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1、投资中的数学问题投资中的数学问题 作者：management之神 提交日期：2004-9-29 15:24:00 我们试图像费马和帕斯卡那样思维，但他们从未听说过现代投资理论。查理蒙格下载在沃伦巴菲特还是一个孩童的时候就已经对数字颇为着迷。我们已经知道他年纪轻轻就已进行普通股投资。但沃伦与数字的关系之深之广，且大大超出资产负债表和损益表的范围却是鲜为人知的。当他没有在思考股市时，年轻的巴菲特总是在着手解决数学难题。曾有一次他决定计算教堂赞美诗的作曲者是否比常人活得更长。他的结论是，具有音乐天赋的人不一定比正常人有更高的长寿概率。今天巴菲特被数字包围了，而且包围他的不仅仅是股市数字。伯克谢尔的保

2、险业务是所有业务中最具数学挑战的业务，也是统计学和概率论中必讲的一课，当巴菲特没有在想他的保险业务也没有在想他的证券业务时，他在思考他的最大业余爱好桥牌。巴菲特自大学时代起就热衷于打桥牌，现在仍每周打几个小时。如果他不能与人面对面地打牌，他就会在网上与全国各地的桥牌爱好者切磋牌艺。巴菲特认为，桥牌游戏与股市投资有许多共同点。他解释说：“他们都是有百万种推论的游戏。你有许多赖以推论的依据已打出的和未打出的牌。所有这些推论都会告诉你概率发生的可能性。它是对智力最好的锻炼。每隔1 0分钟，局势都会发生变化。桥牌是关于盈亏权重的比率问题。”巴菲特说： “你每时每刻都在进行计算。”每一个与巴菲特打过交道

3、的人都会告诉你巴菲特具有超凡的快速计算能力。伯克谢尔海舍威公司长时期的股民，纽约券商克里斯斯塔夫罗(Chris Stavrou) 回忆起他第一次与巴菲特约见的情景。“我问他是否曾使用过计算器。”巴菲特回答说：“我从未有过计算器，也不知怎样使用它。”斯塔夫罗紧追不舍地问：“那么你如何进行繁杂的计算呢？难道你有天赋吗？”巴菲特说：“没有，没有，我只是与数字打交道的时间太长了，我有些数字感觉而已。”“你能否为我示范一下？比如9 99 9得多少？”巴菲特立刻回答：“9 801 。”斯坦夫罗问巴菲特他是如何知道的。巴菲特回答说他阅读了费因曼的自传。理查德费因曼(Richard Feynman) 是诺贝尔

4、物理学奖项得主，也是美国原子弹研究项目的成员。在他的题名为费因曼先生，你不是在开玩笑吧！这部自传体书中，他介绍了如何在脑中计算复杂数学的方法。由此我们得出结论：沃伦巴菲特要么记住了他阅读的所有资料；要么他能在脑中做神速计算。斯塔夫罗又追问了另一个问题：“如果一幅油画的价格在第6章证券投资中的数学问题1 0 0年内从2 5 0美元涨到5 000万美元，年收益率是多少？”几乎又是在同一时间，巴菲特回答道：“1 3。”斯塔夫罗惊讶地问道：“你又是怎么做的呢？”巴菲特回答说任何复利表都会显示出答案。(由此我们是否可以推理他是一个活利率表？可能是吧。) 巴菲特说还有另一个计算这个问题的方法“就是通过它加

5、倍的次数来计算( 2 5 0美元加倍1 7 . 6次就得出5 000万美元，每隔5 . 7年就加倍一次，或者说每年增长1 3)。”他好像在说，这还不简单。尽管巴菲特很谦虚，但他显然是有数学天赋的。基于这个原因，很多怀疑家们声称巴菲特的投资战略之所以有效是因为他有这个能力，而对那些没有这种数学能力的人，这个战略就无效。巴菲特和查理蒙格说这是不对的。实施巴菲特的投资战略并不需要投资者学习高深的数学。在一次由杰出投资家文摘报道的，在南加州大学所做的演讲中，蒙格解释道：“这是简单的代数问题，学起来并不难。难的是在你的日常生活中几乎每天都应用它。费马/帕斯卡定理与世界的运转方式是完全谐调的。它是基本的事

