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1、18组实验四王栩灿肖凌峰张皓实验四 傅里叶变换及频率滤波时间：2017.11.3 组员：王栩灿/肖凌峰/张皓 第18组一、实验目的1.了解傅里叶变换在图像处理中的应用；2.掌握频率滤波的原理和特点；3.掌握傅里叶变换的基本性质；4.通过实验了解二维频谱的分布特点。二、实验内容 1. 构造同时包含50Hz和120Hz的正弦信号进行傅里叶变换并分析。2. 以高斯光束为例（自己选的例子亦可），利用matlab实现二维图像的傅里叶变换，选取不同的抽样间隔，观察抽样间隔对结果的影响并分析。3. 对某一图像(如lena.jpg）（1）编程实现图像的理想低通、高斯低通、布特沃斯低通滤波，分析不同的截止频率对

2、滤波后图像的影响。（2）编程实现图像的理想高通、高斯高通、布特沃斯高通滤波，分析不同的截止频率对滤波后图像的影响。（3）在空域中实现高斯低通滤波，并与频域的结果进行比较。4. 利用FFT实现二维高斯光束的菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射，并分析光束在不同传输距离上的衍射图样（传输距离自定，至少三个数值说明即可）。利用一幅图像进行菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射后会是什么样子？三、实验原理快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT）将其频域也离散化成有限长序列。但其计算量太大，很难实时地处理问题，因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DF

3、T）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基2DIT和基2DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅立叶变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。FFT的基本思想是把原始的N点序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子 所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DF

4、T并进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算和简化结构的目的。此后，在这思想基础上又开发了高基和分裂基等快速算法，随着数字技术的高速发展，1976年出现建立在数论和多项式理论基础上的维诺格勒傅里叶变换算法(WFTA）和素因子傅里叶变换算法。它们的共同特点是，当N是素数时，可以将DFT算转化为求循环卷积，从而更进一步减少乘法次数，提高速度。理想低通/高通滤波器是一种假想的低通/高通滤波器，其对于高于/低于截止频率的信号完全截止，而对于低于/高于截止频率的信号完全无失真传输。布特沃斯低通/高通滤波器截止频率位于距原点D0的n阶布特沃斯滤波器（BLPF）的传递函数定义为与IFPF 不同，BLPF

5、并没有字通过频率和滤除频率之间给出明显截止的急剧不连续性。且空间域的一阶布特沃斯滤波器没有振铃现象。高斯低通/高通滤波器高斯滤波器的二维形式由下式给出：Fresnel衍射与Fraunhofer衍射在光学里，菲涅耳衍射（Fresnel diffraction）指的是光波在近场区域的衍射，即光源或衍射的图样的屏与衍射孔(障碍物)的距离是有限的。菲涅耳衍射积分式可以用来计算光波在近场区域的传播，因法国物理学者奥古斯丁菲涅耳而命名，是基尔霍夫衍射公式的近似。夫琅禾费衍射是指把单色点光源放在透镜的焦点上，经过透镜后的单色平行光垂直照射衍射屏时，在屏后面不同距离上会观察到一些衍射现象，其中当屏远离到足够大

6、的距离后，光斑中心出现一个较大的亮斑，外围是一些较弱的明暗相间的同心圆环，此后再往外移动，衍射花样出现稳定分布，中心处总是亮的，只是半径不断扩大而已，这种衍射称为夫琅禾费衍射，又称远场衍射（而当距离较近时为菲涅尔衍射，较近时没有夫琅禾费衍射）。4、实验程序与结果构造同时包含50Hz和120Hz的正弦信号进行傅里叶变换并分析。主程序f1 = fun_GenSinWave(1000,1000,50);%plot(f1);f2 = fun_GenSinWave(1000,1000,120);%figure;plot(f2);f = f1+f2;y = fft(f);figure;plot(y);正弦

7、波生成函数function output = fun_GenSinWave(fs,N,f)%part one ,generate 50Hz and 100Hz sin signal and do Fourier changefsm = fs;%采样频率Ns = N;n = 0:N-1;t = n/fs;f1 = f;x = sin(2*pi*f1*t);可以看到不同的频率在做傅里叶变换后被区分开来。以高斯光束为例（自己选的例子亦可），利用matlab实现二维图像的傅里叶变换，选取不同的抽样间隔，观察抽样间隔对结果的影响并分析。采用lena图像进行二维傅里叶变换主程序：%二维傅里叶变换f=imr

8、ead(lena512color.tiff);%以lena图为例f=rgb2gray(f);%转为灰度图f=double(f);%转为double值 F1 = fft2(f);%使用MATLAB库傅里叶变换函数F1=abs(F1);F1=fftshift(F1);%浮点移动到中央位置F1=log10(F1);F1=uint8(F1);%取对数，恢复至无符号八位整形imshow(F1,)%显示图像。imwrite(F1,lenaDFT1.jpg); F2 = downsample(f,2);%使用downsample函数进行降采样F2 = fft2(f);%使用MATLAB库傅里叶变换函数F2=

