非正弦交流电路Word格式.docx

1、A , Bk称为傅里叶系数，由如下公式计算得出: （直流分量）A。是f （t）一周期时间内的平均值，称直流分量。 k 1的正弦波，称为基波； k 2的正弦波，称为二次谐波； k n的正弦波，称为n次谐波。当k为奇数时，称为奇次谐波；k为偶数时，称为偶次谐波。非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级 数。常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示， 以供查用。常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式f （t）波形图f （x）傅里叶级数展开式1血:1.C 卬二A 2 2f （t） m

2、（1 sin t cos2 t cos4 t L ）2 3 15N S 3窄*狄利赫利条件：f（t）在T , T或o, T区间，（1）除有限个第一类间断点外，其余各点 2 2连续；（2）只有有限个极点。AmrrT 旅2 2 2 2f （t） Am （1 cos2 t cos4 t cos6 t L ）3 15 35血4 1 1f （t） Am（sin t sin3 t -sin5 t L ）3 523. *h2 1 1f （t） Am（sin t -sin2 t -sin3 t L ）2 3JF長A恥1 1 1 1f （t）州（sin t -sin2 t -sin3 t L ）2 2 32jf

3、 4jt八g8 1 1f （t） Am （sin t -sin 3 t si n5 t L ）2 9 254/13f （t） pAm（cos t 一 cos3 t cos5 t L ）9 25aL-F w f （t） Am（sin sin t - sin3 sin3 t sin 5 sin5 t L ）3/3 1 1 1 1f （t） Af（ 一 cos3 t cos6 t cos9 t L ）2 8 35 80（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。在对称波形中，傅里叶级 数中，有些谐波分量（包括直流分量。因直流分量是k 0的零次谐波分量）

4、不存在。因此,利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。k=1 , 3, 5，。这类非正弦周期波只含奇次谐波。所以，这类奇半波对称函数 f （t），称为奇谐波函数。以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。（4）半波重叠函数 若f （t）波形移动半波（-2）与原波形重叠，满足 f（t） f （t T）条件。如图9-42所示，f（t）不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和奇函数，只是移动 T与原波形重叠。则傅里叶系数图9-3奇半波对称波形举例A和Bk中k为偶数，即k=0, 2, 4, 6,。这类非正弦周期波只含偶次谐波。所以，这

5、 类半波重叠函数，称为偶偕波函数。像对称，又是奇半波对称函数。 则傅里叶系数中 Ao 0，Ak 0，Bk中k为奇数，即k=1,3, 5。傅里叶级数中只含 Bk sink t项的奇次谐波。所以，这类奇函数且半波对称波,只含正弦函数的奇次谐波。里叶级数中只含 Acosk t项的奇次谐波。所以,这类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。（7）偶函数且半波重叠 f（t）波形满足f（t） f（ t）和f（t） f （t -）两个条件。如图9-7所示，f （t）波形对称于纵轴，是偶函数，且移动 -与原波形重叠，又是半波重叠函数。则傅里叶系数中， Bk 0 , A,中k为偶函数，即k=0 , 2

6、, 4, 6,。傅里叶级如图9-8所示。f（t）波形对称于原点，是奇函数，且移动1与原波形重叠，又是半波重则傅里叶系数中， A。 0，Ak 0，Bk中的k为偶数，即k=2 ,4, 6，。傅里叶级数中只含 Bk sink t项的偶次谐波。所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函数的偶次谐波。* 2。非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算（1）非对称性非正弦周期波 f（t）,可以分解为偶部fe（t）和奇部f0（t）之和。偶部fe（t）是对称于纵轴的偶函数，奇部 f0（t）是对称于原点的奇函数。即e 0f（t） f （t） f （t）fe（t） ;f（t） f（ t）f0（t） f（t） f（ t）

7、图9-9非对称性非正弦周期波 U（t）及其偶部ut）和奇部U（t）波形图然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。例如，如图9-9（ a ）所示的非对称性非正弦周期电压波 u（t），它的偶部ue（t）为如图9-9（ b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含 Ao和 Acosk t项的偶次谐波。奇部u（t）如图9-9（ c）所示，它是一正弦函数，即u0（t） 1Umsin t故非对称性非正弦周期波 u （t）的傅里叶级数展开式为它对称于纵轴，是偶函数，傅里叶系数中 Bk 0，只含A0和人，傅里叶级数展开式为U U 2U 1 1 1u（t）Ufcost 一（3

