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1、21、 旋转面r= （t）cos日严（t）sin日，即（t），他的坐标网是否为正交的? 是 傾“是”或“不是”）.22、 过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 法线 线.23、 任何两个向量p,q的数量积pq= p|qcos（pq）24、 保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为 等距（保长）变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是 常数 数（填“常数”或“非常数”）.26若曲线（c）用自然参数表示r二r（t）,则曲线（c）在P（s。）点的密切平面的方程是（R -r（s）, r（s0）,r（s0） 0K= 2，平均曲率 H= 0 ，点（1,0,0） 处沿方向du:dv = 2的法曲（u2 +36

2、）2 率J:后，点 （1,。,0）处的两个主曲率分别为6 6,37 3730、 （ Coh n-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是R3中的合同或对称。31、 球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、 个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33.求曲线x=tsint,y =tcost,z =tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r =tsin t,tcost,tet,r （t） =si nt t cost,cost-ts in t,et tet,r （t）二2cost -tsint,2sint -tcost,2et te在

3、原点处t =0r（0）二0,0,0, r （0） =0,1,1, r （0） = 2,0,2.在原点处切平面的方程为：（R-r（0）,r （0）,r （0） =00 1 134、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。解设 r =u,v, u3 -v32 2则 ru =1,0,3u , J 二0,1,-3v ,4 1 4 _3u2,3v2,1|ru rv| -,.9u4 9v4 1ruu =0,0,6 u, rvv =0,0, -6vM = n Tuv = 0 , N = n Vw =因渐近曲线的微分方程为Ldu 2Mdu dv Ndv 二 0即 udu2 二 vdv2 或 ,udu 士vdv = 0

4、3渐近曲线为u23 3 3=v C1 或 （-u），= v，C235求双曲抛物面r二a（u v）,b（u-v）,2uv的第一基本形式r 二a（u v）,b（u -v）,2uv, 5 =a,b,2v, =a,-b,2u.E 二 ru ru 二 a2 b2 4v2, F 二 ru rv 二 a2b2 4uv,G 二 rv rv 二 a2 b2 4u2.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2I = （a b 4v ）du 2（a -b 4uv）dudv （a b 4u ）dv36.计算球面 r = （Rcoscos, Rcossin :, Rsin）的第二基本形式r 二Rcoscos 1 Rcosi

5、n ,Rsinr）, rF：=-Rcosrsin ;:, Rcos cos ,C, -Rsin cos ,-Rsinsin ,Rcosv,由此得到E = r ： r = R2 co , F = r ： r = 0,_r_MEG-F2e1-Rc o ss inRsi n c o se3=cos coscostsin ,sin *,又由于一Rcos vcos，一Rcosv sin ,0,r 丁 = Rsin v sin，Rsin cos ,0,r 口 - -Rcos cos -Rcossin - Rsin 斗 所以2L = r 竹 n = -Rcos （ J, M = r n = 0, N = r

6、 口 n _ -R,因而得到n = -（Rcos2 m 2 Rd2）37.如果曲面的第一基本形式d二d2dv2 2 ,计算第二类克力斯托费尔符（u +v +C）号.解:因为G = （ 2 2 ）2（u v c）所以38、已知曲面的第一基本形式为I = v（du2 dv2），v 0，求坐标曲线的测地曲 率。解 E 二G =v，F =0,Gu = 0 ， Ev = 1u-线的测地曲率it_ Ev _ 1guE ,G 2v . vv-线的测地曲率-Gu _0gv2G - E39、问曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线】是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线-的切向量沿曲线-本

7、身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线事实上，设一 ：u = d （s）则丨的切向量为记唱，D，da1 j：丽Da j屈则曲线-的切向量沿】平行移动=D ? = 0 = Da：二0, Da2二0（k 二 1,2）二-为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.因为 r 二ucosv,usinv,bv,2 2 bE =1,F =0,G 二 u2 b2,L =0,M ，N = 0.Vub2由于L=N =0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r =u0cosv,u0 sin v, bv,这是螺旋线，另一族渐近线是r 二ucosvo,usin Vo,bv。,这是直

8、线.41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定 角证设-:r = r （s）， - :? = r （s），则由 一：/ - “ 知一：=-，从而弓九=0，匸：=0，（一竺匚0ds ds - constant，即 cos：，,，.=C这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r（t）具有固定方向的充要条件是r（t） r（t）=0证明必要性 设r（t）二（t）e（e为常单位向量），则r （t）= （t）e,所以 r（t） r （t） = 0充分性：r（t）二（t）e（t） （e（t）为单位向量函数）