6、实，所以我们必须掌握这一技巧。”概率论如果我们说证券市场是一个无定律的世界，那么此话就过于简单了。在股票的世界里，有几百种甚至上千种力量在联合左右着价格，所有这些价格都在不停地运动，每支股票都可能产生巨大的影响力，但又没有一支股票可以被肯定地预测。投资者的职责就是缩小范围，找出并排除那些最不了解的股票，将注意力集中在最知情的股票上。这就是对概率论的应用。当我们对某一局面不太肯定但仍想表达看法时，我们经常在我们的言语里用上：“可能性是”，或者“可能”或者“不太可能”。当我们再往前走一步并试图用数字来表达综合观点时，我们就在与概率论打交道了。概率论是不确定性的数学语言。一只猫生一只鸟的概率有多大？

7、零。明天太阳升起的概率有多大？由于这个事件几乎是肯定发生的，概率为1。任何事件其发生率既非肯定又非不可能时的概率为1 . 0到0之间。决定0 1 . 0之间的这个小数就是概率论所探讨的问题的全部。1 6 5 4年，布莱斯帕斯卡(Blaise Pascal) 和皮埃尔费马(Pierre de Fermat) 俩人互通了一系列信件，信上的内容就构成了当今概率论理论的基础。帕斯卡是一个具有数学和哲学天赋的神童。他受到哲学家兼赌徒舍瓦利埃德梅瑞(Chevalier deMere) 的挑战，要他解决一个令许多数学家百思不得其解的谜题。德梅瑞想知道如果两位玩牌者不得不在本局牌结束前离开牌桌，他们的赌注应该

8、怎样划分。帕斯卡针对德梅瑞的挑战找到了当时凭借自己的实力获取数学奇才称号的费马。彼得伯恩斯坦在他那篇题为“对抗上帝”的关于风险的优秀论文中写道：“帕斯卡和费马在1 6 5 4年针对德梅瑞的挑战而交换的信函开创了数学历史和概率论历史的一个新纪元。”尽管俩人着手解决问题的方法有所不同(费马使用的是代数方法而帕斯卡转向几何的方法)，但是他们建立了决定几种不同结果的概率论的体系。的确，帕斯卡的数学三角形解决了许多问题，包括你最喜欢的棒球队在已输一场的情况下获得世界系列循环赛胜利的概率有多大的问题。帕斯卡与费马的工作开辟了决策理论的先河。决策理论是在对未来会发生的事情不肯定的情况下做出决策方案的过程。伯

9、恩斯坦写道：“做出决策是风险管理的首要一步也是必要的一步。”尽管帕斯卡和费马都为发展概率论立下了汗马功劳，但另一位数学家托马斯贝叶斯(Thomas Bayes) 所写的文章为将他俩的理论付诸于实践奠定了基础。贝叶斯1 7 0 1年出生于英国，比费马晚了整整1 0 0年，比帕斯卡晚了7 8年，他的一生并不辉煌。作为一名皇家协会的会员，他生前在数学领域并未发表任何文章。在他死后，他的论文“如何解决随机原理中某一问题的论述”发表了。当时，人们没有对此引起重视。然而，据彼得伯恩斯坦说，贝叶斯的论述“是一篇极具创新思想的作品，它使贝叶斯在统计学家、经济学家和社会学家中占有不朽的地位。”他为投资者使用概率

10、论的数学理论铺平了道路。贝叶斯定理教给我们一种逻辑分析方法，即为什么在众多可能性中只有某一种结果会发生。从概念上讲这是一种简单的步骤。我们首先基于所掌握的证据为每一种结果分配一个概率。当更多的证据出现时，我们对原有的概率进行调整以反映新的信息。贝叶斯定理为我们提供了不断更新我们原有假设的数学程序(这源于贝叶斯所称的先验信息分布)以便产生一个后序信息分布图。换句话说，先验概率与新的信息相结合就产生了后序概率，从而改变了我们相对的概率机遇。这一切都是如何操作的呢？假设你和你的朋友在某个下午正在玩你们最喜欢的掷骰子跳棋游戏，你们一边玩一边聊着，棋局已接近尾声。这时你朋友说的什么话触动了你想打赌的愿望

