数学复习让我们一起领略反比例函数的神奇.docx

1、数学复习让我们一起领略反比例函数的神奇数学复习让我们一起领略反比例函数的神奇让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下的几何意义（面积），例如20XX年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法”，并非专门深入研究反比例函数. 3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解

2、数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题:如图，的顶点(，)，双曲线经过 点、，当以、为顶点的三角形与的相似时，则. 1.常规性解法： 通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条列方程： (1)利用、或列方程；(2)利用列方程； (3)利用“一线三等角”模型、和列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性.但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！

3、 2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质： 过点作轴于，连接，直线分别交 坐标轴于点、.则有； ，； ，. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）： 由，可得， 即，于是， (3)我一个同事的解法（斜边转直比）： 由，可得， 转为横比，因此， (4)我一个学生的解法（斜等转直等）： 由得，则， (5)我的第二种解法（平行导角度）： 由得，于是， (6)下面我们要着重解决两事： 上述性质是否永远成立？证明？ 解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.

4、三、探究性质1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.如图1，若，则； 如图2，若，则 ； 如图3，若，则 ， 直线与的位置关系是 ，与的大小关系 .图1图2图3 2.如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于 点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系. 如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及线段与的大小关系.图1图2 四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线反比例函数()图象交直线于点、，且，则的值为. (1)常规方法（斜长转直长）： ，则， 可设(，)，则(，)，列方程解决； (2)口算巧解

5、（斜边转直比）： 由，得，转为横比得， ，则， 2.同类变式题： 如图，直线交坐标轴于点、，双曲线交直线于点、.若，则的值为； 3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，20XX/3/29）如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于， 分别交，轴于，. (1)求的面积； (2)求证：. 4.原创清新小题和近年的中考题： (1)如图1，的面积为，则的值为 . (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，. 在运动过程中，的面积是不是定值？ 答： ； 若，且是正三角形，则点的坐标为 . (3)如图3，中，双曲线经过点和中点，则该双 曲线的解析式为 . (4)如图4，直线与分别与

6、双曲线交于点、， 则的值为. 图1 图2图3图4 (5)(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为. (6)如图6，双曲线与直线交于点、. (原创、铺垫)若、，且，则； (常州模拟改编)若，且，则 ； (杭州模拟改编)若，且，则 . (7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线 的解析式为，交矩形边于，则 . 图5图6图7五、面积比、边比互转1.(原创、铺垫)如图1，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为； (成都)如图1，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为. 2.(无锡)如图2，轴，轴，

7、双曲线过点、，且，已知的面积为，则的值为. 图1图1图3 3.(宁波)如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点， 连接，则的面积为 . 4.(丽水)如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的横坐标为.用含的式子表示； 若与四边形的面积和为，则 . 5.如图5，双曲线与直线交于点、.(常州模拟)若，且，则 ； (改编自)若、，且，则. 图3图4图5 6.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰 好经过点，且，则 . 7.如图7，双曲线过点，过点，若，均与轴平行， ，且它们之间的距离长为，则 . 8.如图8，直线交双曲线于点，若，则 . 图6图7图8 9.如图，点在双曲线上，轴，延长线交轴

8、于，若 的面积为，则的值为 . 10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的正半轴和负半轴上，是的中点，若面积是的倍，则的值为. 六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1.如图1，中，双曲线经过点、，且点的纵坐标为，则的值为 . (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全 等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得. (2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧 合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究 (3)探究(20XX临沭模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，若 设点的坐标

9、为(，)，且有，则 . 图1图2图3 2.类似题： (20XX临海模拟填空压轴题) 如图， ，双曲线经过 点，双曲线经过点，已知点的纵坐标 为，则 ，点的坐标为 . (个人原创)如图2，中， 双曲线经过点，双曲线经过点，且 点的纵坐标为，则的值为 . 3.难题展示（常州于新华老师原创题）(1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴 垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在 轴上的点处. 求点的坐标. (2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴 垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在 轴上的点处. 求点的坐标. 图1图2 4.如图，矩形

10、的边的解析式为，顶点，在双曲线上. 若，则点的坐标为 ； 连接，若是等边三角形， 则 . 后感：若能发现，本题将更简单！拓展：如图，正方形的顶点、在双曲线上，、在双曲线上，则正方形的面积为. 5.(20XX湖州模拟) 如图1，矩形的顶点、在双曲线上，若点(，)，则点的坐标为. 6.如图2，矩形中，点(，)，点，在双曲线上，若为 中点，则的值为 . 图1图2 7.如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为 ； 如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也 在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为 ； 如图3，点，在双曲线上运动，以为底

11、作等腰，点在另一 双曲线上运动，若，请用，表示 . 图1图2图3 七、平行导角度，角度导比例1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作轴，连接并延长，交双曲线于点.求证：； 求的值. 根据本题的发现，改编了一个清新小题： 如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该 双曲线于点，分别交轴，轴于点，若，. 求的值. 2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.求的值.3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、.若设，则. 4.如图，双曲线经过点、，求证：.八、纯面积推导1.如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于，分别交，轴于，. 求证：. (此方法感谢江苏于新华老师的指导！) 2.(20XX菏泽)如图，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线 段与点，求与的面积之差. 后感：题中条“，均是等腰直角三角形”可改变？ 写出，的关系： . 3.(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为. 4.(常州)如图1，双曲线经过点、，且，求的值；5.如图2，双曲线经过点、，求证：. 图1图2