9、，则 r （t） = （t）e（t） （t）e （t）, r（t） r （t）2（t）e（t） e（t）.因为r（t） =0,于是（t） = 0,当r（t） r （t）三0 ,从而有e（t） e （t） = 0,即e（t）/e（t）,因为e（t） _e （t）（根根据e（t） =1）,因此e （t） =0即e（t）为常向量，所以 r（t）（t）e（t）有固定方向43、给出曲面上一条曲率线丨，设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角求证丨是一条平面曲线.4.0-证 设1: r = r （u,v），】：u = u（s）,v =v（s），其中s是】的自然参数，记v - r,n,则 r n

10、 二cost，两边求导，得 rdnd s由为曲率线知dn/dr ,即竺/匕,因此：黑/ nr d -0d s d s d s d s若.=0，则】为平面曲线；若n匸=o，则因丨为曲面二上的一条曲率线，故d.nd?.而4 oTn44、求圆柱螺线 R（ t）二acost,asin t, bt在t 处的切线方程。r （t）二a cost, a si n t,bt, r （t） = -a sin t, a cost, b,3 a时，有 r（3laGb.所以切线的方程为py）如果用坐标表示，则得切线方程为Y 3ajiZ b2x a _ 2Y 一 3a _ Z 巧-3a a b45、求双曲螺线r二acos

11、ht,asinh t,at从t=0起计算的弧长。r = acosht, as in h t,at,.r =as in ht, a cosht, a从t=0起计算的弧长为=/| r （t）|dt = f Jx +y +z2dtsinh21 a2 cosh21 adta22 2 2（sinh t 1） a cosh tdtjdcosft fcosftdt=2a s in ht.46、求球面 r =Rcos J cos , Rcos）sin ,Rsin 的第一基本形式。r = R cost cos :, R costs in , Rs in 二,可得出由 r 二-Rcosvsin , Rcosvco

12、s ,0,二Rsin cos ：-Rsin sin : Rcos,由此得到曲面的第一类基本量E = r r = R2 c o ,F 二 r ： r.厂 0,G = G r 厂 R因而I = R 2 c o d2 R 2 d v 247、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大 值和最小值。证明 设k1 : k2（如果K1 K2,可以交换坐标u和v）,由欧拉公式知kn = cos2 寸 k2（1 _cos2 寸）=k2 （kk2）cos,于是k2 _kn 二（k2 _kj c o - 0因此k2 -kn同样又可以得到kn -匕=（k2kjs i n：亠0,由此即ki kn

13、一 k2这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为 I =E（u）du2，G（u）dv2。求证：（1）u-曲线是测地线；（2）V-曲线是测地线，当且仅当Gu（u）=O证明：u -曲线的方程为dv =0.由得到J - 0代入刘维尔公式得sin v - 0,因此得到u -曲线是测地线。、 兀 d。 亠（2）若u -曲线为测地线，由 得=0,则有2 ds1 :T n G .0=00 s i n，1 Je 血49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。（1） 空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2） 空间三个合同变换的组合满足合里律；（3）

14、 恒同变换I : Xi =Xi（ 1,2,3）与空间任何合同变换T的组合I T =T I =T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4） 空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变 换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（u1,u2,则）1 2 1 2u = u e ue2,v=ve v e2,du 1 W2 dv W2 门u 0, v2 0, ds ds ds ds.2 2 2 2du 1 W1 dv 1 W1 门u 0, v 0dsds ds dsz 2 1 1 2 1 2 21Wi c=

15、 （uvuvuvuv） 0 ds51、 设曲线（C）:r = r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成 自然参数，则它的周期是L =f（t ） dt, L的闭曲线的周长.t 也、 / .证明 s（t + ）=r （t ） dt=【0 r（t）dt r （t） dt,r t ，二 r t ，t ,t.我们得到s（t + ）=L + f |r /（t） |dt = L + s（t）,所以有rsL=rst L=rst =rst =rs.52、 对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向 I正交.证明 取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是C : r s = & s

16、, y s , z s ；s 0, L !因而单位切向量为a（s）J：（s）；（s）Zs“根据微积分中值定理，存在 0. 0丄1使得z L z0 二 L - 0 z 0，但是z L 1=z 0 ,z So 0，a s。二 x S0, y S0,0 ，这表示a iSl垂直于z轴,即与方向1正交。53、单位球面上的曲线 C，若kg =0,则k kkkg kik i其中；=1证明设单位球面上的曲线 C : r = r s由于r2 -1，从而有r *a =0，aa r*k： =0,由上式得kr 八 kr kr：=O,利用伏雷内公式，化简后得丄 k r =0.k若令n - -r,由于kg = k n = -kr * ,则有但是单位球面上曲线的法曲率kn =1,并且由于kn k：二 k2,kg = ； k2 -1, 二 1.因此当kg 7时，有 T = = -Z , .kkg kJk21为 dU （ if 3 6）d2v,第二基本形式为 =12 dudv，高斯曲率