11、，但只是友好性地赌注。在掷骰子跳棋游戏中，掷一次骰子直接获得6这一面的机会是1 / 6，即1 6的概率。但这时假设你朋友投了骰子，但很快用手将骰子盖住并偷偷看了一眼，她说：“我可以告诉你，这是一个双数。”有了这条信息，你赌赢的机会就变成了1 / 3，即3 3的概率。正当你在考虑是否改变赌注的时候，你的朋友又开玩笑地说：“这个数不是4。”有了这条信息你赌赢的机会再次改变，变成了1 / 2，即5 0的概率。在这种简单的关系中，你已经实施了贝叶斯的分析方法。每一条新信息都会影响你原来的概率假设，这就是贝叶斯推理。贝叶斯分析法试图将所有可得信息都融入推理或决策过程中从而对潜在本质情况进行判断。学院使用

12、贝叶斯定理帮助他们的学生研究决策。在大学课堂里贝叶斯定理被广泛地称之为决策三段论。三段论中的每一分支都代表新的信息，这些信息反过来会改变决策中的力量对比关系。查理蒙格说：“在哈佛商学院，将第1年的学生捆绑在一起的数学课程就是被称做决策三段论的课程。他们所做的事情就是将高中所学的代数知识应用到现实问题中去。学生非常喜欢这门课。他们惊奇地发现高中代数在生活中发挥着功效。”对概率的主观判断正如查理所指出的，基础代数在计算概率时非常有用。但要把概率理论应用到实际投资当中去，还需要对数字计算的方法有更深刻的理解。特别是要注意频数这一概念。掷硬币猜中头像一面的概率为1 / 2，这意味着什么呢？或者说掷骰子

13、单数出现的概率为1 / 2，这又是什么意思呢？如果一个盒子里装有7 0个绿色大理石球， 3 0个蓝色大理石球，为什么蓝色大理石球被捡出的概率为3 / 1 0？上面所有的例子在概率发生事件中均被称为频率分析，它是基于平均数的法则。如果一件不确定事件被重复无数次，事件发生的频数就会被反映在概率中。例如，如果我们掷硬币1 0万次，预计出现的头像次数是5万次。注意我没有使用它将等于5万次。按无限量大的原理只有当这个行为被重复无数次时，它的相对频数与概率才趋向于相等。从理论上讲，我们知道投掷硬币得到“头像”这一面的机会是1 / 2，但我们永远不能说两面出现的机会相等，除非硬币被掷无数次。在我们解决任何不

14、确定因素的问题时，很明显我们永远都不能给出绝对肯定的答案。但是如果这个问题界定得当，我们应该能够列出所有可能发生的结果。如果这个不确定事件被反复重复，这些结果的频数应该能反映出不同结果的概率。但是当我们考虑的是只发生一次的事件时，问题就来了。我们怎样预测明天科学考试通过的概率？或者是绿湾派克队重新夺取超级碗橄榄球冠军的概率？我们面临的问题是，这些事件都是独一无二的。我们可以回顾绿湾队比赛的整体配队阵形，但我们还是没有准确的每个球员重复配合在相似条件下打球的一一对应资料。我们可以回顾过去科学考试的情况从而了解他们考试的状况，但每次考试的情况是不同的，对他们的了解也是不连贯的。没有重复性的试验就无

15、法产生频数分布，那么我们怎么来计算概率呢？我们没有办法计算，相反只能依赖对概率的主观判断。而且我们经常这样做。我们可以说派克队夺取大奖赛冠军的机会是21，或者学生通过那个难度很大的科学考试的机会是1 01。这些是大概性的陈述；他们描述了事情可能发生的“可信度”。当某一事件不可能被重复多次以得出基于频数的概率判断时，我们只能依赖自己的感觉了。你可能马上就意识到对上述两类事件的主观判断可能都是错误的。在主观概率中，一切都取决于你如何分析你的假设。你先停下来将局面全面想清楚。你得出1 01的考试通过率的假设是因为考题太难，学生没有充分复习还是因为过份的谦虚？你对派克队的一贯忠诚和信赖是否遮住了你的双

16、眼使你对其他球队的超级力量视而不见？按照教科书里所传授的贝叶斯分析法，如果你的假设分析是理智的，那么将你的主观概率与频数概率等同起来是“完全可以接受的”。你所要做的工作就是筛除不理智、不符合逻辑的假设而保留理智的假设。如果你认为主观概率方法充其量不过是频数概率方法的延伸，这对你是很有帮助的。事实上，在很多情况下主观概率是有增值作用的，因为这种方法允许你将可操作性考虑在决策中，而不仅仅是依赖长期的统计数据规律。不管投资者自己是否意识到了，几乎所有的投资决策都是概率的应用。为了成功地应用概率原理，关键的一步是要将历史数据与最近可得的数据相结合，这就是行动中的贝叶斯分析法。具有巴菲特风格的概率论“用