8、cos2t 15cos4t 35cos6t L）图9-10偶函数u （t）波形图今若求图9-9（ a ）所示非对称性非正弦周期电压波 u（t）的傅里叶级数展开式，可将图9-10 u （t）波形移动T便可得到。4叶级数的展开式为的移动，即可沿横轴移动，也可沿纵轴移动，以获得对称性波形为准。（四）关于频谱的概念f （t） A （Akcosk t Bk si nk t）Co Ck sin（k t k）式中 c。 A。Ak Ck sin kBk Ck cos kCk .A2 BkAk k arctgBk上式就是傅里叶级数三角函数第二种形式。当然，也可以将A cosk t和Bk sin k t合并为一余

9、弦函数，得出第三种傅 里叶级数的三角形式，即f （t） Co Ck cos（k t k ）、%1*7、c1 r 切（a）振幅频谱$Q申V 02A（b）相位频谱图9-12 振幅频谱图和相位频谱图为了方便而又直观地表示一个周期信号包含有哪些谐波分量，各谐波分量所占的比重 及它们相互的关系，可以作出频谱图来表示和分析。根据上述第二种或第三种傅里叶级数三 角函数形式，作出振幅频谱和相位频谱两种频谱图。振幅频谱，是将非正弦周期函数中各次谐波振幅值 Ck按角频率依次分布的图形，纵坐标表示振幅Ck，横坐标则表示角频率 k ，振幅频谱图如图 9-12（ a ）所示。以各次谐波的相位k为纵坐标，以角频率 k为横

10、坐标，作出相位频谱图，如图 9-12（ b ）。在频谱图中，对应于某一角频率的表示振幅大小和相位的垂直横坐标的线段， 称为谱线。每条谱线的高度表示一个谐波分量的振幅值和初相位。周期函数的频谱具有如下的特性：（1） 频谱是由一系列不连续的谱线组成， 称为不连续频谱或离散频谱。 频谱的这种性质, 称为离散性。（2） 每条谱线只出现在基波角频率 及其整数倍角频率k上，相邻谱线间的间隔等于 基波角频率。频谱的这种性质，称为谱波性。（3）振幅频谱中，各条谱线的高度，随角频率的增加而减小，当角频率无限增大时，谱 线的高度就无限减小，频谱逐渐收敛。振幅频谱的这种性质，称为收敛性。周期函数信号的频谱，在信号的

11、分析中，具有重要的理论与实际的意义。（五）关于非正弦周期波的直流分量与有效值f （t）的平均值，即1.直流分量非正弦周期波f （t）的直流分量，就是在一个周期 T时间内,1 TA - f（t）dtT 0（1）对称于原点的非正弦周期波，没有直流分量。即 f（t）在一个周期中，正、负半周所包含的面积相等，上式积分为零， a 0。这类非正弦周期函数有：奇函数波、奇半波对称的奇谐波函数波、偶函数且奇半波对称波和奇函数且半波重叠波等。（2 ）偶函数波、半波重叠偶谐波和偶函数且半波重叠波等，上式积分不为零， A 0 ,均有直流分量。 Ao可以通过在一个周期中正、负半周所包含面积之差来进行计算。2有效值周期

12、函数f （t）的有效值定义式为F j0f2（t）dt将上式展开的几项积分为-I02dt IoI21TI km sin2（k t k）dt式中，Ik 拐,k次谐波分量的有效值。1 02IoIkmSin（k t k）dt 0 k 1 T将上述结果代入（1）式中，便得非正弦周期电流 i的有效值为上式导出中，应用了如下三角数组的正交性，即式上Ik2耳 k 1sin kxdxk 1 ,2,3,Lsin kxsin qdxk q,k,q1,2,3,Lsin 2kxdxk同理，非正弦交流电压 u的有效值则为表明：非正弦周期量的有效值，是直流分量和各次谐波分量有效值平方和的开方。（6）关于非正弦周期电流电路中

13、电压和电流的计算非正弦交流电源激励的线性电路中，电压和电流的分析，可按如下步骤进行计算。（1） 将非正弦周期激励电压或电流， 应用傅里叶级数分解为直流分量（或不含有） 和各次谐波分量之和。由于电工技术中所遇到的非正弦周期量， 一般都可以展开为傅里叶级数形式，而且傅里叶级数都是收敛的，频率越高的谐波振幅越小， 因此，较高次谐波因振幅很小而可以忽略不计。所以，对非正弦周期函数电量进行傅里叶级数展开时， 一般只取接近基波分量的前几项，所取的项数多少，应视所要求的准确度而定。（2） 分别计算出直流分量和各次谐波分量单独作用时， 电路中的电压和电流分量。 直流 分量单独作用时，电路中各次谐波分量均置零，

