1、例1求函数f(x)x42x23,x3,2上的最值思路点拨精解详析f(x)4x34x,令f(x)4x(x1)(x1)0,得x1,x0,x1.当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:x3(3,1)1(1,0)(0,1)1(1,2)2f(x)f(x)60 极大值4极小值35所以当x3时,f(x)取最小值60;当x1或x1时,f(x)取最大值4.一点通求函数的最值需要注意的问题:(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似,在给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意取极值的点是否在区间内;(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时,可考虑用导数的方法求解1已
2、知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m.则Mm_.解析:令f(x)3x2120,解得x2.计算f(3)17,f(2)24,f(2)8,f(3)1,所以M24,m8,故Mm32.答案:322求函数f(x)ex(3x2)在区间2,5上的最值解:f(x)3exexx2,f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1),在区间2,5上,f(x)ex(x3)(x1)0),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a3,b9时,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,
3、求k的取值范围(1)f(x)2ax,g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1),且f(1)g(1),即a11b,且2a3b,解得a3,b3.(2)记h(x)f(x)g(x),当a3,b9时,h(x)x33x29x1,h(x)3x26x9.令h(x)0,得x13,x21.h(x)与h(x)在(,2上的变化情况如下:(,3)(3,1)h(x)h(x)2843由此可知:当k3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28;当3k0)(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)2tm,对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范
4、围思路点拨(1)可通过配方求函数f(x)的最小值;(2)h(t)h(t)2t恒成立,从而可转化为求h(t)2t的最大值问题解决精解详析(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR,t0),当xt时,f(x)取得最小值f(t)t3t1,即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)2tt33t1.则g(t)3t233(t1)(t1)令g(t)0,得t11,t21(舍去)列表:tg(t)g(t)极大值1由表可知,g(t)在(0,2)内有最大值1.h(t)g(t)在(0,2)内恒成立m1.即实数m的取值范围是(1,)一点通有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数,看哪一个变量的范围
5、已知,即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地,f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.5已知g(x)ln xa,若g(x)x2在(0,e上恒成立,求a的取值范围g(x)x2即ln xaln xx2,故g(x)ln xx2在(0,e上恒成立设h(x)ln xx2,则h(x)2x,由h(x)0及0xe得x当0x0,当xe时h(x)即h(x)在上为增函数,在上为减函数,所以当x时h(x)取得最大值为hln所以g(x)0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln
6、 a)时,f(x)所以,f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0等价于x(x0)令g(x)x,则g(x)1由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增而h(1)0,所以h(x)在(0,)上存在惟一的零点故g(x)在(0,)上存在惟一的零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,可得e2,所以g()1(2,3)由于式等价于k1.而f(2)4435,因此f(a)a22a3解得a(舍去)或a5函数f(x)ax44ax3b(a0)在1,
7、4)上的最大值为3,最小值为6,则ab_.f(x)4ax312ax2(a0,x1,4)由f(x)0,得x0(舍),或x3,可得x3时,f(x)取到最小值为b27a.又f(1)b3a,f(4)b,因此f(4)为最大值由解得所以ab二、解答题6已知函数f(x)aln x1(a0)(1)若a2,求函数f(x)在(e,f(e)处的切线方程;(2)当x0时,求证:f(x)1a(1)当a2时,f(x)2ln x1,f(x),f(e)3,kf(e)所以函数f(x)在(e,f(e)处的切线方程为y3(xe),即2xeye0.(2)令g(x)f(x)1aaln xa(x0),则g(x),由g(x)0,得x1.当
8、0x1时,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递减;当x1时,g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增所以g(x)在x1处取得极小值,也是最小值因此g(x)g(1)0,即f(x)1a7已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值(1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0,则3(x1)(x3)解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,)(2)结合(1),令f(x)0,得x1或x3.又x2,2,x1.当21时,f(x)当10.x1是函数f(x)的极小值点,该极小值也
9、就是函数f(x)在2,2上的最小值,即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22,f(2)81218aa2.a22a2,f(x)maxa2220,a2.此时f(x)mina5257.8已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c,其中a,b,c为常数若对任意x0,不等式f(x)2c2恒成立,求c的取值范围由题意知f(1)3c.因此bc3c,从而b3.对f(x)求导,得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意知f(1)0,得a4b0,解得a12.因为f(x)48x3ln x(x令f(x)0,解得x1.1时,f(x)1时,f(x)0,此时f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c,并且此极小值也是最小值所以要使f(x)2c2(x0)恒成立,只需3c2c2即可整理得2c2c30,解得c或c1.所以c的取值范围为(,1
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