17、亏损概率乘以可能亏损的数量，再用收益概率乘以可能收益的数量，最后用后者减去前者。这就是我们一直试图做的方法。”巴菲特说：“这个算法并不完美，但事情就这么简单。”澄清投资与概率论之间的联系的一个有用例证是风险套购的做法。根据杰出投资家文摘的报道，巴菲特对风险套购的看法与斯坦福商学院的学生的看法是一致的。巴菲特解释道：“我已经做了4 0年风险套购，我的老板本 格雷厄姆在我之前也做了3 0年。”所谓风险套购，从纯粹意义上讲，不过是从两地不同市场所报的证券差价中套利的做法。例如，不同种商品和货币在全世界不同的市场上报价，如果两地市场对同种商品报价不同，你可以在这个市场上买入，在另一个市场上卖出并将差价

18、归己所有。风险套购已成为目前金融领域普遍采用的做法，它也包括对已宣布购并的企业进行套购(有些投机家对未宣布的企业购并也采用套购的做法，但这里巴菲特说“我的职责是分析这些(已宣布并购)事件实际发生的概率，并计算益损比率。”让我们先来看看下面这个例子，然后再继续聆听巴菲特的教诲。假设阿伯特公司(Abbott Company) 今天的开盘价为每股1 8美元。在上午过半的时候，它宣布今年的某个时候可能在6个月内，它将以每股3 0美元的价格卖给科斯特洛公司(Costello Company)。阿伯特公司的股价马上抬至每股2 7美元，并在这个价位上走稳徘徊。巴菲特看到了宣布合并的消息并且必须做出决断。首先

19、他试图分析消息的确定性。有些企业合并的买卖并未能最终实现。董事会可能会出人预料地拒绝合并，或者美国联邦贸易委员会(Federal Trade Commission)会也发出反对的声音。没有人能够十分有把握地说这笔风险套购交易将最终实现。这就是风险所在。巴菲特的决策过程就是运用主观概率的方法。他说：“如果我认为这个事件有9 0的可能性发生，它的上扬幅度就是3美元，同时它就有1 0的可能性不发生，它下挫的幅度是9美元。用预期收益的2 . 7美元减去预期亏损的0 . 9美元就得出1 . 8美元( 39 0-91 0= 1 . 8 )的数学预期收益。”下一步，巴菲特请你必须考虑时间跨度，并将这笔投资的

20、收益与其他可行的投资回报相比较。如果你以每股2 7美元的价格购买阿伯特公司，按照巴菲特的计算，潜在收益率为6 . 6( 1 . 8美元除以2 7美元)。如果交易有望在6个月内实现，那么投资的年收益率就是1 3 . 2。巴菲特将以这个风险套购收益率与其他风险投资收益进行比较。风险套购交易是具有亏损风险的。“我们愿意在某些交易中亏本比如风险套汇但是当一系列类型相似但彼此独立的事件有亏本预期概率时，我们是不情愿进入这类交易的。”巴菲特坦言道：“我们希望进入那些概率计算准确性高的交易。”我们可以清楚地看出巴菲特对风险套购预测采用的主观概率法。在风险套购中没有频数分布，每笔交易都是不同的，每次情况都要求

21、不同的预测判断。既便如此，使用一些数学运算对风险套购交易的运作还是大有益处的。对风险套购的决策过程与普通股票投资的决策过程并无异处。为了说明普通股的决策过程，让我们来看看伯克谢尔海舍威公司对两支经典普通股票的购入韦尔斯法戈( We l l s F a rgo) 和可口可乐。投资于韦尔斯法戈和可口可乐公司1 9 9 0年1 0月，伯克谢尔海舍威公司购买了5 0 0万股韦尔斯法戈公司的股票，共投资2 . 8 7亿美元，每股的平均价格为5 7 . 8 8美元。这笔交易使伯克谢尔成为这家银行的最大股东，拥有已发行股票的1 0。公司的这一举动是颇具争议的。在年初的时候，股价曾攀升至8 6美元，尔后随着投