14、作出直流稳态电路，这时电感相当于短路，电容相当于开路。按直流电阻电路分析方法进行计算，求出待求支路中的电压和电流分量。每一谐波分量单独作用时， 按正弦交流电路分析的相量法进行计算。 这时对于k次谐波，相量模型中，感抗是XLk k L，容抗是Xck 。最后应将分析计算所得的待求支路k C相量形式的电压和电流分量，变换时域正弦量的瞬时值表达式。（3）应用叠加定理将各分量单独作用时， 所计算的结果进行叠加， 求它们的代数和，便 求出线性电路在非正弦周期函数电源激励下所求支路的电压和电流。应该注意的是，叠加时应按瞬时值表示式不进行。 因各次谐波的频率不同，故不能用相量进行叠加。（七）关于非正弦交流电路

15、平均功率的计算若一个二端网络，端口的非正弦周期电压和电流分别为u（t） Uo .2UkSin（k t uk）i（t） Io VlkSin（k t ik）则二端网络吸收的平均功率为U 0 1 0 U k 1 k cos kuk ik式中,（1）非正弦交流电路的平均功率，等于直流分量功率和各次谐波平均功率之和。非正弦交流电路中，不同频率的各次谐波平均功率满足叠加性 ，而在直流电路和单一频率多电源正弦交流电路的有功功率不满足叠加性。（2）非正弦交流电路中， 同次谐波电压和电流形成平均功率， 而不同次谐波电压和电流不形成平均功率。这是由于三角函数的正交性所决定的。本章学习的重点内容是，非正弦周期波谐波

16、分析的概念，非正弦周期量有效值的计算和 非正弦交流电路中电压和电流以及平均功率的计算。三、解题指导9-12（ a ）所示仅为非正（一）例题分析例9-1 波形对称性与所含谐波分量情况的分析。如图弦周期波的T的波形，试分别给出如下函数一个完整周期的波形。（1） f （t）为偶函数且只含奇次谐波；（2） f （t）为奇函数且只含偶次谐波；图9-13例9-1波形图解 解题思路 利用波形的对称性与所含谐波的关系，偶函数波形对称于纵轴；奇函数波形对称于原点；奇谐波函数的波形必是奇半波对称，即波形移动 -与原波形成镜像对称；满足f（t） f（t T）的条件；偶偕波函数的波形必是半波重叠函数， 即波形移动T与

17、波形重叠，满足f（t） f （t T）的条件。根据以上波形对称性与所含偕波的关系，2 2便可在给出T波形条件下，绘出整个一周期的波形。解题方法（1）f （t）为偶函数且只含奇次谐波。 第一步，在坐标图上先作出如图 11-13（a ）所示的（0 : T）区间的T波形；第二步，根据 f（t）是偶函数，作出对称于纵轴4 4（0 :第三步，根据 f （t）只含奇次谐波是奇半波对称，对已作出的波形移动 T与横轴成镜像对称，作出整个周期的波形，如图 9-13（ b ）所示。（2）f（t）为奇函数且只含偶次谐波。 第一步，在坐标图上作出如图 9-12（ a ）所示（0 : T）区间的T周期的波形；第二步，根

18、据f（t）是奇函数，作出对称于原点（0： T）区间的T波4 4 4形；第三步，f（t）只含偶次谐波是半波重叠函数，对已作出的波形移动 T，与原波形重叠作出整个周期的波形，如图 9-13（ C ）所示。例9-2丨非正弦周期电流电路的计算。 如图9-14所示电路，u（t） 45 180sin10t60s in 30t 30s in50t V。求电流i（t）及其有效值I和 电路吸收的平均功率 P。解解题思路（1）首先，运用叠加定理，分别计算出输入电压各谐波分量单独作用时的电流分量。然后，在时域进行叠加，求出输入电流 i（t） ；（2）按非正 弦函数由谐波分量计算有效值的公式，计算出 i （t）的有效

