新课新课从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为4，5，6，7，8，9，10.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 练习一抢答：下列数列是否为等差数列？1，2，4，6，8，10，12，；0，1，2，3，4，5，6，；3，3，3，3，3，3，3，；2，4，7，11，16，；8，6，4，0，2，4，；3，0，3，6，9，注意：求

17、公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项2常数列特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，也是等差数列，它的公差为0公差为0的数列叫做常数列3等差数列的通项公式首项是a1，公差是d的等差数列an的通项公式可以表示为ana1(n1)d4通项公式的应用根据这个通项公式，只要已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个例1 求等差数列8，5，2，的通项公式和第20项解 因为a1= 8，d = 58=3，所以这个数列的通项公式是an = 8+(n-1)(-3)，即an = 3n + 11所以a20 = 320 + 11 =

18、-49.例2 等差数列5，9，13，的第多少项是401？解 因为a1= 5，而且d = 9(5)=4，an = 401，所以 401= 5+ (n1)(4)解得 n=100即这个数列的第100项是401练习二（1）求等差数列3，7，11，的第4，7，10项（2）求等差数列10，8，6，的第20项练习三 在等差数列an中：（1）d = ，a7 = 8，求a1；（2）a1 = 12，a6 = 27，求d例3 在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列，求A解 因为3，A，7成等差数列，所以A3 = 7A，2A = 3 + 7解得A=55等差中项的定义一般地，如果a，A，b 成等差数列，那么A

19、 叫做a与b的等差中项6等差中项公式如果A 是a与b的等差中项，则A = 这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数7一个结论在等差数列a1，a2，a3，an，中，a2 = ，a3 = ， an = ，这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项练习四 求下列各组数的等差中项：（1）732与136；（2）与42例4 已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项解 因为a 3 = 5，a 8 = 20，根据通项公式得整理，得解此方程组，得a1 = 1，d = 3所以a25 = 1+(251)3 = 71.强调：已知首项

20、a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an练习五（1）已知等差数列an 中，a1 = 3，an = 21，d = 2，求n（2）已知等差数列an 中，a4 = 10，a5 = 6，求a8 和d例5 梯子的最高一级是33 cm，最低一级是89 cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度解 用an 表示题中的等差数列已知a1= 33，an = 89，n = 9，则a9 = 33+(91)d ，即89 = 33 + 8d，解得d = 7于是a2 = 33 + 7 = 40，a3 = 40 + 7 = 47，a4 = 47 + 7 = 54，a5 = 54 + 7 = 61，a6 =

21、61 + 7 = 68，a7 = 68 + 7 = 75，a8 = 75 + 7 = 82即梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列求证：它们的比是345证明 设这个直角三角形的三边长分别为ad，a，a+d根据勾股定理，得(ad)2 + a2 =(a+d)2解得a = 4d 于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是345师：请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？学生观察、回答教师总结特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数

22、（即等差）我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列教师板书定义师：等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？教师出示题目学生思考、抢答师：你能说出练习一中，各等差数列的公差吗？学生说出各题的公差d教师订正并强调求公差应注意的问题师：已知一个等差数列an的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？学生分组探究，填空，归纳总结通项公式a2a1 + d，a3= + d = + d= a1 + d，a4= + d = + d= a1 + d，an = a1 + d师：一个等差数列的各项，已知 和 就可以确定下来？师：等差数列的通项公式中共有几个变量？教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎

23、么求？学生思考、说出已知、所求，代入通项公式强调：通项公式是用含有n 的式子表示 an 学生尝试解答后，师生共同板书解题过程仿照例1，教师引导、点拨学生解答多媒体出示解题过程学生核对、订正教师强调解题过程要规范、严谨学生练习请学生在黑板上做题教师巡视指导师生共同订正教师出示例题学生同桌之间合作探究学生分析解题思路教师出示答案，订正师：在a与b 之间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列你能用a，b 来表示A 吗？学生探究、回答教师订正学生的回答，给出等差中项的定义和公式师：你能用文字描述一下这个式子的含义吗？师：在等差数列1，3，5，7，9，11，13，中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？

24、学生分组合作探究，得出结论师：能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？学生继续分组合作探究教师总结学生的回答，给出结论学生做练习学生回答各题结果，统一订正答案教师出示例题学生分组合作探究教师点拨、引导：（1）例题给出了哪些量？如何用数列符号表示？（2）例题中的所求量是什么？需要知道哪些条件？教师总结学生思路，给出解题过程学生自主练习教师巡视指导请个别学生在黑板上做题后，师生共同订正教师出示例题引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示学生解答教师巡视指导教师出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整教师出示例题，提示点拨：当已知三个数成等差数列时，可将这三个数表示为ad，a，a+d，其中d 是公差由于这样具有对称性，运算时往往容易化简学生根据教师的提示，分组探究请学生在黑板上做题教师引导学生订正解题过程，规范解题步骤由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生