22、资者的大批抛盘，这家加利福尼亚银行的股票急骤下跌。适时西海岸正处于严峻的经济衰退的痛苦之中，有些人预测由于银行的贷款资金都被住宅抵押所充斥，故一定困难重重。韦尔斯法戈是加利福尼亚地区银行中拥有最多商业不动产的银行，它被认为最不堪一击。巴菲特对上述情况了如指掌，但是他对韦尔斯法戈得出了不同的结论。他是否比其他投资专业人士掌握更多的情况？非也，他只是对局势的分析有所不同。让我们与他共同回顾他的思维过程以便使我们对巴菲特如何应用概率论有一个清楚的例证。首先，巴菲特对银行业的业务非常了解。伯克谢尔曾在1 9 6 9 1 9 7 9年间拥有伊利诺伊国家银行和信托公司( I l l i n o i s N

23、ational Bank and Trust Company)。在那段时期里，伊利诺伊国家银行的总裁吉尼阿贝格(Gene Abegg) 教会了巴菲特一个道理：一家妥善经营的银行不仅可以使它的收益有所增长，而且还可以得到可观的资产回报。更重要的一点是，巴菲特了解到一家银行的长期价值取决于它管理层的行动。糟糕的管理者不但会使银行的运营成本增加而且还会贷错款。而优秀的管理者总是在寻求降低成本的方式，而且他们很少做有风险的贷款。韦尔斯法戈银行当时的总裁是卡尔理查特(Carl Reicha r d t )。他从1 9 8 3年开始经营这家银行，成绩显著。在他的领导下，银行的收益增长率以及资产回报率均高于

24、平均值，而且他们的运营效率是全国最高的。理查特还建立起坚实的放款业务。巴菲特说：“拥有一家银行绝非是无风险的。”但是在他的脑中，拥有韦尔斯法戈的风险主要围绕以下三方面的可能性。下载“加利福尼亚的银行面临大地震的具体风险。这一风险可能完全摧毁借款者进而摧毁贷款给他们的银行。第二种风险是全局性的发生企业萎缩或者金融恐慌的可能性，这种恐慌是如此之强烈以至于殃及所有高度借贷的机构，不论这家机构的经营如何也不能幸免。目前市场的主要恐惧在于，由于建设过度，西海岸的不动产价值会下跌，并将这个损失转嫁给融资给他们的银行。巴菲特说，目前上述场景哪一种都不可能被排除在外。然而他得出结论说，基于最好的证据，发生地震

25、和金融恐慌的概率都极低。(巴菲特没有给出具体数据，但低概率可能是低于1 0的概率。)然后他将注意力转向第三种场景的概率。他分析认为，不动产价值的下跌不应对妥善经营的韦尔斯 法戈银行产生太大的问题。巴菲特解释说：“考虑一下具体数字吧。韦尔斯法戈目前税前的年收益在扣除贷款损失的3亿美元之后，仍超过1 0亿美元。如果银行全部4 8 0亿贷款的1 0不只是不动产贷款遭受像1 9 9 1年那样的重创，而且产生损失(包括前期利息损失)，平均损失量为本金的3 0，公司仍能保本不亏。”然而要知道，银行放贷业务的1 0遭受损失就等于企业遭受了严重的经济萎缩，这种情况已被巴菲特排在“低”概率一档之中了。但是，即使

26、这种事情真的发生了，银行仍能保本。巴菲特继续说：“如此糟糕的一个结局我们认为发生的概率很低，似乎不可能也不会使我们沮丧。”在巴菲特脑中罗列出的这几种场景，哪一种对韦尔斯法戈产生长久重大损失的概率都很低。尽管如此，市场仍将韦尔斯的股价打压了5 0。在巴菲特的头脑中，购买韦尔斯法戈的股票赚钱的机会是21，相对犯错误的可能性只会减少不会增加。尽管巴菲特对其概率判断没有给出具体数字，但这并不能减弱他思考过程的价值。用概率来思考，不管是主观概率还是客观概率，都使你对所要购入的股票进行清醒和理智的思索。巴菲特对韦尔斯法戈的理性思考使得他能够采取行动并从中获利，而其他人的思维则欠清晰。巴菲特说：“请记住，如