19、值I ; （3）按相同次数谐波电压和电流及其相位差计 图9-14算出各次谐波的平均功率，最后叠加得出电路吸收的平 均功率。解题方法（1）计算输入电流i（t）当直流分量电压单独作用时，电路的导纳为1 113Y0S3 1030故输入直流分量电流为1。 Y0U。45 19.5 A基波电压分量单独作用时，电路导纳为0.1 0.12 j0.16 j0.01 0.22 j0.150.266 18 3 S故基波电流为AW啊= 0.266ZdA5xl80ZIE-47. /-lELTAi1（t） 47.88sin（10t 18.3 ） A3三次谐波电压单独作用时，电路的导纳为+ JQ.03=0,18 + /00

20、1=0 1S6Z1XS.故三次谐波电流为乃訂心=iosi/3.ri3（A） 10.81sin（30t 3.2 ） A4五次谐波电压单独作用时，电路的导纳为I，FCpoOCT=n ir?/21y3n/0= 3.39/211 A5进行叠加求出端口输入电流为i（t） 19.5 47.88si n（10t 18.3 ） 10.81si n（ 30t 3.2 ） 3.39si n（ 501 21 ）A 计算电流i（t）的有效值为38.85A 计算电路吸收的平均功率P U 01 0 U1I1 cos 1 U 31 3 cos 3 U5I5COS 545 19.5 （180 47.88）cos18.3 （6

21、0 10.81）cos（ 3.2 ） （30 3.39）cos（ 21 ）877.5 4093.74 323.81 47.155342.2 W（2）部分练习题解答练习题11-2 图9-1 （a）所示方波，如果把纵轴向右平移至 t 0.5 s处，波形如图9-5所示。 试利用图9-2，写出该方波的傅里叶级数。解 利用图9-2，可写出图9-1 （a）所示方波的傅里叶级数为周期T2 s，故 t0.5s处是，以（t-）代入上式便得出图9-5所示方波的傅里叶级数为f（t）sin1 t si n3t sin5t L35si n（t2）3sin3 （t -）-sin5（ti） L（t 90o）sin （3t2

22、70 ）-（5t 90o） Lcost cos3t - cos5 t现将图9-1 （a）所示方波的纵坐标向右平移至t 0.5s处，得出如图9-5所示方波。因练习题9-5 试说明图9-13所示三角波原点分别选在 a ,b ,c三点所含谐波成分有何不同？解 （1）三角波原点选在 a点，波形对称于纵轴，是偶函数，则 Bk 0 ；且波形移动 T，与原波形成镜像，又是奇半波对称，只含奇次谐波。因此，三角波是 A cosk t项的奇次谐波。（2）三角波原点选在 b点，波形不对称于纵轴，也不对称于原点，不是偶函数也不是 奇函数。而波形移动 T，与原波形成镜像对称，故它是奇半波对称，这时三角波是含Acosk

23、t和 Bksink t的奇次谐波，即 k=1, 3, 5,。（3）三角波原点选在 C点，波形对称于原点， 是奇函数，则Ak 0 ；且波形移动 一,与原波形成镜像对称，又是奇半波对称函数，只含奇次谐波。因此，三角波是只含Bk sink t项的奇次谐波。值；（2） iab的有效值；（3）平均功率P。P -（100 50）cos 45 -（30（3）部分习题解答9.115 .方波电压的峰谷值为 20 V，若滤去其三次谐波。试绘出波形图，问所得波形的峰 谷值是多少？解 如图9-1 （ a）所示方波电压，峰谷值为 20 V，它的傅里叶级数为40 1u（t） si nk t Vk 1 k三次谐波电压为40

24、U3（t） sin 3 t 4.24sin 3 t V滤去U3（t）后，电压波形表达式为u（t）40 1 一u（t） u3（t） sink t 4.24sin3 t作出波形图，如图 9-15所示。从k i k图中可见，u （t）的峰谷值为28.28 V。9.12.电路图如图题 9-4 所示，Usi（t） cost V , us2（t） cos2t V。（1）计算电路中的电流i（t）；（2）电流i（t）的有效值是多少；（3）计算电阻消耗的平均功率；（4）计算Usi（t）单独作用时电阻消耗的平均功率；（5）计算Us2（t）单独作用时电阻消耗的平均功率；（6）由（3），（4）,（ 5）的计算结果，能得出什么结论？解 （1）计算电路中的电流i（t）当Usi （t）单独作用时， irad /s， ii（t）的振幅相量为11 =一胡力-1网3+J2 13= 0 277/31771 A当Us2 （t）单独作用时， 2rad/s，i2（t）的振幅相量为i2（t） 0.2cos（2t 53.13） A解出i（