最新中考数学折叠问题讲义资料Word文档格式.docx

1、例1变式2如图，矩形ABCD中，AB4，AD6，点E为BC上一点，将ABE沿AE折叠得到AEF，点H为CD上一点，将CEH沿EH折叠得到EHG，且F落在线段EG上，当GFGH时，则BE的长为_【解析】由折叠可得AEH1/2BEC90，进而得出RtAEH中，AE +EH2 AH ，设BEx，则EFx，CE6xEG，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6x）+（62x）（2x2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长BE的长为2【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为

2、x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。类型2 翻折前有平行线这一条件的问题例2如图，在长方形纸片ABCD中，AD4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC5cm，则CD的长为（）A6cm B7cm C8cm D10cm【分析】由折叠的性质可得：BACEACACD，可得AOCO5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长【解答】折叠，BACEAC，四边形ABCD是矩形，ABCD，BACACD，EACACD，A

3、OCO5cm，在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO3cm，CDDO+CO3+58cm故选：例2变式如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分AEF的面积为_【解析】设AEx，由折叠可知，ECx，BE8x，在RtABE中，AB +BE AE ，即4 +（8x）x ，解得：x5，由折叠可知AEFCEF，ADBC，CEFAFE，AEFAFE，即AEAF5，SAEF1/2AFAB1/25410故答案为：10图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。类型3

4、直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答例3如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cosCOD 的值是（）A3/5 B1/2 C3/4 D4/5【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；【解答】作DFy轴于F，DEx轴于E，BD交OC于G在BCG与ODG中，BCGODF，OD=BC, DOFGBC，BCGODG，GOGB，设GOGBx，则CGGD2x，于是在RtCGB中，（2x）+1 x ；解得x5/4GD2

5、x25/43/4；BCy轴，DFy轴，BCGDFG，BGCDGF，CBGFDG，DF/BC=DG/BG，DF3/5；【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型例3变式如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（）A6cm B5cm C4cm D3cn【解析】由四边形ABCD是矩形，可得BCAD10cm，BCD90，又由由折叠的性质可得：AFAD10cm，AFED90，利用勾股

6、定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后由ABFFCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长度EC3cm，故选：D如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一般是构造三垂直模型，找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。类型4等边三角形的翻折一线三等角例4如图，等边ABC中，D是BC边上的一点，把ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM2，AN3，那么边BC长为_【分析】设BDx，DCy由BMDCDN，可得（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）DM：DN2：3，推出（2x+y）：（x+2y）2：3，推出y4x，推出ABBCAC5x

7、，MB5x2，CN5x3，再根据BM/CD=DM/DN=2/3，构建方程即可解决问题；【解答】解：设BDx，DCy，ABC是等边三角形，ABBCACx+y，ABCACBBAC60，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，AMDM2，ANDN3，BM+MD+BD2x+y，DN+NC+DCx+2y，MDNBACABC60NDC+MDBBMD+MBD120，NDCBMD，ABCACB60，BMDCDN，（BM+MD+BD）：3，（2x+y）：y4x，ABBCAC5x，MB5x2，CN5x3，BM/CD=DM/DN=2/3，（5x-2）/4x=2/3，x6/7，BC5x30/7，故答案为30/7

8、【点评】本题考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等例4变式如图所示，等边ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD1：3，则AQ的长度为_【解析】易得BPDCDQ，可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：DC1：43，BC4，推出DB1，CD3，设AQx，则CQ4x，构建方程即可解决问题；AQ=13/5.等边三角形折叠后，会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问

9、题。类型5过一定点的翻折与隐形圆例5如图，在边长为8的菱形ABCD中，A60，M是边AD的中点，N是AB上一点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AB，则AB的取值范围_【分析】连接BM，BD，依据M是边AD的中点，AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，即可得到点A的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据AB+AMBM，即可得出ABBMAM434，当点N与点A或点D重合时，AB的最大值为8，即可得到AB的取值范围【解答】如图所示，连接BM，BD，M是边AD的中点，AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，点A的轨迹为以AD为直径的半圆M，AMAM4，A60，ABAD，ABD是等边三角形，BMA

10、D，ABM30，BM3AM43，AMBM，AM434，当点N与点A或点D重合时，点A与点A或点D重合，此时AB的最大值为8，AB的取值范围为：434AB8，B8例5变式.如图，在矩形ABCD中，AD2，AB3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在的直线翻折得到AEF，连接AC，则AC的最小值为_【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在的直线翻折得到AEF，可得点A的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点A、C、E三点共线时，AC的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可即AC的最小值为10-1如果翻折的折痕是过一定

11、点的，就会出现隐形圆，一般我们用点圆最值模型来求最值。类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题例6如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把C沿直线EF折叠，使点C落在点C处当ADC为等腰三角形时，FC的长为_新材料手工艺品。目前，国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降，与此形成鲜明对比的是，数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品-即根据自己的创意将各种材质的饰珠，用皮、布、金属等线材串出的品，正在各国的女性中大行其道。【分析】首先证明DCDA，只要分两种情形讨论即可：如图1中，当ADAC2时，连接AE构建方程即可；如图2中

12、，当点F在BC中点时，易证ACDC，满足条件；众上所述，我们认为：我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。【解答】由题意DEECEC1，DC1+1“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的

13、心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。DCDA，只要分两种情形讨论即可：（2）东西全如图1中，当ADAC2时，连接AE虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间，但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。AEAE，ADAC，DEDC，ADEACE，ADEACE90CFCE90，ACE+FCE180三、主要竞争者分析A、C、F共线，设CFx，则BF2x，AF2+x，1、荣晓华、孙喜林消费者行为学东北财经大学出版社 2003年2月在RtABF中，2+（2x）（2+x），解得x1/2如图2中，当点F在B

14、C中点时，易证ACDC，满足条件，此时CF1综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1故答案为1/2或1【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题例6变式如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点 E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将AEF折叠得到DEF，使点D落在BC上，当BDE为直角三角形时，BE的值为_上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到万元。【解析】分两种情形分别求解：如图1中，当EDB90时

15、，设BEx则AEED10x利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；如图2中，当DEB90，设BEx，则AEED10x根据tanDBEDE/BEAC/BC，构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7此类题目往往涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论。同学们在这类题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定，可能出现情况有那些。根本不知道总结提升经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式。具体如下：1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，

16、对应点到折痕的距离相等。2.折叠类问题中，如果翻折的是直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题；3.折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分；据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解；5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值问题。6.折叠后图形不明确，应明确分析出可能出现情形，一次分析验证，可借助纸片模拟分析。