27、果你用概率权重来衡量你的收益，而用比较权重来衡量你的亏损，并由此相信你的收益大大超过你的亏损，那么你可能刻意地进行了一桩风险投资。”可口可乐股票的购入则是另一回事。如果韦尔斯法戈的购入让我们看到巴菲特是如何亮出各种场景并对他们逐一进行概率判断的，可口可乐交易则让我们看到，当他认为概率是百分之百肯定时，他是如何做的。在可口可乐实例中，我们看到巴菲特是如何实施他的指导原则之一的：当成功的概率非常高时，押大赌注。巴菲特在购入可口可乐股票时，并未使用贝叶斯分析法。相反，他经常说可口可乐代表着几乎肯定的成功概率。因为可口可乐有着1 0 0多年的投资业绩数据可查，这些数据构成了一幅频数分布图。运用贝叶斯分

28、析程序加上后序信息，巴菲特了解到以罗伯托格佐艾塔(Roberto Goizueta)为首的管理层所做的事情与前面有所不同。格佐艾塔正在卖掉营业业绩欠佳的企业，并将收入所得重新投向业绩良好的糖浆企业。巴菲特知道可口可乐的财政收益将会好转。不仅如此，格佐艾塔还在买回可口可乐的股票，从而进一步增加了企业的经济价值。自1 9 8 8年起巴菲特就注意到，市场上对可口可乐的定价比其实际的内在价值低了5 0 7 0。与此同时，他对公司的信念从未改变过：他坚信可口可乐股击败市场收益率的概率正在不断地上升、上升再上升。那么巴菲特是怎么做的呢？在1 9 8 8 1 9 9 8年间伯克谢尔海舍威公司总共购买了可口可

29、乐公司1 0亿美元的股票，占据了伯克谢尔证券投资总值的3 0以上。到1 9 9 8年底这笔投资价值1 3 0亿美元。凯利优化模式每次踏入赌场，你成为赢家踏出赌场的概率都极低。对此你不用感到惊讶，我们都知道庄家有最佳的机会。但是有一种游戏，如果玩法正确可以给你合理的机会打败庄家2 1点。在一本全球畅销书打败庄家： 2 1点游戏的获胜战略(B e a t the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Tw e n t y - o n e) 中，爱德华桑波(Adward O. Thorp)，一位训练有素的数学家列举了智胜赌场的程序。桑波的战略是基于一个

30、很简单的概念。当一副牌里有很多1 0、大于1 0的头像牌及A时，玩家也就是你就占有打败庄家的统计优势。如果你给高分值牌分配- 1，低分值牌分配+ 1，你很容易对所发出的牌进行跟踪；你只需保持在脑中记数，每出现一张牌，就增加一分或减去一分。当你数的数转成正数时，你知道有更多的高分值牌即将出现。聪明的玩家将他们的最大赌注押在牌点数达到相对较高的数值上。深藏于桑波书中的原理是对凯利赌博模式的引用。而凯利赌博模式的灵感则源于克劳德山奴(Claude Shannon)信息理论的创始人。克劳德山奴是4 0年代贝尔实验室的一位数学家。他工作的多半时间花费在试图找到一种最理想的通过铜线来传输信息的方法，而此信

31、息又不会受到不规则分子噪音的干扰。1 9 4 8年_在一篇题为“通信的数学原理”的文章中，他描述了他的发现。文章给出了如何将最大量的信息通过铜制电线传输的数学公式，公式考虑到信息传输的成功概率。几年后，另一位数学家凯利(J. L. Kelly) 读了这篇文章，发现它的数学公式完全可以被用在赌博上。这是人类了解成功概率的又一努力尝试。1 9 5 6年凯利发表了“对信息率的新理解”一文。文中他指出，山奴的各种信息传送率与机会成功率实际上是一回事都是概率问题同样的公式可以用来优化二者。凯利优化模式也可称为优化增长战略。它的原理是如果你知道成功的概率，你就将你资金的一部分押上从而优化你的增长率。它的公式可表达为：2p- 1 =X你应押上的资金的百分比(X)等于2倍的获胜概率减去1。例如，如果你打败庄家的概率为5 5，你应该押上你资金的1 0来获取你赢局的最大增长。如果打败庄家的概率为7 0，你就押上4 0的资金。如果你知道获胜的机会为1 0 0，凯利模式就会告诉你押上你赌资的1 0 0。凯利模式达到最优化有两个标准： ( 1 )用最短的时间达到获胜的水平； ( 2 )取得最大的财富增长。例如两个2 1点玩家，每个都有1 000美元的赌资并将玩2 4个小时。第一位玩家受限制每手发牌只能下注1美元。第二位玩家则可依照牌的有利与不利改变赌注