9、abs(F2);F2=fftshift(F2);%浮点移动到中央位置F2=log10(F2);F2=uint8(F2);%取对数，恢复至无符号八位整形figure,imshow(F2,)%显示图像。imwrite(F2,lenaDFT2.jpg);原图像二维傅里叶变换后图像 二维傅里叶变换后图像（降采样）采用了matlab库函数中的快速傅里叶变换函数（FFT）进行变换，虽然从结果图上不易看到降采样产生的影响，但是在查看图像的矩阵中数值时可以观察到像元的值是不一样的。对某一图像(如lena.jpg）（1）编程实现图像的理想低通、高斯低通、布特沃斯低通滤波，分析不同的截止频率对滤波后图像的影响。（

10、2）编程实现图像的理想高通、高斯高通、布特沃斯高通滤波，分析不同的截止频率对滤波后图像的影响。主程序：clear allclcf=imread(图3-5 lena.jpg);R1=30;R2=90;R3=160;f=double(f);F=fft2(f);F=fftshift(F);%原图像的傅里叶逆变换%-理想低通滤波- Lowpass_Filters1=fun_Lowpass_Filters(F,R1);imwrite(Lowpass_Filters1,R=30的理想低通滤波.bmp);Lowpass_Filters2=fun_Lowpass_Filters(F,R2);imwrite(L

11、owpass_Filters2,R=90的理想低通滤波.bmp);Lowpass_Filters3=fun_Lowpass_Filters(F,R3);imwrite(Lowpass_Filters3,R=160的理想低通滤波.bmp);%-理想高通滤波- Highpass_Filters1=fun_Highpass_Filters(F,R1);imwrite(Highpass_Filters1,R=30的理想高通滤波.bmp);Highpass_Filters2=fun_Highpass_Filters(F,R2);imwrite(Highpass_Filters2,R=90的理想高通滤波.

12、bmp);Highpass_Filters3=fun_Highpass_Filters(F,R3);imwrite(Highpass_Filters3,R=160的理想高通滤波.bmp);%-高斯低通滤波- Gaussian_Lowpass_Filters1=fun_Gaussian_Lowpass_Filters(F,R1);imwrite(Gaussian_Lowpass_Filters1,R=30的高斯低通滤波.bmp);Gaussian_Lowpass_Filters2=fun_Gaussian_Lowpass_Filters(F,R2);imwrite(Gaussian_Lowpas

13、s_Filters2,R=90的高斯低通滤波.bmp);Gaussian_Lowpass_Filters3=fun_Gaussian_Lowpass_Filters(F,R3);imwrite(Gaussian_Lowpass_Filters3,R=160的高斯低通滤波.bmp);%-高斯高通滤波- Gaussian_Highpass_Filters1=fun_Gaussian_Highpass_Filters(F,R1);imwrite(Gaussian_Highpass_Filters1,R=30的高斯高通滤波.bmp);Gaussian_Highpass_Filters2=fun_Gau

14、ssian_Highpass_Filters(F,R2);imwrite(Gaussian_Highpass_Filters2,R=90的高斯高通滤波.bmp);Gaussian_Highpass_Filters3=fun_Gaussian_Highpass_Filters(F,R3);imwrite(Gaussian_Highpass_Filters3,R=160的高斯高通滤波.bmp);%-布特沃斯低通滤波-Butterworth_Lowpass_Filters1=fun_Butterworth_Lowpass_Filters(F,R1);imwrite(Butterworth_Lowpa

15、ss_Filters1,R=30的布特沃斯低通滤波.bmp);Butterworth_Lowpass_Filters2=fun_Butterworth_Lowpass_Filters(F,R2);imwrite(Butterworth_Lowpass_Filters1,R=90的布特沃斯低通滤波.bmp);Butterworth_Lowpass_Filters3=fun_Butterworth_Lowpass_Filters(F,R3);imwrite(Butterworth_Lowpass_Filters1,R=160的布特沃斯低通滤波.bmp);%-布特沃斯高通滤波-Butterworth

16、_Highpass_Filters1=fun_Butterworth_Highpass_Filters(F,R1);imwrite(Butterworth_Highpass_Filters1,R=30的布特沃斯高通滤波.bmp);Butterworth_Highpass_Filters2=fun_Butterworth_Highpass_Filters(F,R2);imwrite(Butterworth_Highpass_Filters2,R=90的布特沃斯高通滤波.bmp);Butterworth_Highpass_Filters3=fun_Butterworth_Highpass_Filt

17、ers(F,R3);imwrite(Butterworth_Highpass_Filters3,R=160的布特沃斯高通滤波.bmp);使用的自定义函数理想低通/高通functionoutput=fun_Highpass_Filters(H_Image,R)%-变量-%Image 读取的图像%R 理想低通滤波的半径Low=H_Image;r=R;M,N=size(Low); h=zeros(M,N);m=round(M/2);n=round(N/2);for i=1:M for j=1:N S=sqrt(i-m)2+(j-n)2); if S=r h(i,j)=1; else h(i,j)=0

