九年级上册数学教案Word格式.docx

1、本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列?4.一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少?活动3归纳概念（1）上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?（2）类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字?（3）归纳一元二次方程的概念.1.一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.（1）一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么?（2）为什么要限制a0，b

2、，c可以为0吗?（3）2x2-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是_.（1）4x2=81;（2）2x2-1=3y;（3）1x2+1x=2;（4）2x2-2x（x+7）=0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：（1）整式方程;（2）只含有一个未知数;（3）含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程.例2教材第3页例题.例3以-2为根的一元二次方程是（）A.x2+2x-1=

3、0 B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等.练习：1.若（a-1）x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是_.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.（2）（3x-2）（x+1）=8x-3.3.教材第4页练习第2题.4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根，则k的值为_.答案：1.a1;2.略;3.略;4.k=4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?

4、一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?作业布置教材第4页习题21.1第17题.解一元二次方程教案21.2.1配方法（3课时）第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程，领会降次转化的数学思想.通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程.一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题.问题1：填空（1

5、）x2-8x+_=（x-_）2;（2）9x2+12x+_=（3x+_）2;（3）x2+px+_=（x+_）2.解：根据完全平方公式可得：（1）164;（2）42;（3）（p2）2p2.问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根

6、为t1=1，t2=-2例1解方程：（1）x2+4x+4=1（2）x2+6x+9=2分析：（1）x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1.（2）由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=2即x+3=2，x+3=-2所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2略.例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）;二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2设每年人均住房面积增长率为x，则：10

7、（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材第6页练习.四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p0）的方程，那么x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0）的方程

8、，那么mx+n=p，达到降次转化之目的.若p0则方程无解.五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.（学生活动）请同学们解下列方程：（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9（4）4x2+16x=-

9、7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=p或mx+n=p（p0）.如：4x2+16x+16=（2x+4）2，你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?（2）能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.（2）不能.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降

10、次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式x2+6x+32=16+9左边写成平方形式（x+3）2=25降次x+3=5即x+3=5或x+3=-5解一次方程x1=2，x2=-8可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程：（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-12=0（1）显

11、然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式;（2）同上.教材第9页练习1，2.（1）（2）.左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.教材第17页复习巩固2，3.（1）（2）.第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.讲清配方法的解题步骤.对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方;对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化

12、二次项系数为1，再用配方法求解.（学生活动）解下列方程：（1）x2-4x+7=0（2）2x2-8x+1=0我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.略.（2）与（1）有何关联?讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）先将已知方程化为一般形式;（2）化二次项系数为1;（3）常数项移到右边;（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq;如果q0，当b2-4ac0时，b2-4ac4a20（x+b2a

13、）2=（b2-4ac2a）2x+b2a=b2-4ac2a即x=-bx1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a，b，c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a，b，c代入式子x=-bb2-4ac2a就得到方程的根.（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解下列方程：（1）2x2-x-1=0（2）x2+1.5=-3x（3）x2-

14、2x+12=0（4）4x2-3x+2=0用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.补：（5）（x-2）（3x-5）=0教材第12页练习1.（1）（3）（5）或（2）（4）（6）.（1）求根公式的概念及其推导过程;（2）公式法的概念;（3）应用公式法解一元二次方程的步骤：1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0;2）找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号;3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.（4）初步了解一元二次方程根的情况.教材第17页习题4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方

15、程.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.用因式分解法解一元二次方程.让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2.（2）直接用公式求解.（学生活动）请同学们口答下面各题.（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项?（2）等式左边的各项有没有共同因式?（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项;左

16、边都可以因式分解.因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12.（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.（以上解法是如何实现降次的?因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.（1）10x-4.9x2=0（2）x（x-2）+x-2=0（3）5x2-2x-14=x2-2x+34（4）（x-1）2=（3-

17、2x）2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积.）下面一元二次方程解法中，正确的是（）A.（x-3）（x-5）=102，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7B.（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1=25，x2=35C.（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2D.x2=x，两边同除以x，得x=1教材第14页练习1，2.本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.教材

18、第17页习题6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.根与系数的关系及其推导正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值.2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系

19、?3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是-b+b2-4ac与-b-b2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1+x2 x1x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0观察上面的表格，你能得到什么结论?（1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2-4q0）的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系?（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢?你能证

20、明你的猜想吗?2x2-7x-4=03x2+2x-5=05x2-17x+6=0小结：根与系数关系：（1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2-4q0）的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=-p，x1x2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.）（2）形如ax2+bx+c=0（a0）的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论.即：对于方程ax2+bx+c=0（a0）a0，x2+bax+ca=0x1+x2=-ba，x1x2=ca（可以利用求根公式给出证明）例1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：（1）x2-3x-1=0（2）2x2+3x-

21、5=0（3）13x2-2x=0 （4）2x2+6x=3（5）x2-1=0 （6）x2-2x+1=0例2不解方程，检验下列方程的解是否正确?（1）x2-22x+1=0 （x1=2+1，x2=2-1）（2）2x2-3x-8=0 （x1=7+734，x2=5-734）例3已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法?例4已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.变式一：已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k;变式二：已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1.根与系数的关系.2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程;（2）判别式大于等于零.四、作业布置1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.（1）x