18、; end endendLowpass_Filters=h.*Low; %理想低通滤波Lowpass_Filters=uint8(real(ifft2(ifftshift(Lowpass_Filters);figure(Name,理想低通滤波);imshow(Lowpass_Filters);output=Lowpass_Filters;functionoutput=fun_Highpass_Filters(H_Image,R)%-变量-%Image 读取的图像%R 理想高通滤波的半径High=H_Image;r=R;M,N=size(High); h=zeros(M,N);m=round(M

19、/2);n=round(N/2);for i=1:M for j=1:N S=sqrt(i-m)2+(j-n)2); if S=r h(i,j)=0; else h(i,j)=1; end endendHighpass_Filters=h.*High; %理想低通滤波Highpass_Filters=uint8(real(ifft2(ifftshift(Highpass_Filters);figure(Name,理想高通滤波);imshow(Highpass_Filters);output=Highpass_Filters;高斯低通/高通functionoutput=fun_Gaussian_

20、Lowpass_Filters(G_Image,R)%-变量-%H_Image 经过傅里叶变换处理的图像%R 高斯低通滤波的半径Gaussian_Lowpass=G_Image;M,N=size(Gaussian_Lowpass); m1=fix(M/2); n1=fix(N/2); r=R;for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m1)2+(j-n1)2); G_H(i,j)=exp(-d2/2/r2); end end Gaussian_Lowpass_Filters=Gaussian_Lowpass.*G_H; Gaussian_Lowpass_Filters=ifft

21、shift(Gaussian_Lowpass_Filters); Gaussian_Lowpass_Filters=ifft2(Gaussian_Lowpass_Filters); Gaussian_Lowpass_Filters=mat2gray(real(Gaussian_Lowpass_Filters); figure(Name,高斯低通滤波);imshow(Gaussian_Lowpass_Filters);output=Gaussian_Lowpass_Filters;functionoutput=fun_Gaussian_Highpass_Filters(G_Image,R)%-变

22、量-%H_Image 经过傅里叶变换处理的图像%R 高斯高通滤波的半径Gaussian_Highpass=G_Image;M,N=size(Gaussian_Highpass); m1=fix(M/2); n1=fix(N/2); r=R;for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m1)2+(j-n1)2); G_Hh(i,j)=1-exp(-d2/2/r2); end end Gaussian_Highpass_Filters=Gaussian_Highpass.*G_Hh; Gaussian_Highpass_Filters=ifftshift(Gaussian_Highp

23、ass_Filters); Gaussian_Highpass_Filters=ifft2(Gaussian_Highpass_Filters); Gaussian_Highpass_Filters=mat2gray(real(Gaussian_Highpass_Filters); figure(Name,高斯高通滤波);imshow(Gaussian_Highpass_Filters);output=Gaussian_Highpass_Filters;布特沃斯低通/高通functionoutput=fun_Butterworth_Lowpass_Filters(B_Image,R)%-变量-

24、%B_Image 经过傅里叶变换处理的图像%R 布特沃斯低通滤波的半径Butterworth_Lowpass=B_Image;M,N=size(Butterworth_Lowpass);r=R;m2=fix(M/2);n2=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m2)2+(j-n2)2); B_Hl=1/(1+(d/r)(2*2); resultBl(i,j)=B_Hl*Butterworth_Lowpass(i,j); endendButterworth_Lowpass_Filters=ifftshift(resultBl);Butterworth_Lo

25、wpass_Filters=ifft2(Butterworth_Lowpass_Filters);Butterworth_Lowpass_Filters=uint8(real(Butterworth_Lowpass_Filters);figure(Name,布特沃斯低通滤波);imshow(Butterworth_Lowpass_Filters);output=Butterworth_Lowpass_Filters;functionoutput=fun_Butterworth_Highpass_Filters(B_Image,R)%-变量-%B_Image 经过傅里叶变换处理的图像%R 布特沃

26、斯高通滤波的半径Butterworth_Highpass=B_Image;M,N=size(Butterworth_Highpass);r=R;m2=fix(M/2);n2=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m2)2+(j-n2)2); B_HH=1/(1+(r/d)(2*2); resultBH(i,j)=B_HH*Butterworth_Highpass(i,j); endendButterworth_Highpass_Filters=ifftshift(resultBH);Butterworth_Highpass_Filters=ifft2(Bu

27、tterworth_Highpass_Filters);Butterworth_Highpass_Filters=uint8(real(Butterworth_Highpass_Filters);figure(Name,布特沃斯高通滤波);imshow(Butterworth_Highpass_Filters);output=Butterworth_Highpass_Filters;结果图：理想低通滤波半径R3090160图片理想高通滤波半径R3090160图片布特沃斯低通滤波半径R3090160图片布特沃斯高通滤波半径R3090160图片高斯低通滤波半径R3090160图片高斯高通滤波半径R3090160图片（3）在空域中实现高斯低通滤波，并与频域的结果进行比较。空域高斯滤波（R=90）比较可以得出，相对于频率域高斯滤波，空域高斯滤波得到的图像灰度值较高一些。4. 利用FFT实现二维高斯光束的菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射，并分析光束在不同传输距离上的衍射图样（传输距离自定，至少三个数值说明即可）。实验主程序由于版本不同及兼容问题汉字部分会变成乱码，源程序可看。%=% % % % % = clear all;clc;